二維區(qū)域本征值問(wèn)題的研究畢業(yè)論文

1、二維區(qū)域上本征值問(wèn)題的研究第1頁(yè)共9頁(yè)二維區(qū)域上本征值問(wèn)題的研究二維區(qū)域上本征值問(wèn)題的研究徐榮超(安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院安徽安慶246011)指導(dǎo)教師：章禮華摘要：摘要：本文是對(duì)二維區(qū)域上的本征值問(wèn)題進(jìn)行研究，二維本征值問(wèn)題涉及二維振動(dòng)問(wèn)題、輸運(yùn)問(wèn)題以及穩(wěn)定場(chǎng)等問(wèn)題。首先寫(xiě)出相關(guān)的定解問(wèn)題，然后導(dǎo)出二維本征值問(wèn)題，如矩形、圓形、三角形、扇環(huán)形等區(qū)域，并運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方法教程中所涉及的方法對(duì)其進(jìn)行求解，例如分離變量法，拉普拉斯變換法

2、，得到本征值和本征函數(shù)。最后對(duì)各種二維區(qū)域的本征值問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，并進(jìn)行分析比較。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：二維區(qū)域，本征值問(wèn)題，分離變量法1引言引言在運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方程來(lái)研究物理問(wèn)題時(shí)，我們都必須要解數(shù)學(xué)物理方程而求解數(shù)學(xué)物理方程的過(guò)程中必然會(huì)產(chǎn)生本征值問(wèn)題，需要我們對(duì)本征值問(wèn)題進(jìn)行求解。梁昆淼的《數(shù)學(xué)物理方法》、姚端正的《數(shù)學(xué)物理方法》以及四川大學(xué)出版的《高等數(shù)學(xué)第四冊(cè)》均詳細(xì)的向我們講解了利用分離變量法、積分變換等方法來(lái)對(duì)各種有界問(wèn)題進(jìn)行求解，

3、其中包括矩形區(qū)域和圓形區(qū)域[1][2][3]；章禮華的《等腰三角形薄膜振動(dòng)的解析解》在矩形膜的特征解的基礎(chǔ)上，求解了占據(jù)等腰三角形區(qū)域的均勻膜的橫振動(dòng)問(wèn)題，并討論了等腰三角形的均勻膜的橫振動(dòng)的某些性質(zhì)[4]；彭芳麟的《數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB求解與可視化》以及《計(jì)算物理基礎(chǔ)》向我們介紹了利用MATLAB指令來(lái)求解二維區(qū)域上本征值問(wèn)題，并可將結(jié)果用圖形甚至動(dòng)畫(huà)表現(xiàn)出來(lái)[5][6]。在解決二維振動(dòng)方程問(wèn)題、輸運(yùn)問(wèn)題或者穩(wěn)定場(chǎng)等問(wèn)題時(shí)免不了

4、要面臨對(duì)二維本征值問(wèn)題的求解，因此研究二維區(qū)域上本征值問(wèn)題對(duì)于解決各種二維數(shù)學(xué)物理方程有著非常重要的作用和意義。2本征值問(wèn)題的基本概念本征值問(wèn)題的基本概念考慮長(zhǎng)為兩端固定的弦的自由振動(dòng)l(1)??????????????????????0)()(000000002lxxuxutuutlxuautttlxxxxtt??由經(jīng)典力學(xué)的知識(shí)我們清楚地知道，兩端固定的弦的自由振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生駐波，這就指導(dǎo)我們應(yīng)該考慮利用駐波的一些性質(zhì)來(lái)解決這樣的問(wèn)題。

5、在經(jīng)典力學(xué)中，駐波的表達(dá)式為(2)txAtxu????2cos2cos2)(?對(duì)于定解問(wèn)題(1)式可設(shè)其分離變數(shù)的試探解為(3))()()(tTxXtxu?也就是說(shuō)和分別只是變量和的函數(shù)，變量和可以分開(kāi)互不影響。把試探解)(xX)(tTxtxt（3）式帶入定解問(wèn)題方程，分離變量得到二維區(qū)域上本征值問(wèn)題的研究第3頁(yè)共9頁(yè)（9）將定解問(wèn)題分離變量得三個(gè)方程為(10)0)()()(?????xXxX??(11)0)()(????yYyY?(1

6、2)0)(2????TatT?方程（10）和其對(duì)應(yīng)的邊界條件構(gòu)成一個(gè)本征值問(wèn)題????????????0)(0)0(0)()()(cxXxXxXxX??(13)方程（11）和其對(duì)應(yīng)的邊界條件構(gòu)成又一個(gè)本征值問(wèn)題(14)???????????0)(0)0(0)()(byYyYyYyY?分別求解得到本征值問(wèn)題（13）和（14）的本征值和本征函數(shù)分別為(15)?????321)(sin)(2mbmbymyYmm???(16)??????321

7、)(sin)(2ncncxnxXmmnm????即得到矩形膜的振動(dòng)的本征模為22)()(sinsin)()(cnbmbymcxnyYxXmnmm????????3.23.2圓形區(qū)域上本征值問(wèn)題圓形區(qū)域上本征值問(wèn)題考慮一個(gè)半徑為上下兩面絕熱的薄圓盤(pán)上的穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題，如圖2所示。由于邊界是圓周，a因此采用極坐標(biāo)求解更為簡(jiǎn)便，又因?yàn)閳A盤(pán)的上下兩面絕熱，所以沒(méi)有熱量流動(dòng)，又因?yàn)閳A盤(pán)很薄，因此可以看成是二維圓形區(qū)域的穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題。在極坐標(biāo)下該問(wèn)