基于主成分分析的企業(yè)運營評價數(shù)學建模優(yōu)秀論文

1、<p>　　題 目 基于主成分分析的企業(yè)運營評價 </p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文研究了該后勤集團的多項指標，運用主層分分析法作綜合分析。并且建立指標與時間的回歸模型，分析出這些指標表現(xiàn)優(yōu)劣的年份以及未來五年走勢。</p><p>　　問題一，要求對該后勤集團的經濟效益、發(fā)展?jié)摿σ约皟炔窟\營情況等

2、指標作綜合分析。將處理后的數(shù)據(jù)進行主成分分析，得出評價結果。</p><p>　　為了解決各細化指標單位及數(shù)值的差異，對數(shù)據(jù)進行標準化處理。將處理后的數(shù)據(jù)進行主成分分析，最后用每個主成分的方差貢獻率來作為權重計算綜合得分，綜合公式如下：</p><p>　　由此公式得出評價結果。分析結果可以知道這幾年經濟效益最好的是2009年，最差的是2001年。</p><p>

3、　　問題二，在問題一數(shù)據(jù)分析的基礎上指出這些指標表現(xiàn)優(yōu)劣的年份以及未來五年走勢。每個指標是隨著時間的變化而改變的，因此可以建立指標與時間的回歸模型。</p><p>　　經濟效益指標與時間的回歸方程為：</p><p>　　因此，由上函數(shù)關系和擬合圖可知經濟效益指標未來三年先上升然后開始下降。即2010年經濟效益的綜合得分為3.627，2011年為3.233，2012年為2.307，此后幾

4、年均為下降趨勢。</p><p>　　關鍵字 主成分分析法 指標與時間的回歸模型 方差貢獻率</p><p>　　一、問題的背景與重述</p><p><b>　　1.1問題背景</b></p><p>　　高校后勤工作是高校一切工作正常運行的保障和基礎，直接關系到高校的穩(wěn)定和改革發(fā)展"

5、;在進一步推進高校后勤社會化改革的同時，必須把做好高校后勤工作。提高高校后勤服務育人和管理育人水平作為高校重點工作之一。</p><p>　　隨著后勤社會化改革進程的加快，高校師生對后勤服務和管理水平的要求越來越高，高校后勤本身也需要不斷調整，使自己的服務管理水平符合科學化、程序化、專業(yè)化之要求。最近幾年高校規(guī)模的擴大，給學生社區(qū)和食堂管理帶來了新的課題。</p><p>　　綜上所述，非

6、常有必要分析后勤集團的各項指標發(fā)展情況，從過去的發(fā)展中借鑒經驗，從而建立科學高效的發(fā)展計劃，促進高校后勤企業(yè)在創(chuàng)造社會效益的同時創(chuàng)造經濟效益，為高校改革發(fā)展，做出更大貢獻。</p><p><b>　　1.2問題的重述</b></p><p>　　高校后勤集團是高等教育體制改革的產物，在經濟上自負盈虧，獨立核算。某高校后勤集團為了研究公司運營績效走勢，詳細了調查了20

7、00年至2009年的運營指標。包括經濟效益指標、發(fā)展能力指標、內部運營指標以及客戶滿意度指標。每個指標下面又有細化指標，且給出了我們具體調查結果，見題目中表1、表2、表3以及表4。</p><p><b>　　要求：</b></p><p>　　分析上述數(shù)據(jù)，并通過數(shù)學建模知識回答下述問題。</p><p>　　分別對該后勤集團的經濟效益、發(fā)展

8、潛，力以及內部運營情況等指標作綜合分析；</p><p>　　2、并且指出這些指標表現(xiàn)優(yōu)劣的年份以及未來五年走勢。</p><p><b>　　二、問題分析</b></p><p>　　2.1對問題一的分析</p><p>　　題目除了給出一些細化指標外還給出了客戶滿意度指標。而餐飲企業(yè)客戶的滿意指標與其運營情況有很大關

9、系，所以把該指標的影響考慮進去。從新的指標體系中不難發(fā)現(xiàn)，指標的個數(shù)較多，而且指標之間還存在一定的相關性，使得觀測數(shù)據(jù)在一定程度上反映的信息有所重迭。因此，采用多元統(tǒng)計分析中的主成份分析法來完成綜合評價。</p><p>　　首先，用因子分析法對滿意度進行綜合評分，得到每年的滿意度分數(shù)。把滿意度加入每個指標的細化指標得到新的評價體系。為了解決各細化指標單位及數(shù)值的差異，對數(shù)據(jù)進行標準化處理。將處理后的數(shù)據(jù)進行主成

