數(shù)值分析在巖土工程中的應用

1、1,數(shù)值分析方法在巖土工程中的應用簡介,2,數(shù)值分析方法在巖土工程中的應用簡介,A Brief Introduction to the Application of Numerical Analysis Method in the Geotechnical Engineering,陳劍 平,吉林大學朝陽校區(qū)建設工程學 院,2005年2月25日,原長春地質(zhì)學院水文地質(zhì)與工程地質(zhì)系或長春科技大學環(huán)境與建設工程學院,2005年度遼寧省建

2、設廳執(zhí)業(yè)資格注冊中心注冊土木工程師(巖土)繼續(xù)教育培訓專用,3,1、基本概 念,講授提綱,2、幾種常見數(shù)值分析方法的 主要特點,3、對數(shù)值分析定量結(jié)果的理解,4,隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，科學技術(shù)的進步，科學與工程計算(簡稱科學計算)的應用范圍已擴大到許多學科領(lǐng)域，形成一些邊緣學科，例如計算物理、計算化學、計算力學等。目前，實驗、理論、計算已成為人類進行科學活動的三大方法。 為了解某科學與工程實際問題，首先是

3、依據(jù)物理、力學規(guī)律建立問題的數(shù)學模型，這些模型一般為代數(shù)方程、微分方程等。科學計算的一個重要方面就是要研究解這些數(shù)學問題的數(shù)值計算方法(適合計算機計算的計算方法)，然后通過計算軟件在計算機上計算出實際需要的結(jié)果。數(shù)值分析內(nèi)容包括；函數(shù)的插值與逼近方法，微分與積分計算方法，線性方程組與非線性方程組計算方法，常微分與偏微分數(shù)值解等。,何謂數(shù)值分 析,1、基本概 念,5,“應用力學”領(lǐng)域內(nèi)的很多課題，工程師和科學工作者近年來一般用數(shù)值方法來

4、求解，獲得顯著成功。這主要由于目前力學課題本身的復雜性——非均質(zhì)、非線性以及復雜的加荷條件及邊界條件，精確解已無能為力。,數(shù)值分析的必要 性,數(shù)值分析的可能性,計算機的迅速發(fā)展，也使數(shù)值分析得到有效而經(jīng)濟的成果。,1、基本概 念,6,在量測手段得到改進的今天，少數(shù)課題利用實驗室的結(jié)構(gòu)模型試驗或離心模型試驗也可以得到定性或甚至定量的結(jié)果。這樣，上述力學求解方法可列成下表：,數(shù)值分析是主要求解方法,1、基本概 念,7,圖中數(shù)值方法列出最常用

5、的五種：差分法、有限無法、邊界元法、變分法和加權(quán)余量法。 差分法由英國學者Southwell提出，是轉(zhuǎn)化課題的常微分方程或偏微分方程為差分方程，然后結(jié)合初始及邊界條件，求解線性代數(shù)方程組。這方法比校直觀，容易編制程序，所以從20世紀40年代末期以來，迄今盛行不衰。 有限元法由英國學者Zienkiewicz提出，以研究區(qū)域的變分形式，離散化所研究的區(qū)域，使其成為有限數(shù)目的單元。對于邊界復雜以及材料屬非線性的課

6、題，與差分法相比，有特殊的靈活性。 邊界元法由英國學者Brebbia提出，化微分方程為邊界積分方程，使用類似于有限元法的離散技術(shù)來離散邊界。離散化所引起的誤差僅來源于邊界，因之提高了計算精度，依靠邊界節(jié)點上算得的量，即可計算區(qū)域內(nèi)的有關(guān)物理量，從而減少了準備工作量及計算量。邊界元又有直接法及間接法之分，間接法需要先求取一個虛設的量，多了一道手續(xù)，所以相對麻煩一些。邊界元的缺點是對變系數(shù)或非線性問題的造就性不如有限元法。

7、 香港大學張佑啟開展了結(jié)構(gòu)力學有限元法的卓越研究(例如有限條分法等，同時他在彈性地基上的研究，事實上奠定了邊界元法的基本理論。,數(shù)值分析的主要求解方法,1、基本概 念,8,變分法是討論泛函的極值問題，對上述差分法及有限元法都可起推導基本公式的作用，而這方法本身，也是數(shù)值方法中最古老的方法。 加權(quán)余量法，可以引入試函數(shù)和權(quán)函數(shù)的方法，從微分方程中直接求出近似的數(shù)值解。它的優(yōu)點是可以避免建立能量方程，使一些無法求得

8、能量方程的課題，也得到了較精確的解答。,1、基本 概 念,數(shù)值分析的主要求解 方 法,9,2.1 有限元Finite Element Method (FEM),在眾多的工程數(shù)值計算方法中，有限單元法(Finite Element Method，縮寫為FEM)很早就以其適用性強和處理非均質(zhì)、非線性、復雜邊界諸多問題方便等突出優(yōu)點而成為工程數(shù)值分析最有效的通用工具。經(jīng)過近半個世紀的發(fā)展，有限單元法已十分成熟并在各個領(lǐng)域的工程分析中廣泛應用。

