通信工程畢業(yè)設(shè)計(jì)--awgn信道下線性分組碼性能研究與仿真

1、<p><b>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)</b></p><p>　　題 目 AWGN信道下線性分組碼 </p><p>　　性能研究與仿真 </p><p>　　學(xué) 號 </p><p>　　學(xué)生姓名

2、 </p><p>　　專業(yè)名稱 通信工程 </p><p>　　所在系（院） 通信與信息工程系 </p><p>　　指導(dǎo)教師 </p><p>　　2013年 5月 30日</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書&l

3、t;/p><p>　　題目 AWGN信道下線性分組碼性能研究與仿真 </p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　差錯控制編碼技術(shù)是為提高數(shù)字通信系統(tǒng)的可靠性而建立的一門信息處理技術(shù)，自20世紀(jì)50年代誕生以來，已經(jīng)經(jīng)歷了50余年的發(fā)展和演變。而今，隨著信息時代的到來，它也作為一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)

4、被廣泛采用。鑒于線性分組碼在差錯控制編碼領(lǐng)域的基礎(chǔ)性作用，本文以Hamming碼、BCH碼為例，著重研究了幾種典型的線性分組碼在加性高斯白噪聲信道下的傳輸性能。</p><p>　　本文從理論出發(fā)，首先對差錯控制編碼的相關(guān)知識和目前廣泛應(yīng)用的幾種線性分組碼做了簡單介紹，然后引入生成矩陣與校驗(yàn)矩陣以及生成多項(xiàng)式等概念，詳細(xì)說明了其編譯碼原理。仿真測試方面，運(yùn)用“矩陣實(shí)驗(yàn)室”Matlab/Simulink編寫代碼繪制

5、出已編碼和未編碼兩種情況下，這類碼字的信噪比與誤比特率關(guān)系曲線。最后，基于前面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，計(jì)算出編碼增益這一重要性能指標(biāo)，并通過分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 差錯控制編碼 線性分組碼 信噪比 誤比特率 編碼增益</p><p>　　Title Research and Simulation of the Linear Block Code’s Pe

6、rformance under the AWGN channel</p><p><b>　　Abstract </b></p><p>　　A Coding Technology of Error Control is an information processing technology to improve the reliability of digital

7、 communication systems. Since its inception in the 1950s, it has experienced 50 years of development and evolution and now it has been widely adopted as a standard technology with the arrival of the information age. Give

8、n the linear block codes’ fundamental role in the field of error control coding, this paper focuses on the linear block code’s transmission performance which is under</p><p>　　Starting from the theory, we ha

9、ve done a simple introduction of several widely used linear block code and a detailed description of the encoding and decoding principle by introducing the generator matrix and parity check matrix. Thus, we can establish

10、 a transmission system model and write code to draw out several relationship curves between the signal-to-noise ratios (SNR) and bit error rate concerning code and uncode by MATLAB. Finally, we calculate the important pe

11、rformance indicators “coding </p><p>　　Keywords: error control coding linear block code signal-to-noise ratio bit error rate coding gain</p><p><b>　　1. 前言</b></p>

12、<p><b>　　1.1 背景和意義</b></p><p>　　目前，中國固定和移動兩大網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模都已位居世界第二，互聯(lián)網(wǎng)用戶也早已突破5億。在國內(nèi)信息通信制造業(yè)迅速發(fā)展的大勢下，我國將加快建設(shè)新一代信息通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、完善通信系統(tǒng)生產(chǎn)體系。與此同時，隨著計(jì)算機(jī)、衛(wèi)星通信及高速數(shù)據(jù)網(wǎng)的飛速發(fā)展，數(shù)據(jù)的交換、處理和存儲技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，人們對數(shù)據(jù)傳輸和存儲系統(tǒng)的可靠性提出了

13、越來越高的要求[1]。</p><p>　　然而，由于實(shí)際信道存在噪聲或干擾，發(fā)送碼元和接收碼元之間可能會存在差異（這種差異被稱為差錯）。一般來講，信道噪聲和干擾越大，碼元產(chǎn)生差錯的概率也就越大。這些差錯會造成接收端圖像的跳躍、不連續(xù)、出現(xiàn)馬賽克等問題。為了解決這些問題，科學(xué)家們進(jìn)行著不懈的探索與研究，最終得出了這樣的結(jié)論：通過信道編碼這一環(huán)節(jié)，對數(shù)碼流進(jìn)行相應(yīng)的處理，使系統(tǒng)具有一定的糾錯能力和抗干擾能力，可極大