10、分分析，得出評價結。</p><p>　　2.2對問題二的分析</p><p>　　問題二要求對每項指標的未來五年的發(fā)展做一個預測。根據(jù)問題一分析的結果，可以看出每個指標是隨著時間的變化而改變的，因此可以考慮建立指標與時間的回歸模型。通過回歸方程對未來五年做一個預測。從而可以清楚的看出企業(yè)在五年中的發(fā)展情況。</p><p><b>　　三、模型假設<

11、;/b></p><p>　　1．假設所有數(shù)據(jù)真實有效；</p><p>　　2．未來企業(yè)環(huán)境不會出現(xiàn)太劇烈的變化；</p><p>　　3．假設后勤集團在食堂上的運營情況，代表整個集團；</p><p>　　4．假設未來五年發(fā)展不受外界環(huán)境影響。[1]</p><p><b>　　四、符號說明<

12、/b></p><p>　　為了便于問題的求解，我們給出以下符號說明：（其他未說明的符號在文中第一次出現(xiàn)時會做詳細的說明。）</p><p>　　五、模型的建立與求解</p><p>　　5.1模型一的建立與求解</p><p>　　5.1.1數(shù)據(jù)的預處理</p><p>　?。?）因子分析法對滿意度進行綜合評分

13、</p><p>　　因子分析是將多個變量濃縮為少數(shù)幾個因子，以再現(xiàn)原始變量與因子之間的相關關系。這些因子能夠反映原有眾多變量的主要信息。顧客的滿意程度為主觀愿望指標，帶有一定的模糊性同時也與后勤消費人數(shù)有復雜關系。將二者合并一起做因子分析便可得出支配顧客滿意度潛在因素。形成新的綜合評價指標。</p><p>　　表1 因子提取結果表</p><p>　　下表給出了

14、每個因子的得分，用每個因子特征值的方差貢獻率對各因子得分進行加權，即可得出各年的加權綜合評分，計算公式為：</p><p><b>　　表2綜合評價表</b></p><p>　　5.1.2數(shù)據(jù)標準化出理</p><p>　　將滿意度綜合指標加入以后對新的評價樣本進行數(shù)據(jù)標準化處理，假設進行主成分分析的指標變量有m個：，共有n年。第i個年的第j

15、個指標為。將各指標轉化成標準指標。公式為：</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　即，為第個指標的樣本均值和樣本標準差。</p><p>　　下式為標準化指標變量</p><p><b>　　，</b></p><p>　　表示第j個指標均值，表示第j

16、個指標標準差。</p><p><b>　　處理結果見附錄。</b></p><p>　　5.1.3模型一的建立</p><p>　　經對濟效益指標、內部運營指標和發(fā)展?jié)摿χ笜私⒃u價模型，采用主成分分析方法[3]進行綜合評價。</p><p>　　主成分分析方法具有很好的降維處理技術，能將多個指標化為幾個不相關的綜合因

17、子，并且綜合因子變量能夠反映原始指標變量的絕大部分信息，能較好地解決多指標評價的要求。通過主成分分析、選擇個主分量，以每個主分量的方差貢獻率作為權數(shù),構造綜合評價函數(shù)：</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　其中為第個主成分的得分.當計算出每個指標的第主成分得分后,可由主</p><p>　　成分得分衡量每個企業(yè)在第個

18、主成分所代表的經濟效益方面的程度及地位.當把個主成分得分代入(1)式后,即可計算出每個企業(yè)綜合評價函數(shù)得分。以這個得分的大小排序，即可排列出每個企業(yè)經濟效益名次.綜合評價函數(shù)值越大,綜合經濟效益越好.</p><p>　　1、計算相關系數(shù)矩陣</p><p><b>　　相關系數(shù)矩陣</b></p><p><b>　　，</b

19、></p><p>　　式中是第個指標與第個指標的相關系數(shù)。</p><p>　　2、計算特征值和特征向量</p><p>　　計算相關系數(shù)矩陣的特征值，及對應的特征向量，。</p><p>　　其中，是由特征向量組成的個新的指標變量。</p><p>　　式中是第1主成分，是第2主成分，…，是第主成分</

20、p><p>　　3、征值的方差貢獻率和累積貢獻率。稱</p><p>　　為主成分的方差貢獻率。</p><p>　　為主成分的累積貢獻率。</p><p>　　當特征值小于1或累積貢獻率大于85%時，則選擇前個指標變量作為個主成分，代替原來個指標變量，從而可對個主成分進行綜合分析。</p><p><b>　　

21、綜合公式如下：</b></p><p>　　其中為第個主成分的方差貢獻率，根據(jù)綜合得分值就可進行價。</p><p>　　5.1.4模型一的求解</p><p><b>　　1、效益指標</b></p><p>　　用主成分分析法，把經濟效益的六個指標看為六個變量，用分析六個變量之間的相關系數(shù)，并通過進行數(shù)據(jù)

