沖激函數(shù)在動(dòng)態(tài)電路分析中的應(yīng)用

1、沖激函數(shù)在動(dòng)態(tài)電路分析中的應(yīng)用,1,,§-1 沖激函數(shù),單位沖激函數(shù)(unit impulse function)又稱狄拉克?函數(shù)，其定義為單位沖激函數(shù)可以看成是脈沖函數(shù)p?(t)在??0時(shí)的極限。當(dāng)?減小時(shí)，脈沖函數(shù)的幅度1/?增加，而p?(t)曲線下的面積總保持為1，當(dāng)?趨近于零時(shí)，即為單位沖激函數(shù)?(t)。,2,沖激函數(shù)的強(qiáng)度,沖激函數(shù)所含的面積稱為沖激函數(shù)的強(qiáng)度，單位沖激函數(shù)為強(qiáng)度為1單位的沖激函數(shù)。對(duì)沖激電流

2、來(lái)說(shuō)，其強(qiáng)度的量綱為安培·秒，即庫(kù)侖。單位沖激電流是指強(qiáng)度為1庫(kù)侖，而不是指幅度為1單位(即1安培)的沖激電流。沖激電流的幅度趨于無(wú)限大，移動(dòng)的電荷為1庫(kù)侖，這些電荷的移動(dòng)是在極其短促(趨于零)的時(shí)間內(nèi)完成的，因而電流的幅度極大。,3,單位延時(shí)沖激函數(shù),單位延時(shí)沖激函數(shù)的定義為,4,單位延時(shí)沖激函數(shù)?(t-t0)可設(shè)想為：在t=t0處寬度趨于零，而幅度趨于無(wú)限大，但具有單位面積的脈沖。在t0處強(qiáng)度為A的沖激函數(shù)記為A?(t

3、-t0)。對(duì)沖激電流來(lái)說(shuō)可表為Q?(t-t0)；對(duì)沖激電壓來(lái)??(t-t0)。,其他形狀脈沖的極限情況,沖激函數(shù)一般看成是矩形脈沖函數(shù)的極限情況，其他形狀脈沖的極限情況也可作為單位沖激的近似。具有單位面積的三角形脈沖，當(dāng)?趨近于零時(shí)，可作為單位沖激的近似。,5,負(fù)指數(shù)函數(shù),當(dāng)??0時(shí)，f(t)趨近于單位沖激函數(shù)。,6,令,§-2 沖激函數(shù)的性質(zhì),沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù),7,根據(jù)定義,故得,沖激函數(shù)的性質(zhì),篩分性：除了在原

4、點(diǎn)外，對(duì)所有t，?(t)=0，因此，除了t=0外，對(duì)所有t，乘積f(t)?(t)也將為零。在t=0，f(t)=f(0)，故得,8,§-3電容電壓和電感電流的躍變,若電容的電流只能為有限值，則電容電壓不能躍變；若電感的電壓只能為有限值，則電感電流不能躍變。在實(shí)際電路中，由于電路滿足KCL和KVL，電容電壓和電感電流發(fā)生躍變都是可能出現(xiàn)的，在這種情況下，電容電流和電感電壓都應(yīng)為無(wú)限大。當(dāng)電容電壓和電感電流發(fā)生躍時(shí)，討論電容電壓

5、和電感電流初始值的計(jì)算問(wèn)題，就需要運(yùn)用沖激電流和沖激電壓的概念。,9,沖激電流概念,由電容的VAR 可表為,10,設(shè)t0=0-，t=0+,若Q?(t)流經(jīng)電容,電容的沖激電流,若不存在沖激電流，電容電壓不能躍變。有沖激電流作用時(shí)，則電容電壓可以躍變，躍變前后的電壓應(yīng)服從 其中Q為沖激電流的強(qiáng)度，亦即為由t=0-至t=0+期間電容所獲得的電荷。對(duì)單位電荷,11,沖激電壓的概念,由電感的VAR可表為,12,設(shè)t0=0-，

6、t=0+,在有沖激電壓作用時(shí)，則電感電流可以躍變，其中?為沖激電壓的強(qiáng)度，為由t0=0-到t=0+期間電感所獲得的磁鏈。,若沖激電壓為??(t),例-2,l?F電容兩端的電壓如圖，求電容電流并給波形圖。己知u(t)=50e-105tV，0＜t＜5×10-6s。解 設(shè)電容電壓、電流的參考方向一致。從波形可以看到在t=0和t=5?s時(shí)波形不連續(xù)，因此，在t=0和t=5?s時(shí)的沖激電流強(qiáng)度為,13,,例-3,電路如圖所示，開關(guān)在