14、地避免碼流傳送中差錯的產(chǎn)生。</p><p>　　信道編碼的目的是改善數(shù)字通信系統(tǒng)的傳輸質(zhì)量，本質(zhì)是增加通信的可靠性。但信道編碼會使有用的信息數(shù)據(jù)傳輸減少[2]。不同的編碼方式，其編碼效率有所不同，這就要求我們探索一類能夠最大限度保證信息傳輸?shù)目煽啃缘木幋a方式，使得傳輸差錯盡可能小。從信道編碼的構(gòu)造方法來看，其基本思路是根據(jù)一定的規(guī)律在待發(fā)送的信息碼中加入一些多余的碼元，以保證傳輸過程的可靠性。而信道編碼的任務(wù)就

15、是提高數(shù)據(jù)傳輸效率，降低誤碼率，構(gòu)造出以最小冗余度換取最大抗干擾性能的“好碼”。</p><p>　　人們對信道編碼的研究大致著眼于兩個方面：①信道編碼定理，從理論上解決理想編碼器、譯碼器的存在性問題。②構(gòu)造性的編碼方法以及這些方法能達(dá)到的性能界限。在此，我們按照信息碼元和監(jiān)督碼元約束關(guān)系的不同將其分為分組碼和卷積碼，其中，線性分組碼是編碼學(xué)中最簡單，最基本的一種碼型，是編碼理論的基石。</p>&

16、lt;p>　　本課題研究的是上述編碼中“線性分組碼”在通信系統(tǒng)中的傳輸性能，并且將傳輸信道假設(shè)為加性高斯白噪聲AWGN(Additive White Gaussian Noise)信道，雖然這是一種理想化的假設(shè)，但實(shí)際上很多頻譜較寬的信道（太空信道），均可以近似看作AWGN信道，因此，這一假設(shè)在理論與現(xiàn)實(shí)中具有重要意義。研究線性分組碼的編碼、譯碼原理及其在不同信噪比(SNR)條件下傳輸?shù)恼`碼、誤符率，對優(yōu)化編譯碼算法、提高傳輸效率

17、、發(fā)現(xiàn)新型碼字等方面的推動作用尤為顯著。</p><p>　　1.2 線性分組碼的發(fā)展歷史與研究現(xiàn)狀 </p><p>　　差錯控制編碼始于1948年信息論開創(chuàng)者Shannon發(fā)表的奠基性論文《通信的數(shù)學(xué)理論》。Shannon在那篇論文中給出了著名的信道編碼定理，即：只要實(shí)際傳輸速率小于信道容量C，就可以設(shè)計(jì)出一種差錯控制碼，使得傳輸過程中的差錯率任意小。人們從此開始了對這一類碼字的尋找和

18、探索。</p><p>　　首先出現(xiàn)的是分組碼。1950年，由Hamming（漢明）描述了一類可糾正單個差錯的碼字——Hamming碼，然而，Hamming碼與Shannon指出的性能極限（Shannon限）相差甚遠(yuǎn)。隨后，以糾正多個差錯的BCH碼以及一種非二進(jìn)制糾錯的RS碼，其中BCH碼是目前應(yīng)用最為廣泛的碼字之一，它使得人們開始研究其譯碼算法。而概率知識的引入加速了序列譯碼理論的誕生，這種理論要求引入一類不定

19、長的非分組碼，卷積碼是其中最重要的一類。20世紀(jì)60年代Viterbi（維特比）譯碼算法的出現(xiàn)使卷積碼得以廣泛應(yīng)用。大約10年之后，Goppa等人從幾何觀點(diǎn)討論提出了分析碼，利用代數(shù)曲線構(gòu)造出所謂的代數(shù)幾何碼，也就是后來的Shannon碼。到了20世紀(jì)80年代，在數(shù)字通信系統(tǒng)及數(shù)字存儲系統(tǒng)中，編碼器和譯碼器開始大量出現(xiàn)，這給分組編碼論的研究帶來了許多新的思路。1993年C.Berrou等人提出的Turbo碼以及1996年Mackay和N