22、處理，得出其相關系數(shù)矩陣，如表3所示。</p><p>　　表3為六個變量的相關系數(shù)矩陣，其中全部數(shù)據(jù)在0.8以上，結果驗證啦分析中的假設，說明它們之間的相關性非常高，如果直接用于分析，可能會帶來嚴重的共線性問題導致結果重疊。</p><p>　　因此利用主成分分析提取出主要信息，然后使用提取出的主成分代替原變量進行分析，就可以避開原變量的共線性問題。</p><p&g

23、t;　　通過分析相關系數(shù)矩陣特征向量的方差貢獻率，得到下表：</p><p><b>　　表4 總特征值表</b></p><p>　　表4為整個分析中核心的部分：它把主成分按照特征根從大到小的次序排列，可見第一個主成分的特征根為5.684，它解釋了數(shù)據(jù)總變異的94.726%，這說明該成分的解釋力度足夠大。這六個變量只需要提取出第一個變量作為主成分即可。</p&

24、gt;<p>　　另一方面，下圖給出了特征根的碎石圖：</p><p><b>　　圖1碎石圖</b></p><p>　　該圖中，具有較強解釋能力的因子一般在圖中表現(xiàn)為較大的斜率，從上圖可以看出第一個因子在非常陡峭的斜率上，后面的因子斜率開始變平緩，因此選擇第一個因子為主成分。</p><p>　　為了確定每個變量的線性組合系數(shù)

25、，還要計算主成分對應的的變量特征值，結果如下表：</p><p><b>　　表5 特征向量表</b></p><p>　　根據(jù)表5可以得到主成分的表達式</p><p>　　其中為各量標準化數(shù)據(jù)。</p><p>　　以第一個主成分的貢獻率為權重，構建主成分綜合評價模型：</p><p>　　可

26、以得到各年份后勤集團的經濟效益指標的綜合評價值以及排序結果如下：</p><p><b>　　表6 綜合評價表</b></p><p>　　分析結果可以知道這幾年經濟效益最好的是2009年，最差的是2001年。</p><p>　　5.2模型二的建立與求解</p><p>　　5.2.1未來五年走勢預測</p>

27、;<p>　　根據(jù)主成分分析的結果，可知第一主成分能夠很好地解釋原始的各項指標，所以，用他的發(fā)展情況推斷經濟效益的發(fā)展。用對經濟效益指標的年份與第一主成分得分的得分進行曲線回歸分析，得到曲線模型擬合曲線。</p><p>　　圖2 曲線模型擬合曲線</p><p>　　可以看出，圖中個出了曲線模擬擬合曲線及觀測值（即各年得分）的散點圖。從圖中可以直觀的看出三次模型擬曲線與原始

28、觀測值擬合度比線性好，因此用三次模型作為預測曲線。</p><p>　　另外還給出了模型匯總和參數(shù)估計值</p><p>　　表7 模型摘要和參數(shù)估算</p><p>　　可以看出3個回歸曲線中，三次模型的F值最大同時相伴概率值小于0.05，也從數(shù)據(jù)上說明了自變量對因變量有顯著影響。此外還個出了該曲線回歸方程中常量及各系數(shù)的估計值。</p><p

29、>　　因此經濟效益指標與時間的回歸方程為</p><p>　　因此，由上函數(shù)關系和擬合圖可知經濟效益指標未來三年先上升然后開始下降。即2010年經濟效益的綜合得分為3.627，2011年為3.233，2012年為2.307，此后幾年均為下降趨勢。</p><p>　　2、發(fā)展能力指標和內部運營指標</p><p>　　根據(jù)主成分分析結果（見附錄），選取兩個主成

30、分對發(fā)展能力進行綜合評價，選取一個主成分對內部運營指標進行綜合評價。具體過程同經濟效益指標的處理方法，最終得出各年份后勤集團在發(fā)展能力指標和內部運營指標下的表現(xiàn)優(yōu)劣情況，排名情況如</p><p><b>　　表5 綜合評價表</b></p><p>　　由上表可知各從2000年到2009年力指標和內部運營指標下的表現(xiàn)逐漸優(yōu)化。</p><p>

31、;　　用同樣的的方法對內部運營和發(fā)展能力指標進行預測。</p><p>　　用對其綜合指標和時間進行曲線擬合，曲線模型擬合圖如下：</p><p>　　模擬曲線圖 1 模擬曲線圖 2</p><p>　　可以直觀看出三次模型的擬合度最好，根據(jù)模型匯總和參數(shù)估計值見附錄，其回歸方程為：</p><p

32、><b>　　發(fā)展能力</b></p><p><b>　　內部運營</b></p><p>　　由函數(shù)關系和時間序列擬合圖可知內部運營和發(fā)展能力標未來五年是呈下降趨勢的。</p><p><b>　　六、模型評價與改進</b></p><p>　　6.1模型的優(yōu)缺點分析

