蒙特卡羅方法在通量計(jì)算中的應(yīng)用

1、第六章 蒙特卡羅方法在通量計(jì)算中的應(yīng)用,通量的定義通量的能譜和角分布計(jì)算體通量的模擬方法計(jì)算面通量的模擬方法計(jì)算點(diǎn)通量的模擬方法與通量有關(guān)的物理量的計(jì)算作 業(yè),,第六章 蒙特卡羅方法在通量計(jì)算中的應(yīng)用,通量計(jì)算在粒子輸運(yùn)問(wèn)題中占有非常重要的地位。很多問(wèn)題，如碰撞率、反應(yīng)率以及系統(tǒng)逃脫幾率等都可以通過(guò)通量來(lái)計(jì)算。通量計(jì)算問(wèn)題，包括點(diǎn)通量、面通量和體通量的計(jì)算問(wèn)題。相對(duì)來(lái)說(shuō)，點(diǎn)通量的計(jì)算要困難一些。,,,通量的定義,設(shè)

2、 分別表示粒子的位置、能量和運(yùn)動(dòng)方向。則通量 的定義為：,,,,在 r 點(diǎn)的體積元 dV 內(nèi)，能量E 和運(yùn)動(dòng)方向Ω屬于dE dΩ的粒子平均徑跡長(zhǎng)度。,點(diǎn)通量的定義,,,,給定點(diǎn) r0 的點(diǎn)通量為： 點(diǎn)通量的含義為：,在r0點(diǎn)的體積元dV內(nèi)，粒子的平均徑跡長(zhǎng)度。,面通量的定義,,,,給定曲面 A0 上的面通量為： 面通量的含義為：,沿曲面A0的法線方向增加厚度ds 所組成

3、的體積元的體積元A0ds中，粒子的平均徑跡長(zhǎng)度。,體通量的定義,,,,給定體 V0 內(nèi)的體通量為： 體通量的含義為：,在體V0內(nèi)，粒子的平均徑跡長(zhǎng)度。,粒子各次散射對(duì)通量的貢獻(xiàn),,,,通量 可用粒子各次散射對(duì)通量的貢獻(xiàn)和表示： 其中 為粒子 n 次散射后對(duì)通量的貢獻(xiàn)，其含義為：,粒子在第 n 次散射到第 n＋1 次散射之間，在 r 點(diǎn)的體積元 dV

4、內(nèi)，能量E 和運(yùn)動(dòng)方向Ω屬于dE dΩ的粒子平均徑跡長(zhǎng)度。,通量的能譜與角分布,用蒙特卡羅方法計(jì)算通量的能譜與角分布，所采用的手段與計(jì)算其它物理量一樣，即把能量和方向分成若干個(gè)區(qū)間，分別按粒子狀態(tài)所處的區(qū)間累積記錄各自的貢獻(xiàn)。,,,,,,現(xiàn)將能量分成 I 區(qū)：ΔE1，ΔE2，…，ΔEI；方向分成 J 區(qū)：ΔΩ1，ΔΩ2，…，ΔΩI。則有：,,,計(jì)算體通量的模擬方法,在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常遇到要計(jì)算某一區(qū)域V0 的體通量。

5、 在通量的定義部分已經(jīng)介紹過(guò)，通量可以表示為粒子各次散射對(duì)通量的貢獻(xiàn)和。因此，下面要介紹的各種估計(jì)方法，只敘述各次散射后的通量計(jì)算方法。 計(jì)算體通量的方法主要有以下幾種。,,,,解析(統(tǒng)計(jì))估計(jì)方法,,,粒子 n 次散射（n＝0 時(shí)為源粒子）后的通量貢獻(xiàn)為：其中，s1和s2分別為粒子由點(diǎn)rn出發(fā)，沿Ωn方向到達(dá)區(qū)域V0的近端和遠(yuǎn)端的交點(diǎn)的距離。如果點(diǎn)rn在V0內(nèi)，則 s1＝0。如果粒子沿Ωn方向與V0有多