20、eal對LDPC碼的重新發(fā)現(xiàn)是糾錯編碼領(lǐng)域的又一重大突破，仿真結(jié)果顯示：在AWGN信道下，當(dāng)信噪比大于或等于0.7dB時，其碼率離Shannon限僅差0.7dB,誤比特率小</p><p>　　可以說，編碼領(lǐng)域中線性分組碼的研究開始較早，取得的成果也較為豐碩。就目前來看，Turbo分組碼和LDPC碼是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。還有最近正在研究的：低碼率二進(jìn)制線性分組碼的盲識別、空時分組碼與線性分組碼相結(jié)合的MIMO系統(tǒng)、

21、線性分組碼與時空分組碼級聯(lián)的迭代譯碼，等等。這些都是21世紀(jì)糾錯編碼領(lǐng)域新的發(fā)展方向和重要課題?？傊?，糾錯編碼理論，包括這里的線性分組碼已經(jīng)歷了50多年發(fā)展。在理論方面，它沿著Shannon編碼定理所指引的方向不斷前進(jìn)；在實(shí)踐方面，它隨著數(shù)字技術(shù)的不斷發(fā)展，也越來越廣泛的應(yīng)用到各種數(shù)字通信和存儲系統(tǒng)之中。</p><p>　　1.3 論文內(nèi)容概述</p><p>　　由于作者水平有限，這篇

22、論文僅對目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的幾種典型的線性分組碼的性能做了簡單研究，研究內(nèi)容包括：（1）從理論上推導(dǎo)了線性分組碼的一般性編譯碼原理（運(yùn)用矩陣和多項(xiàng)式兩種描述方法），然后著重以(7,4)漢明碼、(7,3)循環(huán)碼、(15,5)BCH碼為例，詳細(xì)分析了它們的編譯碼過程。需要說明的是，文中的編碼和譯碼算法均采用實(shí)現(xiàn)較為容易的代數(shù)算法，對于能夠進(jìn)一步提高譯碼性能的其他算法，鑒于其仿真實(shí)現(xiàn)困難就沒有采用；（2）討論了影響線性分組碼傳輸性能的主要因素，給出

23、了三個常用的性能限，并以此作為編碼性能估計(jì)的理論依據(jù)；（3）用MATLAB“矩陣實(shí)驗(yàn)室”對上述幾種碼字的編碼和譯碼進(jìn)行了仿真，并做出誤碼率和信噪比的關(guān)系曲線。對仿真結(jié)果做數(shù)據(jù)分析和誤差分析，計(jì)算出編碼增益等能夠反映出信道編碼對傳輸性能起改善作用的指標(biāo)，又將已編碼和線性分組碼的理想性能限作比較，根據(jù)比較結(jié)果得出了最終的結(jié)論。</p><p><b>　　2. 編碼理論簡介</b></p&

24、gt;<p>　　2.1 差錯控制系統(tǒng)</p><p>　　在數(shù)字通信中，利用差錯控制碼進(jìn)行差錯控制的方式分為三類：前向糾錯FEC(Forward Error)、自動請求重發(fā)ARQ(Automatic Repeat Request)和在前兩者基礎(chǔ)上產(chǎn)生的混合糾錯方式HEC(Hybrid Error Control) 。由于本文中用到的糾錯方式只有FEC，下面重點(diǎn)討論一下這種糾錯方式的特點(diǎn)及其傳輸模型

25、：</p><p>　　圖2-1 前向糾錯方式</p><p>　　FEC在發(fā)送端發(fā)送能夠糾錯的編碼，接收端在收到這些碼后，通過糾錯譯碼器不僅能夠自動發(fā)現(xiàn)錯誤，而且還能夠自動糾正接收碼字傳輸中的錯誤。這種方式的優(yōu)點(diǎn)是不需要反饋信道，能進(jìn)行一用戶對多用戶的同時通信，也就是說，譯碼實(shí)時性好，控制電路較為簡單[4]。缺點(diǎn)是譯碼設(shè)備相對復(fù)雜，所選用的糾錯碼必須與信道的干擾情況相匹配，因而對信道的適