9、 巖土工程中最基本的兩種分析方法是總應力分析(Total stress Ana1ysis)法和有效應力分析(Effective stress Analysis)法。與此相應，巖土工程中的有限元法也可分為總應力分析有限元法和有效應力分析有限元法。l 966年，cloughu等首先將總應力分析有限元法用于土壩的應力和變形分析。1969年，sandhu和wilson用有限元法分析了Biot二維固結(jié)問題，開創(chuàng)了巖土工程有效應力

10、分析有限元法的先河。在國內(nèi)，沈珠江(1977)首先將有效應力分析有限元法應用于軟土地基的固結(jié)變形分析。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,10,2.1 有限元Finite Element Method (FEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,正確的剖分,不正確的剖分,對于土體，總應力分析法是將其視為固體來分析的。因此巖土工程中的總應力分析有限元法與一般固體力學中的有限無法是相同的。有效應力分析法則嚴格區(qū)分土體中分別由土顆粒

11、骨架、孔隙水和孔隙氣傳遞或承受的應力，并考慮土骨架變形、孔隙水壓力消散和孔隙氣壓力消散三者的耦合作用，因而比總應力分析法更接近實際，但遠較之復雜。對于巖體，因其本身可視為固體，故與之相應的分析只能是總應力分析。從有效應力原理出發(fā)，可將總應力分析視為有效應力分析的一種特殊形式。因此，總應力有限元分析法也可視為有效應力分析有限元法的一種持殊形式。,11,研究表明，對于大多數(shù)巖土工程問題，無論是進行總應力分析還是進行有效應力分析，均可歸結(jié)為對

12、Biot動力固結(jié)方程的求解。因此，可將Biot動力固結(jié)方程作為巖土工程問題的總控制方程。 巖土工程中的基本方程包括土體平衡(或運動)方程、物理(或本構(gòu))方程、幾何方程、有效應力原理、孔隙流體(水)平衡方程、連續(xù)方程等。總控制方程(即Biot動力固結(jié)方程)由這些基本方程組合而成。 總控制方程的推導基于以下假定： (1) 土體是完全飽和的橫觀各向同性彈性體。 (2) 土體的變形是微小的。

13、 (3) 土顆粒和孔隙水不可壓縮。 (4) 孔隙水相對于土骨架的滲流運動服從Darcy定律，其慣性力可不計。 (5) 應力應變的正負號法則與彈性力學相反。,2.1 有限元Finite Element Method (FEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,12,2.2 離散單元Discrete Element Method (DEM),一般從宏觀意義上說，巖石可以視為連續(xù)介質(zhì)，從而可以用彈性力學或塑性力學的方

14、法來進行分析和計算。但在某些情況下，巖體卻不能視做連續(xù)介質(zhì)，如地下節(jié)理巖體中的巷道(見下圖)，這時，就不宜用處理連續(xù)介質(zhì)的力學方法來進行計算。于是，離散單元法作為一種處理節(jié)理巖體的數(shù)值方法就應運而生。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,可行的,13,近幾十年來，離散單元法有了長足的發(fā)展，已成為解決巖土力學問題的一個重要的數(shù)值方法，越來越受到人們的重視。因為工程中所見到的巖體其形態(tài)常呈非連續(xù)結(jié)構(gòu)，所形成的巖石塊體運動和受力情況多是幾何

15、或材料非線性問題，所以很難用解決連續(xù)介質(zhì)力學問題的有限單元法或邊界單元法等數(shù)值方法來進行求解，而離散單元法正是充分考慮到巖體結(jié)構(gòu)的不連續(xù)性，適用于解決節(jié)理巖體力學問題。離散單元法除了用于邊坡、采場和巷道的穩(wěn)定性研究以及顆粒介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的分析外，已擴展到用于研究地震、爆炸等動力過程和地下水滲流、熱傳導等物理過程。 離散單元法與其他數(shù)值方法(如有限單元法、邊界單元法等)耦合更能發(fā)揮各自方法的優(yōu)點。例如，用邊界單元法考慮遠場應力

16、的影響以模擬彈性的性質(zhì)，用有限單元法作為中間過渡考慮塑性變形，再用離散單元法考慮近場不連續(xù)變形的情況，從而極大地擴展了數(shù)值方法的解題范圍。,2.2 離散單元Discrete Element Method (DEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,14,離散單元法的基本思想 離教單元法也像有限單元法那樣，將區(qū)域劃分成單元(見圖1—3(a))。但是，單元因受節(jié)理等不連續(xù)面控制，在以后的運動過程中，單元結(jié)點可以分離，

17、即一個單元與其鄰近單元可以接觸，也可以分開(見圖I—3(b))。 單元之間相互作用的力可以根據(jù)力和位移的關(guān)系求出，而個別單元的運動則完全根據(jù)該單元所受的不平衡力和不平衡力矩的大小按牛頓運動定律確定。,2.2 離散單元法Discrete Element Method (DEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,15,離散單元法是一種顯式求解的數(shù)值方法。該方法與在時域中進行的其他顯式計算相似，例如與解拋物線型偏微分方程的顯式差分