6、段相交，則 為每段相交線段的通量貢獻(xiàn)之和。如果粒子沿Ωn方向與V0不相交，則 。,,,,解析估計(jì)方法就是把體通量的貢獻(xiàn)表達(dá)式直接計(jì)算出來(lái)。當(dāng)系統(tǒng)為均勻介質(zhì)時(shí)，如果只是V0為均勻介質(zhì)，則如果V0由多層介質(zhì)組成，則需分段計(jì)算積分。 在解析估計(jì)方法中，粒子每發(fā)生一次碰撞（包括零次散射），都要記錄通量的貢獻(xiàn)值。,,,,,徑跡長(zhǎng)度方法,,,設(shè)粒子從第 n 次散射到第

7、 n＋1 次散射之間走過(guò)的徑跡長(zhǎng)度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 徑跡長(zhǎng)度方法就是把粒子在V0內(nèi)走過(guò)的徑跡長(zhǎng)度記錄下來(lái)。,,,,下面證明，徑跡長(zhǎng)度估計(jì)是無(wú)偏的。,,,,,碰撞密度方法,,,設(shè)粒子從第 n 次散射到第 n＋1 次散射之間走過(guò)的徑跡長(zhǎng)度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 碰撞密度方法就是把粒子在V0內(nèi)發(fā)生的碰撞記錄下來(lái)。,,,,下面證明，碰撞密度估計(jì)是無(wú)偏的。,,,,,均勻徑跡長(zhǎng)度

8、方法,,,確定一個(gè)定義在 [s1,s2] 上的概率密度函數(shù) fn(s)，從 fn(s)中抽樣 s*，則 n 次散射通量貢獻(xiàn)的估計(jì)為：fn(s)的最簡(jiǎn)單形式是均勻分布這時(shí),,,點(diǎn)通量代替方法,,,設(shè) 為在V0上定義的任一概率密度函數(shù)，則體通量可表示為：體通量的估計(jì)為：其中，r*為從 中抽取的一個(gè)樣本值。,,,幾種方法的比較,,,解析估計(jì)方法：直接計(jì)算體通量的貢

9、獻(xiàn)表達(dá)式，因此該方法的方差小，但計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，需要計(jì)算指數(shù)函數(shù)的積分。徑跡長(zhǎng)度方法：記錄貢獻(xiàn)方法簡(jiǎn)單，可與輸運(yùn)過(guò)程同時(shí)進(jìn)行，只要粒子穿過(guò)記錄區(qū)域就有貢獻(xiàn)。但該方法方差大些，對(duì)于較小的系統(tǒng)（如自由程個(gè)數(shù)小于2），該方法較好。碰撞密度方法：由于只在記錄區(qū)域內(nèi)發(fā)生碰撞才有貢獻(xiàn)，因此方差較大，尤其在記錄區(qū)域較小時(shí)更是如此。但該方法省時(shí)間，適用于大的記錄區(qū)域。,,,,均勻徑跡長(zhǎng)度方法：在記錄區(qū)域?yàn)槎鄬咏橘|(zhì)時(shí)，較解析估計(jì)方法容易實(shí)現(xiàn)。但在記錄貢獻(xiàn)

10、時(shí)仍需計(jì)算指數(shù)函數(shù)，也費(fèi)時(shí)間。點(diǎn)通量代替方法：可以較好地解決小區(qū)域的體通量計(jì)算問(wèn)題。尤其是記錄區(qū)域與粒子的輸運(yùn)區(qū)域分開(kāi)時(shí)，更是如此。,,,,,計(jì)算面通量的模擬方法,計(jì)算面通量的方法主要有以下幾種。,,,,解析估計(jì)方法,,,設(shè)經(jīng)過(guò) n 次散射的粒子，由點(diǎn)rn出發(fā)，沿Ωn方向到達(dá)曲面域A0的距離為 s1，與曲面相交處曲面的法線方向?yàn)?n，則 n 次散射粒子對(duì)該曲面的通量貢獻(xiàn)為：如果粒子沿Ωn方向與A0有多個(gè)交點(diǎn)，則

11、 為每個(gè)交點(diǎn)處的通量貢獻(xiàn)之和。如果粒子沿Ωn方向與A0沒(méi)有交點(diǎn)，則 。 解析估計(jì)方法就是把面通量的貢獻(xiàn)表達(dá)式直接計(jì)算出來(lái)。粒子每發(fā)生一次碰撞（包括零次散射），都要記錄通量的貢獻(xiàn)值。,,,加權(quán)（徑跡長(zhǎng)度）方法,,,設(shè)粒子從第 n 次散射到第 n＋1 次散射之間走過(guò)的徑跡長(zhǎng)度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 加權(quán)方法只有在粒子穿過(guò)曲面A0時(shí)，才對(duì)該曲面有通