26、應(yīng)性較差。為了獲得比較低的誤碼率，往往必須以最壞的信道條件來設(shè)計(jì)糾錯碼，故所需的監(jiān)督碼元數(shù)比信息碼元多得多，這就大大降低了編碼效率。</p><p>　　值得注意的是，F(xiàn)EC的糾錯能力是有限的，當(dāng)錯碼數(shù)目大于糾錯能力時就無能為力了，而且出現(xiàn)這種狀況后，系統(tǒng)無法給出反饋，這就給收信者的判斷帶來不便。因此，F(xiàn)EC一般不用于數(shù)據(jù)通信網(wǎng)，而用于容錯能力較強(qiáng)的語音、圖像通信。</p><p>　　在

27、實(shí)際通信系統(tǒng)中，根據(jù)實(shí)際情況選擇差錯控制方式是一個比較復(fù)雜的問題。本文旨在模擬恒定參數(shù)通信等容錯能力較強(qiáng)的通信系統(tǒng)傳輸，研究這種情形下發(fā)送碼字的性能特點(diǎn)，因此采用了前向糾錯這一差錯控制方式。</p><p>　　2.2 差錯控制碼的分類</p><p>　　各種差錯控制系統(tǒng)所用到的碼，不外乎是能在譯碼器自動發(fā)現(xiàn)錯誤的檢錯碼，或者不僅能發(fā)現(xiàn)錯誤而且能自動糾正錯誤的糾錯碼，或者能糾正刪除錯誤的

28、糾刪碼。本課題要研究的線性分組碼就是一種糾錯碼。除以上劃分方式，我們還可以從這樣的角度對差錯控制編碼進(jìn)行分類：</p><p>　　（1） 按照校驗(yàn)元與信息元之間的關(guān)系可分為線性碼和非線性碼；若校驗(yàn)元與信息元之間呈線性關(guān)系，即可把校驗(yàn)規(guī)則用線性方程表示的，則稱為線性碼如果不存在線性關(guān)系，這是非線性碼。本文中的編碼均是線性碼。</p><p>　?。?） 按照對信息元的處理方法可以分為分組碼

29、與卷積碼。對于信源輸出序列，按k個信息元進(jìn)行分組，每組設(shè)置r個校驗(yàn)元，形成一個長度為的碼字，該碼字的校驗(yàn)元僅與本碼字的k個信息元有關(guān)，這樣按組分別進(jìn)行處理的編碼是分組碼。如果對信源輸出序列仍按k個信息元進(jìn)行分組，每組r個校驗(yàn)元，但不同的是，這r個校驗(yàn)元不僅與本組k個信息元有關(guān)，還與前m組的信息元有關(guān)，稱這樣的碼為卷積碼。</p><p>　　可以說，有多少種觀察方式就會有多少種分類方法。本文主要研究上面所介紹的分

30、組碼中最特殊的一類——線性分組碼。</p><p>　　2.3 編碼信道模型</p><p>　　為了研究方便，將整個通信傳輸系統(tǒng)進(jìn)一步簡化成下面的模型。此模型由信源、編碼器、信道、譯碼器、信宿以及噪聲源構(gòu)成。信源輸出已編碼二進(jìn)制序列；信道包括調(diào)制器、傳輸設(shè)備、解調(diào)器以及傳輸媒質(zhì)，其輸入一般是二進(jìn)制或多進(jìn)制的數(shù)字序列，輸出可以是數(shù)字序列，也可以是未量化的實(shí)數(shù)序列；信宿只能是人或者計(jì)算機(jī)。模

31、型框圖如下：</p><p>　　圖2-2 數(shù)字通信系統(tǒng)模型簡化圖</p><p>　　編碼信道有很多種，如：離散無記憶信道、二進(jìn)制對稱信道、二進(jìn)制刪除信道、離散輸入連續(xù)輸出信道等，接下來僅就本課題用到的離散輸入連續(xù)輸出信道模型做出討論。</p><p>　　假設(shè)信道是無記憶的，且輸入符號集是一個有限、離散的集合F={}，而信道輸出的是未量化信息，這時譯碼器輸入可以

32、是任意實(shí)數(shù)，即Q=()。定義這樣的編碼信道模型為時間離散的連續(xù)無記憶信道，它的特性由離散輸入A、連續(xù)輸出B以及一組條件概率密度函數(shù)來決定[5]。時間離散的連續(xù)無記憶信道有利于分析編譯碼性能的理論極限。</p><p>　　這類信道中最重要的一種便是課題中的加性高斯白噪聲AWGN信道。它存在于各種傳輸媒質(zhì)中。加性高斯白噪聲表現(xiàn)為信號圍繞平均值的一種隨機(jī)波動過程，其均值為0，方差取決于噪聲功率大小。在研究通信系統(tǒng)的誤

