專題 圓錐曲線中的最值與范圍問題

1、1高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓錐曲線中的最值問題和范圍的求解策略圓錐曲線中的最值問題和范圍的求解策略最值問題是圓錐曲線中的典型問題，它是教學(xué)的重點(diǎn)也是歷年高考的熱點(diǎn)。解決這類問題不僅要緊緊把握?qǐng)A錐曲線的定義，而且要善于綜合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識(shí)。以下從五個(gè)方面予以闡述。一求距離的最值或范圍：一求距離的最值或范圍：例1.1.設(shè)AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4，則AB的中點(diǎn)M到直線y1=0的最短距離為，解析：解析：拋物

2、線y=x2的焦點(diǎn)為F（0，41），準(zhǔn)線為y=41?，過A、B、M準(zhǔn)線y=41?的垂線，垂足分別是A1、B1、M1，則所求的距離d=MM143=21(AA1BB1)43=21(AFBF)43≥21AB43=21443=411當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)，d取最小值411，評(píng)注：評(píng)注：靈活運(yùn)用拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)，使解題簡潔明快，得心應(yīng)手。練習(xí)：1、(2008海南、寧夏理海南、寧夏理)已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P

3、到點(diǎn)Q（2，－1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（A）A.（41，－1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，－2）2、（2008安徽文）安徽文）設(shè)橢圓2222:1(0)xyCabab????其相應(yīng)于焦點(diǎn)(20)F的準(zhǔn)線方程為4x?.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知過點(diǎn)1(20)F?傾斜角為?的直線交橢圓C于AB兩點(diǎn)，求證：2422ABCOS???（Ⅲ）過點(diǎn)1(20)F?作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A

4、B和DE求ABDE?的最小值解：（：（1）由題意得：2222222844caacbabc??????????????????∴∴橢圓C的方程為22184xy??(2)方法一：方法一：由（1）知1(20)F?是橢圓C的左焦點(diǎn)，離心率22e?設(shè)l為橢圓的左準(zhǔn)線。則:4lx??作1111AAlABBlB??于于，l與x軸交于點(diǎn)H(如圖)∵點(diǎn)A在橢圓上1122AFAA?∴112(cos)2FHAF???122cos2AF???122cosAF?

5、??∴同理122cosBF???3所求“果圓”方程為2241(0)7xyx??≥，2241(0)3yxx??≤（2）設(shè)()Pxy，，則2222||ycaxPM??????????22222()1()04bacxacxbcxc??????????????，≤≤，0122??cb?，?2||PM的最小值只能在0?x或cx??處取到即當(dāng)PM取得最小值時(shí)，P在點(diǎn)12BB，或1A處（3）||||21MAMA??，且1B和2B同時(shí)位于“果圓”的半橢

6、圓22221(0)xyxab??≥和半橢圓22221(0)yxxbc??≤上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓22221(0)xyxab??≥上的情形即可2222||ycaxPM??????????22222222224)(4)(2)(ccaacabccaaxac??????????????當(dāng)22()2aacxac??≤，即2ac≤時(shí)，2||PM的最小值在222)(ccaax??時(shí)取到，此時(shí)P的橫坐標(biāo)是222)(ccaa

7、?當(dāng)accaax???222)(，即ca2?時(shí)，由于2||PM在ax?時(shí)是遞減的，2||PM的最小值在ax?時(shí)取到，此時(shí)P的橫坐標(biāo)是a綜上所述，若2ac≤，當(dāng)||PM取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是222)(ccaa?；若ca2?，當(dāng)||PM取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是a或c?4、已知P點(diǎn)在圓x2(y2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓2219xy??上移動(dòng)試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時(shí)|PQ|最大，因此

8、要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O1Q|2=x2(y4)2①因Q在橢圓上則x2=9(1y2)②將②代入①得|O1Q|2=9(1y2)(y4)2218272y??????????因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以1?y?1，故當(dāng)12y?時(shí)，1max33OQ?此時(shí)max331PQ??二求角的最值二求角的最值例2M，N分別是橢圓12422??yx的左、右焦點(diǎn)，l是橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)P在l上，則∠MPN的最大值是.解析