7、t=0時(shí)閉合，已知uC1(0-)=US, uC2(0)=0，求uC1(0+)及uC2(0+)，iC1(t)，iC2(t)，t?0。,14,解 由KVL可知，開關(guān)閉合后的瞬間，兩電容的電壓必須相等。但uC1(0-)?uC2(0-)，因此在這一瞬間電容電壓有躍變:,,解答,電容電壓發(fā)生躍變，就必須要有沖激電流流過(guò)電容。在電路中流過(guò)電阻R的電流不可能含有沖激電流。沖激電流只可能在電容回路中流動(dòng)。按圖中所設(shè)電容電流方向，由KCL可得uC(0

8、+),15,解答,各電流為,16,在0-至0+期間，iC1(t)及iC2(t)中含有沖激電流，故得,§-4 沖激響應(yīng),零狀態(tài)電路對(duì)單位沖激信號(hào)的響應(yīng)稱為(單位)沖激響應(yīng)，用h(t)表示。可以認(rèn)為沖激信號(hào)作用于零狀態(tài)的電路時(shí)，立即在電路中建立了初始狀態(tài)，t=0后電路的響應(yīng)即由該初始狀態(tài)產(chǎn)生。對(duì)于t＞0，沖激響應(yīng)h(t)是零輸入響應(yīng)，它與由任何其他方式產(chǎn)生的同一初始狀態(tài)所形成的零輸入響應(yīng)沒(méi)有區(qū)別。計(jì)算沖激響應(yīng)時(shí)，先計(jì)算由?(t

9、)產(chǎn)生的在t=0+時(shí)的初始狀態(tài)，然后求解由這一初始狀態(tài)所產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)。此即為t＞0時(shí)的沖激響應(yīng)h(t)。,17,例-8,試求電路中電流及電感電壓的沖激響應(yīng)。,18,解 把電感看作開路，作出t=0時(shí)的等效電路(b)。來(lái)自沖激電源的沖激電壓全部出現(xiàn)于電感兩端。 關(guān)于沖激電壓全部出現(xiàn)于電感可理解如下：如果沖激電壓出現(xiàn)于電阻，則在電阻中將產(chǎn)生沖激電流，因而電感中也將有沖激電流，這樣，電感電壓將為沖激偶電壓，無(wú)法滿足KVL。,,解答,

10、確定電感電壓為?(t)后，可得,19,t>0時(shí)電感電壓,t=0時(shí),有沖激電壓出現(xiàn),t=0時(shí)電感電壓,零輸入響應(yīng),§-5 由階躍響應(yīng)求沖激響應(yīng),線性非時(shí)變電路有一個(gè)重要的性質(zhì)：如果激勵(lì)x產(chǎn)生響應(yīng)y，那末， 激勵(lì) 將產(chǎn)生響應(yīng)為 ； 激勵(lì) 將產(chǎn)生響應(yīng)為 K為積分常數(shù)。線性非時(shí)變電路的沖激響應(yīng)是它的階躍響應(yīng)的

11、導(dǎo)數(shù)，即,20,例,求RC并聯(lián)電路在沖激電流源?(t)作用下電壓u(t)的沖激響應(yīng)。,21,解 電路中電壓u的階躍響應(yīng)為,電容電壓發(fā)生了1/C的躍變,,例-12,試用諾頓定理求解補(bǔ)償分壓器的輸出壓u2(t)。,22,解 諾頓定理能用于線性動(dòng)態(tài)電路。ab的左邊部分可以用一個(gè)諾頓等效電路代替，即可以用一個(gè)電流源與N0的并聯(lián)組合代替。等效電流源的電流is(t)等于原電路中ab端的短路電流，見圖(b)。,,解答,N0為ab左邊部分各獨(dú)立源

12、及初始條件置零后的網(wǎng)絡(luò)，即R1與C1的并聯(lián)組合。,23,由圖(b)求短路電流時(shí)，電流可看成是電阻支路電流和電容支路電流之和。 電阻支路的電流為?(t)/Rl。階躍電壓?(t)作用于電容，意味著電容電壓發(fā)生躍變，因而電容支路的電流為C1?(t)。,解答,運(yùn)用疊加定理，階躍電流作用于電路時(shí)，u2(t)的分量u21(t)為,24,沖激電流產(chǎn)生u2(t)的分量u22(t)。由于u21(t)與R1的乘積即為該電路的單位階躍響應(yīng)，其導(dǎo)數(shù)為