33、碼率與信道質(zhì)量的關(guān)系時，一般先研究它在AWGN信道下的性能，然后在推廣到其他信道。</p><p>　　對AWGN信道而言，其信道輸出為：</p><p>　　b=+ 式（2-1）</p><p>　　上式中是一個方差為、均值為0的高斯隨變量。于是輸出為，輸出為b的條件概率密度函數(shù)為：</p>

34、<p><b>　　式（2-2）</b></p><p>　　在二進(jìn)制判決情況下，如果信道輸出為輸入與高斯白噪聲相加，則這種信道為二進(jìn)制輸入加性高斯白噪聲信道。為了便于在AWGN信道上使用軟判決，將信道輸入發(fā)送碼的符號表示為或，而不表示為0和1。但本文中為了簡化譯碼過程，采用硬判決譯碼方式，假定在AWGN信道的條件下，展開對所關(guān)注的差錯控制編碼的理論探索。</p>&

35、lt;p><b>　　2.4 漢明距離</b></p><p>　　下面介紹漢明重量、漢明距離、最小距離和距離分布等基本概念。這些都與譯碼性能密切相關(guān)。</p><p>　?。?）漢明重量：一個碼子c中非零碼元的個數(shù)，稱為漢明重量，用w(c)表示。</p><p>　　（2）漢明距離：兩個碼字之間對應(yīng)位不同取值的個數(shù)，叫做漢明距離，用d(

36、x,y)</p><p>　　表示。它具有非負(fù)性、對稱性。</p><p>　　（3）最小距離：任意兩個碼字之間距離的最小值，稱為該碼的最小漢明距離。</p><p>　　對于分組碼而言，最小距離越大，其抗干擾能力就越強(qiáng)。而其糾檢錯能力可以用下面關(guān)系表達(dá)：</p><p>　　① 如果最小距離d e+1，則該碼可以檢出所有不多于e個錯誤。&

37、lt;/p><p>　　② 如果最小距離d 2t+1，則該碼可以糾正所有不多于t個錯誤。</p><p>　?、?如果最小距離d e+t+1，則該碼可以糾正不多于t個錯誤，并能檢測出t+1到e個錯誤。</p><p>　　2.5 信道容量和信道編碼定理</p><p>　　2.5.1 信道容量 </p><p>

38、　　用X表示一個隨機(jī)序列，則定義X的信息熵為：</p><p><b>　　式（2-3）</b></p><p>　　H(X)是X的平均自信息量，其單位為比特/符號，表示X的平均不確定度。給定一個離散信道，其輸入、輸出隨機(jī)序列分別是X和Y。定義X相對于Y的條件熵為：</p><p><b>　　式（2-4）</b><

39、/p><p>　　平均互信息量I(X，Y)表示接收到Y(jié)后平均每個符號所獲得的關(guān)于X的信息量。我們定義互信息量的最大值為信道容量：</p><p>　　C = {I (X，Y)} 式（2-5）</p><p>　　信道容量的單位是比特/符號。他表征了信道傳輸信息的最大能力。實(shí)際中信道傳送信息量必須小于信道容量，否則會引起錯誤[6]

40、。</p><p>　　2.5.2 信道編碼定理</p><p>　　信道編碼定理于1948年由Shannon提出，它奠定了糾錯碼發(fā)展的基石。這里簡要給出這一定理的基本思想：對于一個給定的有擾離散信道，設(shè)其信道容量為C，只要帶傳送的碼率R<C，則一定存在碼率為R、碼長為n的分組碼。若采用最大似然譯碼，可使其譯碼錯誤概率 隨碼長n的增加而降至任意小，即</p><

41、p><b>　　式（2-6）</b></p><p>　　式中是誤差函數(shù)或隨機(jī)編碼指數(shù)。三者函數(shù)關(guān)系如下圖所示：</p><p>　　圖2-3 與R和C的關(guān)系</p><p>　　對于一個數(shù)字編碼通信系統(tǒng)，有上述信道編碼定理可知，為滿足一定的誤碼要求，可采用兩種方法。一是增加信道容量C，從而使得增加，具體方法是加大信道帶寬或增大信噪比。