18、格式相似。 “顯式”是針對一個物理系統(tǒng)進行數(shù)值計算時所用的代數(shù)方程式的性質(zhì)而言。在用顯式法計算時，所有方程式一側(cè)的量都是已知的，而另一側(cè)的量只要用簡單的代入法就可求得。這與隱式法不同，隱式法必須求解聯(lián)立方程組。在用顯式法時，假定在每一迭代時步內(nèi)，每個塊體單元僅對其相鄰的塊體單元產(chǎn)生力的影響，這樣，時步就需要取得足夠小，以使顯式法穩(wěn)定。由于用顯式法時不需要形成矩陣，因此可以考慮大的位移和非線性，而不必花費額外的計算時間。,2.2 離散

19、單元法Discrete Element Method (DEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,16,離散單元法在國內(nèi)外的發(fā)展狀況 離散單元法一般認為是Cundall于1971年提出來的。該法適用于研究在準靜力或動力條件下的節(jié)理系統(tǒng)或塊體集合的力學問題，最初用來分析巖石邊坡的運動。到1974年，二維的離散單元法程序趨于成熟，當時已有屏幕圖形輸出的交互會話功能。但由于受計算機內(nèi)存的限制，不少程序是用匯編語言寫成，到

20、1978年才全部翻譯成FORTRAN IV的文本，成為離散單元法的基本程序。與此同時，Cundall和 Strack還開發(fā)了二維圓形塊體的BALL程序，用于研究顆粒介質(zhì)的力學行為，所得結(jié)果與Drescher等人用光彈技術(shù)的實驗結(jié)果極為吻合，使BALL程序在研究顆粒介質(zhì)的本構(gòu)方程方面大放異彩。 Lemos于1983年開發(fā)了離散單元法與邊界單元法耦合的半平面程序，并用于計算節(jié)理和斷裂介質(zhì)中的應力分布問題。,2.2 離散單

21、元法Discrete Element Method (DEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,17,Lorig于1984年開發(fā)了包括前處理和后處理的離散單元法與邊界單元法耦合程序。 翌年他到澳大利亞英聯(lián)邦科學與工業(yè)發(fā)展組織的巖土力學研究所，修改了他原先的程序。這個修改后的程序文本稱為HYDEBE(HYBRID DISCRETE ELEMENT BOUNDARY ELEMENT)，其功能更強，包括一個前處理程序CREATE

22、，類似于有限單元法程序中的自動劃分網(wǎng)格，一個與邊界單元法耦合程序BOUND和一個離散單元法程序BLOCK。 Cundall于1980年就開始研究塊體在受力后變形以及根據(jù)破壞堆則允許斷裂的離散單元法， 這顯然是將塊體視為剛體的離散單元法的一個進步。 Cundall稱這種方法為UDEC(UNIVERSAL DISTINCT ELEMENT CODE)，該程序最后于1985年完成。UDEC現(xiàn)已廣泛用于巖土力學和采礦工程，被公

23、認為對節(jié)理巖體進行數(shù)值模擬的一種行之有效的方法。,2.2 離散單元法Discrete Element Method (DEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,18,至于三維離散單元法的發(fā)展則要遲些，共主要原因是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復雜，要求計算機應具有較大的容量，并且計算結(jié)果的圖形顯示較為困難，如切一剖面，塊體間一般來講是不接觸的，猶如浮在空中，看起來不直觀。三維離散單元法程序3DEC(3—DIMENSIONAL DISTINCT E

24、LEMENTCODE)已由Cundall與ITASCA咨詢集團于1986年開發(fā)出來。其基本原理同UDEC一樣，只是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)作了較大的改進。 與二維BALL程序相對應的有三維 TRUBAL 程序，除了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)外，它的基本原理也同BALL程序一樣。 三維問題的離散單元法目前尚處于發(fā)展價段，但其算法已經(jīng)基本成熟，已經(jīng)有了一些利用3DEC程序解決工程問題的嘗試。可以預期，隨著大容量計算機的普及，三維離散單元

25、法用于解決工程實際問題的時刻將指日可待。,2.2 離散單元法Discrete Element Method (DEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,19,離散單元法在我國的研究和應用起步較晚，但發(fā)展卻非常迅速。目前已在我國的采礦工程、巖土工程以及水利水電工程等科研與設計中得到應用，呈方興末艾之勢。 王泳嘉和劍萬禧于1986年在第一屆全國巖石力學數(shù)值計算及模型試驗討論會上，首次向我國巖石力學與工程界介紹了離散單

26、元法的基本原理及幾個應用例子。 張清在他的書中也辟專門的一章介紹不連續(xù)巖體的計算模型和計算方法。 離散單元法原先是為研究節(jié)理巖體的邊坡穩(wěn)定和巷道穩(wěn)定而開發(fā)的，我國學者充分利用離散拉元法中個別塊體可以脫離母體而冒落的特點，將共用于放礦的數(shù)值模擬和自然崩落法崩落機制及底部結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究，并取得很好的成績。 在邊坡穩(wěn)定性研究方面，我國學者用模型試驗在邊坡失穩(wěn)的瞬間連續(xù)拍攝的像片與離散單元法的計算結(jié)果對照

