建筑造型裝飾與三維動畫 第4章

1、第4章 圖形變換,4.1　二維圖形幾何變換,4.1.1　齊次坐標所謂齊次坐標表示法就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。例如：二維坐標點P(x,y)的齊次坐標為： (H?x , H?y , H)其中，H是任一不為0的比例系數(shù)。,,4.1.2　二維圖形的基本變換如果用P= [x y 1]表示XY平面上一個未被變換的點，用P’= [x’ y’ 1]表示P點經(jīng)某種變換后的新點，用一個3*3矩陣T

2、表示變換矩陣：則圖形變換可以統(tǒng)一表示為：P’=P·T,,,1．平移變換 平移是一種不產(chǎn)生變形而移動物體的剛體變換。 假定從點P平移到點P’ ，點P沿X方向的平移量為m，沿Y方向的平移量為n，構造平移矩陣T：,,,2．比例變換基本的比例變換是指圖形相對于坐標原點，按比例系數(shù)(Sx,Sy)放大或縮小的變換。假定點P相對于坐標原點沿X方向放縮Sx倍，沿Y方向放縮Sy倍，構造比例矩陣T：,,

3、,如果比例變換矩陣為如下形式：此時進行整體比例變換，比例系數(shù)為(1/S，1/S)。,,,3．旋轉變換基本的旋轉變換是指將圖形圍繞圓心逆時針轉動一個θ角度的變換。假定從P點繞原點逆時針旋轉θ角到P’點，構造旋轉矩陣T：,,,4．對稱變換（1）關于X軸的對稱變換點P(x,y)關于X軸的對稱點為 P’(x, -y)，構造對稱矩陣T：,,,（2）關于Y軸的對稱變換點P(x,y)關于Y軸的對稱點為 P’(-x,

4、 y)，構造對稱矩陣T：,,,（3）關于坐標原點的對稱變換點P(x,y)關于坐標原點的對稱點為 P’(-x, -y)，構造對稱矩陣T：,,,（4）關于y=x（+45°）直線的對稱變換點P(x,y)關于y=x直線的對稱點為 P’(y,x) ，構造對稱矩陣T：,,,（5）關于y=-x（-45°）直線的對稱變換點P(x,y)關于y=-x直線的對稱點為 P’(-y,-x)，構造對稱矩陣T：,,,5．錯切變換

5、 錯切變換也稱剪切、錯位、錯移變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理。,,（1）沿X軸方向關于y的錯切點P(x,y) 沿X軸方向關于y進行錯切變換，錯切角度為α。令e=tgα，構造錯切矩陣T：,,,（2）沿Y軸方向關于x的錯切點P(x,y) 沿Y軸方向關于x進行錯切變換，錯切角度為β。令b=tgβ，構造錯切矩陣T：,,,6．變換矩陣的功能分區(qū)五種二維基本變換，它們的變換矩陣都可以用如下的3*3矩陣來描述：

6、（1）左上角的2*2子塊可實現(xiàn)比例、旋轉、對稱、錯切四種基本變換；（2）左下角的1*2子塊可實現(xiàn)平移變換；（3）右上角的2*1子塊可實現(xiàn)投影變換；（4）右下角的1*1子塊可實現(xiàn)整體比例變換。,,4.1.3　復合變換 對于任何一個比較復雜的變換，都可以轉換成若干個連續(xù)進行的基本變換。這些基本幾何變換的組合稱為復合變換，也稱為級聯(lián)變換。 設圖形經(jīng)過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2,…, Tn，

7、則稱T=T1?T2?… ?Tn為復合變換矩陣。,,1．連續(xù)平移變換2．連續(xù)比例變換3．連續(xù)旋轉變換4．相對任一參考點的二維幾何變換5．以平面內任一直線為對稱軸進行對稱變換,4.2 三維圖形幾何變換,4.2.1 三維圖形的基本變換如果用P= [x y z 1]表示三維空間上一個未被變換的點，用P’= [x’ y’ z’ 1]表示P點經(jīng)某種變換后的新點，用一個4*4矩陣T表示變換矩陣：則圖形變換可

8、以統(tǒng)一表示為：P’=P·T,,同樣可對三維圖形幾何變換的4*4矩陣T進行功能分區(qū)，其中：（1）左上角的3*3子塊可實現(xiàn)比例、旋轉、對稱、錯切四種基本變換；（2）左下角的1*3子塊可實現(xiàn)平移變換；（3）右上角的3*1子塊可實現(xiàn)投影變換；（4）右下角的1*1子塊可實現(xiàn)整體比例變換。,,1．平移變換假定從點P平移到點P’ ，點P沿X方向的平移量為l，點P沿Y方向的平移量為m，沿Z方向的平移量為n，則可構

9、造平移矩陣T：,,,2．比例變換（1）局部比例變換假定點P相對于坐標原點沿X方向放縮Sx倍，沿Y方向放縮Sy倍，沿Z方向放縮Sz倍，其中Sx、Sy和Sz稱為比例系數(shù)，則可構造比例矩陣T：,,,（2）整體比例變換其變換矩陣為：S的取值所起到的作用與二維變換相同。,,,3．旋轉變換下面討論的三種基本旋轉變換，都是考慮在右手坐標系下，某點繞坐標軸逆時針旋轉θ角的情況 。（1）繞Z軸旋轉構造旋轉矩