42、二是在R一定時，增加分組編碼長度n。但是隨著n的增加，碼的冗余度和編/譯碼設(shè)備復(fù)雜性也隨之增加。</p><p>　　研究糾錯編碼的意義在于：在一定碼率的條件下，盡量降低誤碼率,以實(shí)現(xiàn)可靠通信；或在給定誤碼率下，盡量提高碼率，以實(shí)現(xiàn)有效通信；并力求編、譯碼器結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)。Shannon的信道編碼定理表明：通信系統(tǒng)中有效性和可靠性是一對主要矛盾，為了提高可靠性就要犧牲有效性。信道編碼定理指明了為提高可靠性進(jìn)行

43、糾錯編碼的方向，但并未提出怎樣構(gòu)造糾錯編碼的方法[7]。</p><p><b>　　2.6 小結(jié)</b></p><p>　　本章對編碼理論的基本概念和核心思想做了一個簡單的介紹，為后面線性分組碼的編譯碼原理以及性能研究做了鋪墊。介紹的內(nèi)容主要包括：差錯控制系統(tǒng)、差錯控制編碼、并且著重引出了編碼信道模型，這一模型貫穿于整個論文的始末，也是數(shù)字通信這門學(xué)科的重要模型。

44、之后，由此給出了漢明距離的概念和與碼字糾錯能力與最小漢明距離的簡單關(guān)系。尤其要注意的是，最小漢明距離只能從一個側(cè)面衡量碼字性能，而碼字性能的影響因素有很多，漢明距離分布就是其中很重要的一點(diǎn)。最后，還將信道編碼定理加以闡述，這一定理既是信道編碼學(xué)的理論基礎(chǔ)，又是本文研究碼字性能的理論依據(jù)。下面一章要介紹的是線性分組碼的編碼和譯碼原理，它與線性分組碼的性能研究密切相關(guān)。</p><p>　　3. 線性分組碼的編碼和譯

45、碼</p><p>　　3.1 概念和描述方法</p><p><b>　　3.1.1 概念</b></p><p>　　在分組碼中，若每一個監(jiān)督元都是碼組中某些信息元按模二和得到的，即監(jiān)督元是信息元按線性關(guān)系相加而得到的，則稱為線性分組碼。它是一類重要的糾錯碼，應(yīng)用十分廣泛，后面討論的Hamming碼、BCH碼等都可以看作線性分組碼的特例。&

46、lt;/p><p>　　3.1.2 線性分組碼與生成矩陣</p><p>　　線性分組碼的編碼過程較為簡單，我們可以用多種方式來表示這一過程，在此，我們引入生成矩陣。對于線性分組碼，生成矩陣是一個階的矩陣。設(shè)輸入的信息為，生成的碼字為，則，其中，G是生成矩陣。顯然，對于一定的輸出序列，產(chǎn)生它的生成矩陣不是唯一的。我們把前k位碼字與輸入的k位信息完全相同的已編碼稱為系統(tǒng)碼，相應(yīng)的生成矩陣稱為典型

47、生成矩陣。兩者的一般定義如下[8]：</p><p>　　令表示一個上的線性分組碼，則必有一個秩為k的階矩陣G滿足：</p><p><b>　　式（3-1）</b></p><p>　　其中，是長度為k的上的k維線性空間，稱矩陣G為的生成矩陣。它具有兩個重要性質(zhì)：</p><p>　　任意兩個碼字a，b之和。</

48、p><p>　　最小碼距d等于碼的最小重量。 </p><p>　　對于一個上的線性分組碼，若輸入信息序列以不變形式在碼字的任意k位出現(xiàn)，則稱是系統(tǒng)碼。例如，對于一個系統(tǒng)碼，其生成矩陣表示為：</p><p><b>　　式（3-2）</b></p><p>　　其中，是k階單位矩陣，P矩陣的取值依具體情況而定。系統(tǒng)碼和非系

49、統(tǒng)碼在糾檢錯性能以及抗干擾性能上是完全一樣的。但由于系統(tǒng)碼的表達(dá)和構(gòu)造簡單，因此常被人們采用。</p><p>　　3.1.3 線性分組碼與校驗(yàn)矩陣</p><p>　　令表示一個上的線性分組碼，則必有一個秩為的階矩陣H滿足：</p><p><b>　　式（3-3）</b></p><p>　　其中，是長度為n的上的n