27、，二者結(jié)果吻合，再次證明離散單元法的數(shù)值模擬可以代替昂貴費時的相似材料模型試驗。,2.2 離散單元法Discrete Element Method (DEM),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,20,FLAC-3D(Fast Lagrangian Analysis　of Continual in 3 Dimensions)是由美國Masca Consulting Group Inc. 于20世紀90年代中期在原有二維FLAC分析

28、軟件基礎上開發(fā)的三維顯式有限差分法程序，該程序能較好的模擬地質(zhì)材料在達到強度極限或屈服極限時發(fā)生的破壞或塑性流動的三維力學行為，特別適用于分析漸進破壞和失穩(wěn)以及模擬大變形問題?？蓪吰?、基礎、壩體隧道、地下采場和洞室等進行分析，是目前國際巖土界十分推崇的應用軟件，國內(nèi)有關(guān)該軟件的應用也有報道。,2.3 FLAC-3D軟件簡 介,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,21,2.3 FLAC-3D基本原理,FLAC-3D是在FLAC-

29、2D的基礎上擴展來的，因此很多理論公式直接從二維擴展到三維就可以，但是二維與三維之間也有著明顯的區(qū)別，尤其是描述系統(tǒng)機制的數(shù)學模型，從二維擴展到三維時有著較大的不同。FLAC-3D的求解過程主要有以下三個特征： 第一是對空間和時間進行有限差分，在這空間、時間的相鄰差分間隔內(nèi)變量之間是相似的、變量的變化是線性的； 第二是離散化模型，將連續(xù)介質(zhì)離散化成一個具有相同意義的整體，在這個整體里節(jié)點是網(wǎng)格形分布的，連續(xù)介

30、質(zhì)所受的所有外力、內(nèi)力都轉(zhuǎn)移到各相應的節(jié)點上； 第三是動態(tài)的解決方式，如對于某一個節(jié)點而言，在每一時步它受到來自其周圍區(qū)域合力的影響，若合力不為零，節(jié)點就會按牛頓第二定律進行運動（節(jié)點是假定有質(zhì)量的，下文中將還會提到），從而求得速度、位移增量、應變率、應力增量等(圖3.12為FLAC程序中的計算循環(huán)示意圖)。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,22,FLAC-3D是用于數(shù)值模擬研究三維連續(xù)介質(zhì)在達到平衡或穩(wěn)定塑流過

31、程中的機制行為的顯式有限差分程序。程序的結(jié)果是由特殊的數(shù)學模型和專門的數(shù)值插值兩方面導出的。具體過程不詳細介紹。,2.3 FLAC-3D基本原理,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,2.3 FLAC-3D基本特點,⑴ 應用范圍廣，能用以模擬復雜工況下巖土工程或力學問題。FLAC-3D包含了10種彈塑性材料本構(gòu)模型，由靜力、動力、蠕變、滲流、溫度5種計算模式，各種模式間可以互相耦合，以模擬各種復雜的工程力學行為。另外，F(xiàn)LAC-3D

32、設有界面單元，可以模擬節(jié)理、斷層或虛擬的物理邊界等。 ⑵ 可以跟蹤系統(tǒng)的演化過程。FLAC-3D在處理靜態(tài)問題和動態(tài)問題時，均由運動方程用顯式方法進行求解，可以很方便的求出應力增量，得出不平衡力，跟蹤系統(tǒng)的演化過程，反映真實的物理過程。,23,⑶ 能以小變形本構(gòu)關(guān)系求解大變形問題，使得計算方便快捷。在求解大變形過程中，每一時步變形很小，可采用小變形本構(gòu)關(guān)系，只需將各時步變形疊加，即得到大變形。這可避免通常大變形問題中推導

33、大變形本構(gòu)關(guān)系及其應用中所遇到的麻煩。 ⑷ FLAC-3D具有一系列命令語言和內(nèi)嵌程序語言，使得用戶可以根據(jù)自身所需，編制相應程序。 ⑸ FLAC-3D具有強大的前處理和后處理功能。FLAC-3D具有強大的三維網(wǎng)絡生成器，內(nèi)部定義了多種基本單元形態(tài)，可生成非常復雜的三維網(wǎng)絡。同時，F(xiàn)LAC-3D還可通過轉(zhuǎn)換程序?qū)?D-Sigma所建立的模型轉(zhuǎn)換成FLAC-3D模型，使得復雜工程的模型建立更容易進行。在計算過程中，用戶可以進行

34、實時分析,獲取等值線圖、矢量圖、曲線圖等。,2.3 FLAC-3D基本特點,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,24,2.4 數(shù)值流形方法(NMM，Numerical Manifold Method),對總體分析來說，著名的數(shù)學流形或許是現(xiàn)代數(shù)學的一個最重要的課題。以數(shù)學流形為基礎，新發(fā)展的數(shù)值流形方法是一種有普遍意義的數(shù)值方法,一般所說的流形方法均指“數(shù)值流形方法”。這種方法是用以計算結(jié)構(gòu)或材料的位移和變形的。數(shù)值流形方法的