12、量貢獻(xiàn)。,,,點(diǎn)通量代替方法,,,設(shè) 為在A0上定義的任一概率密度函數(shù)，則面通量可表示為：面通量的估計(jì)為：其中，r*為從 中抽取的一個(gè)樣本值。,,,體通量代替方法,,,沿曲面A0的法線方向均勻地增加一個(gè)厚度Δs，由此構(gòu)成的體積為 。 的體通量為： A0的面通量為：因此，如取得足夠小，有如下近似：,,,計(jì)算點(diǎn)通量的模擬方法,與體通量、面通量的

13、計(jì)算相比，點(diǎn)通量的計(jì)算最困難。這是因?yàn)?，在大量的模擬粒子中，只能有很少的粒子穿過(guò)該點(diǎn)所包含的一個(gè)小區(qū)域，因此無(wú)法使用通常的通量計(jì)算方法。,,,,指向概率方法,,,設(shè) n 次散射后粒子的狀態(tài)為 ，進(jìn)入 n 次碰撞的粒子的狀態(tài)為 ， 表示粒子的碰撞核，其定義為：,,,一個(gè)粒子在點(diǎn) r 發(fā)生碰撞后，能量由E

14、9;變?yōu)镋的dE內(nèi)，方向由Ω'變?yōu)棣傅膁Ω內(nèi)的粒子平均數(shù)。,,則 n 次散射的粒子對(duì)點(diǎn) r* 的通量貢獻(xiàn)為：其中當(dāng) n＝0時(shí)，用源分布密度函數(shù) 代替碰撞核 。,,,,,,,,光子問(wèn)題的指向概率方法光子問(wèn)題的碰撞核為：其中光子能量E以電子靜止能量mec2≈0.5

15、11 MeV為單位；K(E'→E/r) 為Klein－Nishina公式，由下式確定N(r) 表示在 r 處單位立方體內(nèi)的原子數(shù)，z (r) 表示在 r 處元素的原子序數(shù)，r0表示電子的經(jīng)典半徑。,,,,,其中,,,,,中子問(wèn)題的指向概率方法中子問(wèn)題的碰撞核為：其中下標(biāo)A和 i 分別表示不同的原子核和不同的反應(yīng)； 和 分別表示能量為E'的中子

16、與第A種原子核發(fā)生第 i 種反應(yīng)后產(chǎn)生的平均次級(jí)中子數(shù)和微觀截面；NA(r) 表示在 r 處第A種原子核的核密度； 表示能量為E'和方向?yàn)棣?#39;的中子與第A種原子核發(fā)生第 i 種反應(yīng)后的能量E和方向Ω的分布。,,,,,則有中子的通量貢獻(xiàn)為：,,關(guān)于估計(jì)量無(wú)界問(wèn)題,,,當(dāng) r*點(diǎn)附近不含散射物質(zhì)時(shí)（如真空），也就是說(shuō)，粒子的輸運(yùn)區(qū)域與記錄點(diǎn)分開(kāi)時(shí)，指向概率方法的估計(jì)量是有界的，因此是一種比較好的計(jì)算點(diǎn)通量的方

17、法。不含散射物質(zhì)的區(qū)域越大，指向概率方法的優(yōu)點(diǎn)越明顯。 然而，當(dāng) r*點(diǎn)附近含有散射物質(zhì)時(shí)，由于在指向概率方法的估計(jì)量中含有無(wú)界因子因此，指向概率方法的估計(jì)量一般來(lái)說(shuō)是無(wú)界的。,,,與通量有關(guān)的物理量的計(jì)算,一些物理量可以通過(guò)通量來(lái)計(jì)算。,,,,系統(tǒng)逃脫概率,,,狀態(tài)為 的粒子的系統(tǒng)逃脫概率為：系統(tǒng)逃脫概率為：,,,各種反應(yīng)率,,,碰撞密度裂變中子密度吸收率反應(yīng)率,,,作 業(yè)