33、</p><p>　　6.1.1.模型的優(yōu)點</p><p>　　1、模型運用的主成分分析法建立了綜合評價函數(shù)函數(shù)，而避免了現(xiàn)行評價方法中人為確定權數(shù)的卻陷。對于一個指標體系復雜的評價系統(tǒng)，這種方法具有普遍適用性；</p><p>　　2、主成份分析法不僅可用于主要指標的選擇,還可以用于分析影響企業(yè)經濟效益的主要因素,作為管理者的決策依據(jù),這對于企業(yè)；</p&

34、gt;<p>　　3、可消除評價指標之間的相關影響。因為主成分分析在對原指標變量進行變換后形成了彼此相互獨立的主成分，而且實踐證明指標之間相關程度越高，主成分分析效果越好?？蓽p少指標選擇的工作量；</p><p>　　4、對于其它評價方法，由于難以消除評價指標間的相關影響，所以選擇指標時要花費不少</p><p>　　精力，而主成分分析由于可以消除這種相關影響，所以在指標選擇

35、上相對容些；</p><p>　　5、當評級指標較多時還可以在保留絕大部分信息的情況下少數(shù)幾個綜合指標代替原指標進行分析主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列順序的，在分析問題時，可以舍棄一部分主成分，只取前后方差較大的幾個主成分來代表原變量，從而減少了計算工作量。</p><p>　　6.1.2.模型的缺點</p><p>　　1、預測模型的回歸方程[4]是以時

36、間序列為自變量的，而實際上企業(yè)的發(fā)展與時間沒有直接關系。這里的回歸擬合[5]只是從過去的數(shù)據(jù)中模擬出未來發(fā)展的趨勢，因此模型對數(shù)據(jù)太少的實際問題預測誤差較大；</p><p>　　2、在主成分分析中，我們首先應保證所提取的前幾個主成分的累計貢獻率達到一個較高的水平，其次對這些被提取的主成分必須都能夠給出符合實際背景和意義的解釋；</p><p>　　3、主成分的解釋其含義一般多少帶有點模糊

37、性，不像原始變量的含義那么清楚、確切，這是變量降維過程中不得不付出的代價。</p><p><b>　　七、模型的推廣</b></p><p>　　本文主要運用了主層分分析法來解決問題。這在日常生活中的各個領域都能廣泛應用。</p><p>　　主層次分析法不僅能夠對濟效益指標、內部運營指標和發(fā)展?jié)摿χ笜诉M行綜合評價。還可以用于水環(huán)境質量評價中

38、，由于水質系統(tǒng)是由各種污染指標變量組成的復雜系統(tǒng)，各個因子之間有著不同程度的相關性。主成分分析法將多因子納入同一系統(tǒng)進行定量化研究，是比較完善的多元統(tǒng)計分析方法。近年來，主成分分析法在水質評價中被廣泛研究與應用，并取得了不少成果。</p><p>　　主層分分析法還可以應用于地區(qū)產業(yè)競爭力評價。主成分分析法是客觀賦權法的主要方法之一，通過降維的方法消除指標間的信息重疊。它能克服均值法掩蓋競爭力內部各構成要素相對作

39、用不同的事實。因此采用主成分分析法對地區(qū)產業(yè)競爭力進行綜合評價。</p><p>　　而且現(xiàn)階段我國中藥作為一種新的分析方法，主成分分析法已普遍被用于中藥質量標準研究數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析中，通過對數(shù)據(jù)降維、變量提取與壓縮、確定中藥資源的分類和聚類，并從中獲取能用于中藥分析鑒別的有用信息，然后進行分析、鑒別、判斷，進而進行分類和優(yōu)選。主成分分析法的引入對鑒別和評價中藥材及其飲片的質量以及中藥種質資源的優(yōu)選，具有重要的科學

40、價值和實際意義。</p><p><b>　　九、參考文獻</b></p><p>　　[1] 楊小平，統(tǒng)計分析方法與應用教程，清華大學出版社，2008；</p><p>　　[2]主成分與因子分析的異同比較及應用 ，王芳,理論探討，14-17 ,，2003年第5期；</p><p>　　[3]《數(shù)學模型》，姜啟源 ，謝

41、金星，葉俊編 ，4版， 北京高等教育出版社，2011.1;</p><p>　　[4]高輝， 基于多個回歸方程擬合的數(shù)據(jù)挖掘方法研究與設計[D].東北師范大學，2012；</p><p>　　[5]呂學峰，張光超，任志鵬.，基于的頂板穩(wěn)定性因素多元回歸分析[J]. 現(xiàn)代礦業(yè)，2014，12：143-144。</p><p><b>　　附錄 </b&

42、gt;</p><p><b>　　表1</b></p><p><b>　　表2</b></p><p><b>　　表3</b></p><p><b>　　附錄 </b></p><p>　　表1 內部運營解釋總方差</