35、網(wǎng)格是許多有限覆蓋。按照材料的區(qū)域，有限覆蓋相互重疊并涵蓋全部材料體。在各覆蓋上，流形方法定義一個獨立的覆蓋位移函數(shù)。各個覆蓋上的覆蓋位移函數(shù)連接在一起，在整個材料體上形成一個總體的位移函數(shù)。 總體的位移函數(shù)是在幾個覆蓋的共同部分上的局部獨立覆蓋函數(shù)的加權(quán)平均。用有限覆蓋系統(tǒng)，連續(xù)的、裂縫的或塊狀的材料可以用一個數(shù)學上協(xié)調(diào)的方法進行計算。對流形計算來說，數(shù)學覆蓋和物理網(wǎng)格(即物理覆蓋——譯音注)是獨立的，因此，數(shù)學覆蓋是

36、不定界和不變化的。數(shù)學覆蓋可以移動，可以開裂并且可隨意被移開或加上。如移動覆蓋，大變形和邊界位移可分步算得。裂縫、塊體邊界可把一個覆蓋劃分成兩個或更多的獨立覆蓋，連同它們位移函數(shù)一起，用一般的不連續(xù)材料就可模擬。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,25,在有限覆蓋系統(tǒng)的基礎上，新發(fā)展的“數(shù)值流形方法”有滿足更多工程要求的潛力。這里所說的“流形”來源于拓撲流形和微分流形，它是數(shù)學的微分幾何、代數(shù)拓撲、微分拓撲和現(xiàn)代代數(shù)的主要課題。這里

37、的“數(shù)值流形”和傳統(tǒng)的微分流形的區(qū)別在以下幾點： 微分流形的總體函數(shù)是高度可微分的，且完全可被定義而與覆蓋無關(guān)；而這里的數(shù)值流形的總體函數(shù)是在覆蓋基礎上定義的、且只分段微分，在接觸交面上幾乎都是不連續(xù)的。 在物理上，材料對象通常有不同的形狀。當材料體有斷裂、成塊狀或分不同區(qū)域時，形狀和邊界變得更為復雜。在大變形和邊界移動情況下，會產(chǎn)生更多困難。因為常規(guī)分析的近似方法只在代表整個材料一小部分的局部連續(xù)域內(nèi)是

38、可行和有用的。,2.4 數(shù)值流形方法(NMM，Numerical Manifold Method),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,26,2.4 數(shù)值流形方法(NMM，Numerical Manifold Method),所謂“流形”是把許多個別的重疊的區(qū)域連接在一起．去覆蓋全部材料體。因此，總體形狀可用局部覆蓋所定義的函數(shù)來汁算。新的方法有分開的且獨立的數(shù)學覆蓋和物理網(wǎng)格：數(shù)學覆蓋只定義近似解的精度；而物理網(wǎng)格，作為

39、實際的材料邊界，定義其積分區(qū)域。 數(shù)學覆蓋由用戶選擇，它由占整個材料體的許多有限重疊覆蓋所組成。常規(guī)的網(wǎng)格和域，諸如規(guī)則的格子、有限元的網(wǎng)格或級數(shù)的收斂域，能轉(zhuǎn)換為有限數(shù)學覆蓋。在有限覆蓋基礎上，流形方法足以很好地發(fā)展的解析方法，廣泛應用的有限元方法和適用于塊體的DDA方法，包含并融合于統(tǒng)一形式中。 物理網(wǎng)格包括材料體的邊界、裂縫、塊體和不同材料區(qū)域的交接面。不變化的水面也是物理網(wǎng)格的一部分。物理網(wǎng)格代表

40、材料條件，它不能人為地選擇。 物理覆蓋系統(tǒng)是由數(shù)學覆蓋和物理網(wǎng)格兩者組成。如果裂縫或塊體邊界把一個數(shù)學覆蓋分成兩個或更多的完全不連續(xù)的區(qū)域，這些區(qū)域定義為物理覆蓋。因此物理覆蓋是不連續(xù)縫對數(shù)學覆蓋的再剖分。流形方法更適合于計算連續(xù)的和有裂縫的或塊狀的兩種材料的大變形和邊界移動。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,27,2.4 數(shù)值流形方法(NMM，Numerical Manifold Method),以下兩圖中，

41、由兩個圓和一個矩形(用細線表示)劃定三個覆蓋：,V1，V2，V3,形成數(shù)學網(wǎng)格，粗線表示材料邊界和內(nèi)部弧形裂縫。圖中V1被物理網(wǎng)格分成兩個物理覆蓋11、12，V2有兩個物理覆蓋21、22，V3有兩個物理覆蓋31、32。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,28,2.4 數(shù)值流形方法(NMM，Numerical Manifold Method),該圖表示一個更為復雜的網(wǎng)格，數(shù)學覆蓋V2包含三條曲線，但總共只形成兩個不連接的物理覆蓋

42、21、22。上邊的曲線(在覆蓋21內(nèi))不能切穿矩形V2以形成更多的物理覆蓋，因此覆蓋21，是一單個的物理覆蓋。同樣，因數(shù)學覆蓋V3正好在上邊曲線的頂端，故形成物理覆蓋31、32。,上述兩圖中，兩個或更多的物理覆蓋的共同部分定義為“單元”，并用它的覆蓋號作表記。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,29,流形元在三角形域內(nèi)的單一裂縫表示,2.4 數(shù)值流形方法(NMM，Numerical Manifold Method),2、幾種常