10、陣T：,,,（2）繞X軸旋轉 構造旋轉矩陣T：（3）繞Y軸旋轉構造旋轉矩陣T：,,,,4．對稱變換（1）關于坐標原點的對稱變換（2）關于坐標軸的對稱變換（以關于X軸的對稱變換為例）,,,,（3）關于坐標平面的對稱變換（以關于XOY坐標平面的對稱變換為例）,,,5．錯切變換三維圖形錯切變換可以沿X軸、Y軸、Z軸三個方向產(chǎn)生錯切變換，構造錯切變換矩陣T：根據(jù)元素所在的列，可以判斷

11、出是沿哪個坐標軸方向進行錯切。根據(jù)元素所在的行，可以判斷出是關于哪個坐標變量的錯切。,,,4.2.2 復合變換 1．相對空間任一點的幾何變換2．相對空間任一直線的幾何變換,4.3 投影變換,4.3.1 投影變換的基本概念將三維空間中的物體變?yōu)槎S圖形表示的過程稱為投影變換。投影變換的分類：,,投影的要素包括投影對象、投影中心、投影平面、投影線和投影。要作投影變換的物體稱為投影對象；在三維空間中，選擇一個點，記這個

12、點為投影中心；不經(jīng)過這個點再定義一個平面，記這個平面為投影平面；從投影中心向投影平面引任意多條射線，記這些射線為投影線；穿過物體的投影線與投影面相交，在投影面上形成物體的像，這個像記為三維物體在二維投影面上的投影。,,投影變換可分為兩大類：透視投影和平行投影。它們的本質區(qū)別在于：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的，而平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的。,,4.3.2 平行投影平行投影的投影中心與投影平面之間的距

13、離為無窮遠；投影線之間相互平行；平行線的平行投影仍是平行線。按照投影方向與投影平面的交角不同，平行投影分為兩類：正平行投影和斜平行投影。,,1．正平行投影正平行投影的投影方向垂直于投影平面。按照投影平面與坐標軸的交角不同，正平行投影又可分為兩類：正投影與正軸測。當投影平面與某一坐標軸垂直時，得到的投影為正投影；否則，得到的投影為正軸測。,,（1）正投影正投影也稱為三視圖。按照投影平面是否與Y軸、X軸、Z軸垂直，

14、正投影分為主視圖、側視圖和俯視圖三種，此時投影方向分別與這個坐標軸的方向一致。,,（2）正軸測根據(jù)變形系數(shù)之間的關系，正軸測投影可分為正等測投影、正二測投影、正三測投影 。,,2．斜平行投影斜平行投影的投影方向不垂直于投影平面，而是與投影面成α夾角。 在工程制圖中，經(jīng)常選擇一些兼有美觀及繪圖方便的α 角來作斜平行投影，常用的兩種是斜等測和斜二測。,,4.3.3 透視投影1．透視投影的術語和分類透視投影的投影中

15、心與投影平面之間的距離為有限的。投影線（視線）從投影中心（視點）出發(fā)，投影線是不平行的。對于透視投影，一束平行于投影平面的平行線的投影仍可保持平行，而不平行于投影平面的平行線的投影會收斂到一個點，這個點稱為滅點（Vanishing Point）。平行于坐標軸的平行線在投影平面上形成的滅點稱為主滅點。,,根據(jù)主滅點的個數(shù)，透視投影可分為一點透視、二點透視和三點透視。（1）一點透視：有一個主滅點，即投影平面與一個坐標軸正交

16、，與另外兩個坐標軸平行。（2）二點透視：有兩個主滅點，即投影平面與兩個坐標軸相交，與另一個坐標軸平行。（3）三點透視：有三個主滅點，即投影面與三個坐標軸都相交。,,2． 透視投影的表示方法假設投影中心在坐標原點，投影平面與Z軸垂直，在z＝d的位置上。點P(x,y,z)在投影平面上的投影點為：P’(x’,y’,d)，構造透視投影的變換矩陣T：,,,3．透視異常（1）透視縮小效應（2）滅點效應（3）觀察混淆

17、（4）布局失真,4.4 坐標系統(tǒng)及其變換,4.4.1 坐標系統(tǒng)1．建模坐標系（MC）2．世界坐標系（WC）3．觀察坐標系（VC）4．投影坐標系（PC）5．設備坐標系（DC）,,4.4.2 模型變換模型變換是將建模坐標系中的形體轉換為世界坐標系中描述的變換。一旦用戶定義建模坐標系中的“局部”物體，通過指定建模坐標系的原點在世界坐標系中的位置，然后通過前面介紹過的幾何變換，就可很容易地將“局部”物體放

18、入世界坐標系內，使它由局部上升為全局。,,4.4.3 觀察變換觀察變換是將一個三維對象在世界坐標系統(tǒng)中的坐標轉變?yōu)樵谟^察坐標系統(tǒng)中的坐標過程。 1．觀察平面2．觀察體3．規(guī)范化觀察體4．從世界坐標系到觀察坐標系的變換,,4.4.4 窗口-視區(qū)變換窗口用來確定要顯示的物體，視區(qū)確定實際顯示圖形。實際情況中，窗口與視區(qū)的大小往往不一樣。如果要在視區(qū)正確地顯示形體，必須將其從窗口變換到視區(qū)，此過程稱為窗口-視區(qū)變換。,,