13、沖激響應(yīng),§-6 線性非時(shí)變電路對(duì)任意輸入的響應(yīng),電路的沖激響應(yīng)和該電路的零輸入響應(yīng)相同，而電路的零輸入響應(yīng)的形式只與電路本身的性質(zhì)有關(guān)，與激勵(lì)的形式無(wú)關(guān)。沖激響應(yīng)是電路本身固有性質(zhì)的反映，是表明電路特征的一種方式。一旦有了電路的沖激響應(yīng)就可以得到該電路在任意輸入作用下的響應(yīng)，毋需知道描述該電路的微分方程。設(shè)網(wǎng)絡(luò)N為零狀態(tài)，在輸入x(t)的作用下，網(wǎng)絡(luò)某處的響應(yīng)為y(t)，如何用x(t)來(lái)表示y(t)呢?,25,任意輸入

14、響應(yīng),設(shè)網(wǎng)絡(luò)N的沖激響應(yīng)為h(t)。由于不同的網(wǎng)絡(luò)對(duì)同樣的沖激激勵(lì)，N的響應(yīng)不同，網(wǎng)絡(luò)N可用它的沖激響應(yīng)表征。h(t)是沖激在t=0時(shí)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)，由于網(wǎng)絡(luò)是非時(shí)變的，對(duì)于在t=?時(shí)作用的沖激，其響應(yīng)必為h(t-?),圖(b)。如果作用于N的沖激不是單位沖激而是強(qiáng)度為x(?)的沖激，那末，由于網(wǎng)絡(luò)是線性的，其響應(yīng)必為x(?)h(t-?)，圖(c)。,26,a,b,c,響應(yīng)是激勵(lì)與沖激響應(yīng)的卷積,?可以有不同的數(shù)值，如果把對(duì)應(yīng)于所

15、有?值的上述激勵(lì)之和作為N的輸入，則根據(jù)疊加定理，輸出就應(yīng)該是上述響應(yīng)之和。,27,把激勵(lì)的積分作為輸入，則響應(yīng)的積分便是輸出，即,響應(yīng)是激勵(lì)與沖激響應(yīng)的卷積,卷積性質(zhì),在卷積積分中沖激響應(yīng)h(t)和輸入x(t)可以交換。對(duì)于物理上可實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)，響應(yīng)(輸出)不能先于激勵(lì)(輸入)。沖激響應(yīng)h(t)是對(duì)沖激激勵(lì)?(t)的響應(yīng)，當(dāng)t<0時(shí)，?(t)=0，因而沖激響應(yīng)h(t)=0。,28,卷積性質(zhì),如果只限于討論輸入在t=0時(shí)作用

16、到網(wǎng)絡(luò)的情況，亦即,29,例-13,已知RL串聯(lián)電路電流的沖激響應(yīng)h(t)＝e-t?(t)，試求該電路在階躍電壓?(t)作用下的響應(yīng)i(t)。,30,解 RL串聯(lián)電路中，如果該電路電流的沖激響應(yīng)h(t)，利用卷積積分即可求得在任何輸入作用下的響應(yīng)i(t)。,,卷積圖示說(shuō)明,31,習(xí)題-15,(1)求圖(a)所示電路中電壓u(t)的沖激響應(yīng)。(2)求圖(b)所示電路中電流i(t)的沖激響應(yīng)。,32,,解 (1)已知uC(0-)=0。在

17、0-＜t＜0+期間，沖激電流?(t)在電阻上產(chǎn)生沖激電壓：,沖激電流使電容電壓發(fā)生躍變：,t>0時(shí)，沖激電流消失，電流源相當(dāng)于開路。這時(shí)， 電阻上沒(méi)有電壓，電容電壓保持不變。得到u(t)的單位沖激響應(yīng)為,解答,(2) (b)電路與(a)電路是互為對(duì)偶的。可以按對(duì)偶關(guān)系直接變換出i(t)的單位沖激響應(yīng)為,33,習(xí)題-21,電路如圖，以i2(t)為所求響應(yīng)。(1)求沖激響應(yīng)；(2)利用卷積積分和(1)的結(jié)果求階躍響應(yīng)；(3)求