43、見數(shù)值分析方法的主要 特 點,30,流形元表示的有水平層面巖石的破壞,2.4 數(shù)值流形方法(NMM，Numerical Manifold Method),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,31,流形元表示的多個塊的滑動,流形元表示的圓弧滑動,2.4 數(shù)值流形方法(NMM，Numerical Manifold Method),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,32,2.4 數(shù)值流形元的 特點,流形方法新理論，聯(lián)合物

44、理網(wǎng)格和數(shù)學網(wǎng)格，其物理網(wǎng)格提供考慮裂縫和連續(xù)的兩種材料的方法，甚至可以是不同材料屬相(亦即固體、氣體或液體)的方法。目前作為第一代二維動力計算程序的流形方法的理論已經(jīng)完成，初步成果是鼓舞人的(例如，解的收斂性已經(jīng)建立)。有限元和DDA是其發(fā)展中的理論的特殊形式，流形方法的一些優(yōu)點簡列如下：,1、自由表面和柔性邊界；2、分析不受邊界條件的阻礙；3、自由形式的單元(任何形狀)；4、能量守衡；5、服從庫侖定律；6、從很小到很大的變

45、形；7、靜力學和動力學都可以；8、分析上正確；9、連續(xù)與不連續(xù)分析。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,33,2.5 非連續(xù)變形分析(Discontinuous Deformation Analysis DDA),非連續(xù)變形分析方法(DDA)平行于有限單元方法，它解的是有限單元類型的網(wǎng)格，但所有單元是被事先存在的不連續(xù)縫所包圍的實際隔離塊體。然而，這是更為通常的型式，DDA法的單元或塊體可以是任何凸狀形或凹狀形的，甚至可

46、以帶孔的多接點的多邊形，而有限單元法限定只能用標準形狀的單元。此外，在DDA法中，當塊體接觸時，庫侖定律可用于接觸面，而聯(lián)立平衡方程式是對每一荷載或時間增量來選擇和求解的。在有限單元法的情況下，未知數(shù)是所有節(jié)點的自由度之和。在DDA法的情況下，未知數(shù)是所有塊體自由度之和。從理論觀點看，DDA是有限單元的廣義化。,雖然 非連續(xù)變形分析似乎類似于離散單元法，但它更接近于與有限單元相平行的一種方法，有以下幾點：1、使總熱能量最小化以建立平衡

47、方程式；2、選擇位移為聯(lián)立方程式的未知數(shù)；3、把剛度、質(zhì)量和荷載的子矩陣加到聯(lián)立方程的系數(shù)矩陣中去。 非連續(xù)變形分析的塊體剛度矩陣比有限單元分析的單元剛度矩陣更為簡單。該方法用接觸塊體位移鎖定，它組合附加的桿單元到有限元分析中去。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,34,2.5 非連續(xù)變形分析(Discontinuous Deformation Analysis DDA),對于塊體系統(tǒng)，非連續(xù)變形分析有某些

48、顯著超過有限元分析的優(yōu)點。非連續(xù)變形分析在塊體邊界不是連續(xù)體，亦即它基本上是不連續(xù)的。形成“網(wǎng)格”“單元”的塊體可以是任意條邊的，凸狀形或非凸狀形的，甚至是帶洞的。塊體網(wǎng)格不要求塊體頂點與另一塊體頂點相接觸。 非連續(xù)變形分析的特點是，完全的運動學及其數(shù)值可靠性、完全一階位移近似、嚴格的平衡要求、正確的能量守衡和高計算效率。這一方法可靠的原因是分析非常接近實際，力學現(xiàn)象的數(shù)學和數(shù)值描述與塊體運動相一致。 在

49、不連續(xù)的情況中大位移和大變形更為重要。當塊體移動或變形時，新的塊體形狀和位置將在比連續(xù)力學更為敏感的方式下產(chǎn)生不同的塊體接觸和影響破壞模式。幾何非線性的考慮將使安全系數(shù)降低，并給出一個更接近實際的破壞模式。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,35,2.5 非連續(xù)變形分析(Discontinuous Deformation Analysis DDA),非連續(xù)變形分析是用來分析塊體系統(tǒng)的力和位移的相互作用。對各塊體，允許有位移，

50、變形和應變；對整個塊體系統(tǒng)，允許滑動的塊體界面間張開或閉合。 如知道每個塊體的幾何形狀，荷載及材料常數(shù)，以及塊體接觸的摩擦角、粘著力和阻尼特性。DDA即可計算應力，應變、滑動、塊體接觸力和塊體位移。 非連續(xù)變形分析要求發(fā)展一種完善的運動學理論，它可以使塊體沒有被別的塊體嵌入的加卸荷條件下得到許多塊體的大變形結(jié)果。非連續(xù)變形方法用“彈簧子矩陣”促使嚴格的不等式成為線性方程系統(tǒng)。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要

