3.2連續(xù)型隨機(jī)變量

1、3.2 連續(xù)型隨機(jī)變量,一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù) 定義：設(shè)R.V. 的d.f為 ，如果存在非負(fù)函數(shù) ，使得那么稱 為一連續(xù)型R.V.， 稱為R.V. 的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)。,這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù) P(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.,,故 的密度 P(x) 在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度

2、 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，則 P(x)相當(dāng)于線密度.,3. 對(duì) P(x)的進(jìn)一步理解:,要注意的是，密度函數(shù) P(x)在某點(diǎn)a處的高度，并不反映 取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則 取a附近的值的概率就越大。也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度。,連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0。,,,,即：,a為任一指定值,這是因?yàn)?需要指出的是:,,,,由此得，,1) 對(duì)連續(xù)型 r.v

3、. ,有,2) 由P( =a)=0可推知,而 { =a} 并非不可能事件,并非必然事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件。,可見(jiàn)，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B )=1, 不能推出B=S,【例1】設(shè)R.V. 具有密度函數(shù) 試求（1）常數(shù)C （2） 的d.f.F（x） （3）P(0≤ ≤1）,【解】,【例2】設(shè)R.V. 的d.f為求常數(shù)及R.V. 的p.

4、d.f。,【解】,二、幾種常見(jiàn)的連續(xù)型分布,它的實(shí)際背景是:r.v X取值在區(qū)間(a,b)上，并且取值在(a, b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.則X具有(a,b)上的均勻分布。,1.均勻分布,2.正態(tài)分布,若 的密度函數(shù)為,則稱 服從參數(shù)為 ? , ? 2 的正態(tài)分布,記作 ～ N ( ? , ? 2 ),為常數(shù)，,p (x) 的性質(zhì)：,圖形關(guān)于直線 x = ? 對(duì)稱： f (? + x) = f (? - x

5、),在 x = ? 時(shí), p(x) 取得最大值,在 x = ?±? 時(shí), 曲線 y = p (x) 在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn),曲線 y = p(x) 以x軸為漸近線,曲線 y = p(x) 的圖形呈單峰狀,,,p(x) 的兩個(gè)參數(shù)：,? — 位置參數(shù),即固定 ? , 對(duì)于不同的 ? , 對(duì)應(yīng)的 p(x)的形狀不變化，只是位置不同,? — 形狀參數(shù),固定 ? ，對(duì)于不同的? ，p(x) 的形狀不同。,若 ?1< ?2

6、則,比x = ? ? ?2 所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線x=?,附近值的概率更大。 x = ? ? ?1 所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn),前者取 ?,應(yīng)用場(chǎng)合,若隨機(jī)變量 受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個(gè)別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則服從正態(tài)分布。,可用正態(tài)變量描述的實(shí)例非常之多：,各種測(cè)量的誤差； 人的生理特征；,工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；,海洋波浪的高度； 金屬線的抗拉強(qiáng)度；,熱噪聲電流強(qiáng)度；

7、學(xué)生們的考試成績(jī)；,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算：,一種重要的正態(tài)分布：N (0,1) — 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,,,,-x,x,對(duì)一般的正態(tài)分布 ： ～N( ? ,? 2),其分布函數(shù),作變量代換,,,【例3】設(shè) ~ N(1,4) , 求 P (0 ? ? 1.6),【解】,,解一,,解二 圖解法,,,,,0.2,,由圖,,0,,,,,,,,,,=1.645,=2. 575,= -1.645,= -2.575,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 ? 分位數(shù) u?,

8、【例5】設(shè)測(cè)量的誤差 ～N(7.5,100)(單位：米),問(wèn)要進(jìn)行多少次獨(dú)立測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米的概率大于0.9?,解,設(shè)A表示進(jìn)行 n 次獨(dú)立測(cè)量至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米,所以至少要進(jìn)行 4 次獨(dú)立測(cè)量才能滿足要求。,,3. 指數(shù)分布,則稱 服從 參數(shù)為?的指數(shù)分布。,?? > 0 為常數(shù),對(duì)于任意的 0 < a < b,,應(yīng)用場(chǎng)合,用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中