51、 特 點,36,模擬高地應力引起的隧洞坍塌,2.5 非連續(xù)變形分析(Discontinuous Deformation Analysis DDA),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,37,2.6 無單元法ELEMENT-FREE METHOD或Meshless Methods,無單元法是一種新興的數(shù)值方法，它采用滑動最小二乘法來擬合場函數(shù)，只需結(jié)點信息，不需單元信息，具有前后處理簡單、計算精度高的優(yōu)點，尤其是能在三維問

52、題中發(fā)揮其前處理簡單的優(yōu)勢。目前的研究工作還主要限于二維問題。 　 無單元方法的研究已有20 多年的歷史,它的前身是Lucy 在1977 年提出的“Smoothed Particle Hydrodynamics”方法(光滑質(zhì)點流體動力學方法,簡稱SPH法)。 SPH法在天體物理領(lǐng)域得到了成功的應用,它是一種純拉格朗日方法,不需要網(wǎng)格. 但由于其精度及穩(wěn)定性問題,該方法沒有得到廣泛的應用. 隨后,在20 世紀80

53、年代,Monaghan 等人發(fā)展了SPH法 ,將其解釋為核函數(shù)法,并用來模擬流場中的激波強間斷現(xiàn)象. 20 世紀90 年代,Swegle, Dyka等人提出了SPH法不穩(wěn)定的起因及穩(wěn)定化方案; Jonhson和Beissel 等人也提出了一些對SPH 法的應變計算進行改善的方法. 隨著對SPH 法的不斷深入研究,在高速碰撞等材料動載響應的數(shù)值模擬、水下爆炸仿真模擬等領(lǐng)域該方法也得到了廣泛的應用. 我國學者對SPH法進行研究的主要成果有中

54、國科學院物理所張鎖春發(fā)表的SPH法綜述,國防科技大學貝新源、岳宗五等將SPH法用于高速碰撞問題等。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點,38,2.6 無單元法ELEMENT-FREE METHOD或Meshless Methods,雖然SPH 法的提出是在20 年前，但當時發(fā)展很慢，直到1992 年Nayroles等人引入滑動最小二乘法(Moving Least Squares Method ,簡稱MLSM) ，提出了一種新的方法

55、“Diffuse Approximation and Diffuse Element Method”(散射元法，簡稱DEM)，無單元方法才得到了進一步的發(fā)展。 現(xiàn)在常見的無單元法包括以下四種。SPH法 SPH法是最早出現(xiàn)的一種無網(wǎng)格數(shù)值方法， 最初用于光滑質(zhì)點流體動力學方面，其本質(zhì)是一種積分核變換的近似方法。DEM和EFGM 滑動最小二乘原理在許多無網(wǎng)格方法中被采用，如Nayrdes 等

56、人的DEM。Belytschko 等人的EFG法，Onate等人的FPM。Atluri 等人的LBIE 法和MLPG法。DEM和EFGM兩種方法十分相似，都采用了滑動最小二乘原理。它們的區(qū)別在于，DEM 是無意識采用了MLSM，EFGM則是有意識采用了MLSM，并且它考慮了DEM忽略掉的形函數(shù)的某些導數(shù)量，具有更高的精度。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,39,2.6 無單元法ELEMENT-FREE METHOD或Mesh

57、less Methods,單位分解法 單位分解法的思想最早是由美籍華人學者石根華提出的，主要為了解決巖石力學中特有的塊體元現(xiàn)象。 1995 年Texas 大學的Babaska 教授，Oden 教授和他的學生Duarte 博士將這種方法又發(fā)展了起來，并將其用于Hp-Clouds 方法。 對于求解區(qū)域Ω, 單位分解法使用一些相互交叉子域ΩI 來覆蓋, 并且要求所有的子域能夠完全覆蓋整個求解區(qū)域。再生核粒子法(Repro

58、ducing Kernel Particle Method RKPM) 由W. K.Liu 等人發(fā)展起來的RKPM，本質(zhì)上與核函數(shù)近似方法相同。 然而，由于它引入了邊界校正函數(shù)和尺度分析，因此，具有更高的精度和靈活性。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要特 點,40,邊界條件的處理 在不同的無網(wǎng)格方法中，處理邊界條件主要有下列幾種方法: 1) Lagrange 乘子法. 2)

59、 修改的變分原理. 3) 與有限元的耦合. 4) 采用奇異的權(quán)函數(shù). 5) 在單位分解法中用有限元的形函數(shù)作為單位分解函數(shù). 迄今為止,各種不同的無網(wǎng)格方法有10 余種。其中EFGM，RKPM，Hp-Clouds，PUFEM 等需采用“背景網(wǎng)格”作為積分域，從這個意義上講這些方法還不是“純無網(wǎng)格方法”，但它們遠比有限元網(wǎng)格法方便；而SPH法，F(xiàn)PM，Hp-Meshless

60、Method 等采用了配點格式，是真正的“無網(wǎng)格”方法，但精度比前者低，它們適合于高速撞擊引起的結(jié)構(gòu)的幾何畸變、工業(yè)材料成型過程、動態(tài)裂紋問題、相變問題、奇異性問題、高震蕩問題及巖土工程的分析計算。,2.6 無單元法ELEMENT-FREE METHOD或Meshless Methods,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,41,界面元又稱之為剛體彈簧元、剛體元、界面應力元等，它是基于日本東京大學Kaiwai 教授提出的剛體-

61、彈簧元模型而建立起來的。其方法是以各單元形心的6 個位移分量組成的整體位移列陣為基本未知量，因而，與單元形狀無關(guān)。與其他的數(shù)值方法相比，界面元具有下述優(yōu)點： (1) 由于采用了分片剛體位移模式，故在塊體單元的界面上，位移可以不連續(xù)，能夠較好地反映巖體滑移、開裂等變形特征。 (2) 界面應力是依賴于聯(lián)結(jié)相鄰單元微分條的相對變形量，故其應力精度不低于位移精度，從而，提高了應力狀態(tài)判據(jù)的可靠性，使其非線性解不至于出

62、現(xiàn)漂移。 (3) 界面元的離散模型的整體作用集中于各個界面，因此，主要的計算與塊體單元的形態(tài)無關(guān)，從而，可對具有復雜分布結(jié)構(gòu)面的巖體，進行數(shù)模仿真和為網(wǎng)格剖分帶來方便。,2.7 界 面 元,Interface Stress Element (ISE),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,42,(4) 對于巖石工程中開挖和加固過程的模擬, 界面元顯示出獨特的便利之處, 通過在開挖處布置界面, 可以直接由界面上的應

63、力求得開挖釋放荷載, 從而使開挖面成為應力自由面, 實現(xiàn)開挖過程的模擬。對于加固錨件, 只需將它視為界面元件, 便可方便地計算其對界面勁度矩陣的貢獻以及可能存在的預應力值, 能夠?qū)崿F(xiàn)幾何布局上的完全仿真。,2.7 界 面 元,Interface Stress Element (ISE),2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點,43,從界面應力元模型的建模過程可以看出, 與其他數(shù)值方法相比, 該法具有如下特點: ① 由

64、于采用了分片剛體位移模式，故在塊體單元的界面上，位移可以是不連續(xù)的, 能夠較好地反映巖體滑移、開裂等變形特征； ② 界面元可歸屬為非協(xié)調(diào)元， 在一定程度上能夠消除位移協(xié)調(diào)元模型太剛的弊病, 有望獲得較高的位移精度, 更重要的是, 由于界面應力采用的算式是依賴于相對位移值的代數(shù)算式, 故其應力精度不低于位移精度, 這就提高了非線性計算中應力狀態(tài)判據(jù)的可靠性, 保證了非線性解不出現(xiàn)漂移現(xiàn)象; 　?、?界面元離散模型的整體作用

65、集中于各個界面, 主要的計算(如界面勁度矩陣) 與塊體單元的形態(tài)無關(guān), 從而給具有復雜分布結(jié)構(gòu)面的巖體數(shù)模仿真和網(wǎng)格剖分帶來很大的方便; 　　④ 對于巖石工程中開挖和加固過程的模擬, 界面元顯示出獨特的便利之處, 通過在開挖處布置界面, 可以直接由界面上的應力求得開挖釋放荷載, 從而使開挖面成為應力自由面, 實現(xiàn)開挖過程的模擬。對于加固錨件, 只需將它視為界面元件, 便可方便地計算其對界面勁度矩陣的貢獻以及可能存在的預應力值, 能夠?qū)?/p>

66、現(xiàn)幾何布局上的完全仿真。,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要特點,2.7 界 面 元,Interface Stress Element (ISE),44,2、幾種常見數(shù)值分析方法的主要特點,2.7 界 面 元,Interface Stress Element (ISE),以上簡單地介紹了目前巖土工程界較為流行的數(shù)值分析方法，有限元、離散元、FLAC、流形元、DDA、無單元、界面元七種主要方法，其中較為成熟的方法是前三種，后三種事

67、實上還在研究與探索之中。不過上述的數(shù)值分析方法并不能包括數(shù)值分析的全部了。如邊界元也是數(shù)值分析的一種重要的方法，但是這種方法對于巖土工程的問題其實是不適用的。只有當他作為一種邊界條件問題與其他的方法耦合使用，才能對巖土工程的問題產(chǎn)生有意義的結(jié)果。 此外，很多新的方法，特別是一些非傳統(tǒng)的方法，如非線性系統(tǒng)動力學方法，灰色系統(tǒng)、系統(tǒng)工程、人工神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳方法，可拓學方法，統(tǒng)計推斷方法等，也都應當歸于數(shù)值分析的方法之中。,4

68、5,在很多巖土工程的實際問題中，由于巖土的非均質(zhì)、非線性的性狀以及幾何形狀的任意性、不連續(xù)性等因素，在多數(shù)情況下不能獲得解析解。最近幾十年來，隨著計算機計算能力強大功能，在巖土工程中，數(shù)值分析受到了極大的重視，各種數(shù)值方法在巖土工程中都得到了廣泛的應用，而巖土工程中的各種復雜問題的解決又深化和豐富了數(shù)值分析的內(nèi)容。 由于巖土工程問題的復雜性，在計算機技術(shù)發(fā)展之前，以定性認識 為主，由于定性問題的認識對巖