50、維線性空間，稱矩陣H為的一個校驗(yàn)矩陣或者監(jiān)督矩陣。而且監(jiān)督矩陣和生成矩陣可以相互轉(zhuǎn)化，尤其對系統(tǒng)矩陣來說它們滿足關(guān)系：</p><p>　　若， 式（3-4）</p><p>　　則， 式（3-5）<

51、/p><p>　　上式中，代表k階單位矩陣，P矩陣的取值依具體情況而定?？梢哉f，校驗(yàn)矩陣反映了已編碼序列各碼字之間的線性約束關(guān)系，在線性分組碼的譯碼過程中起重要作用。</p><p>　　3.2 編譯碼過程分析</p><p>　　3.2.1 線性分組碼的編碼</p><p>　　以上引入了生矩陣和校驗(yàn)矩陣，下面對其編碼過程分析，對于任意給定的k

52、位信息序列：，將他與生成矩陣（這里假設(shè)為系統(tǒng)矩陣） 相乘，可以求編碼后的n個碼字： </p><p><b>　　式（3-6）</b></p><p>　　容易看到，k個信息位經(jīng)過編碼之后變?yōu)閚位，且前k位碼字保持不變，相當(dāng)于在原來的碼字后面直接加了個多余比特，也就是監(jiān)督碼元。顯然，其編碼效率為。</p><p>　　為了

53、更清楚的表示編碼過程，可以假設(shè)生成矩陣為非系統(tǒng)矩陣：</p><p><b>　　式（3-7）</b></p><p>　　k位信息碼的編碼過程重寫如下：</p><p><b>　　式（3-8）</b></p><p>　　對某一碼字而言： </p><

54、;p><b>　　式（3-9）</b></p><p>　　其中， 均取自二進(jìn)制的0和1。這是利用生成矩陣的一般編碼過程，在這一過程中編解碼十分容易實(shí)現(xiàn)，同時又提供了強(qiáng)大的糾錯和檢錯能力。</p><p>　　3.2.2 線性分組碼的譯碼</p><p>　　假定系統(tǒng)采用一個上的分組碼來通信，其校驗(yàn)矩陣為H。若發(fā)送的已編碼碼字為：，在傳輸

55、過程中，信道產(chǎn)生的誤碼(錯誤圖樣)為，則接收端得到的碼組為V=CE=。我們可以定義一個向量：，并稱向量S為伴隨式。根據(jù)線性分組碼的性質(zhì)=0可得 ：</p><p><b>　　式（3-10）</b></p><p>　　看到，S取值僅與錯誤圖樣E有關(guān)，所以只要求出伴隨式S，便可恢復(fù)出發(fā)送碼字，這提供了一種簡便易行的譯碼思路。具體來講，當(dāng)伴隨式S=0時，表明接收碼字v沒

56、有錯誤，即：。反之，接收碼字V有錯，且。</p><p>　　由于H矩陣是一個行n列的矩陣，所以S是一個維矢量，它可以給出個獨(dú)立的方程，然而傳輸?shù)牟铄eE則是一個n維矢量，有n種可能取值，所以S并不能唯一確定E。對某個給定的S，E可以有個的解，即同一個伴隨式可以得到個錯誤圖樣，而真正的錯誤圖樣是其中之一。在接收端，譯碼器的作用便是從這些候選錯誤矢量中確定出一個能夠使平均錯判概率最小的矢量。在二進(jìn)制對稱信道信道下，最

57、可能的錯誤圖樣也就是漢明重量最小的接收碼組，也就是非零碼字最少的碼組。</p><p>　　3.3 Hamming碼的設(shè)計(jì)與編解碼過程分析</p><p>　　3.3.1 Hamming碼簡介</p><p>　　以上內(nèi)容從原理上描述了線性分組碼編碼和譯碼。下面具體來說明在給定n、k的情況下，如何設(shè)計(jì)一種高效率的線性分組碼——Hamming碼。</p>

58、<p>　　Hamming碼是1950年由漢明首先構(gòu)造的，它是一種能糾正一位錯碼的效率最高的分組碼?；蛘哒f，Hamming碼是一種糾正單個錯誤的完備碼，即SEC(Single Error Correcting)碼。這種編碼不僅具有良好的性能，而且編譯碼電路非常簡單，易于實(shí)現(xiàn)。所以，從20世紀(jì)50年代問世以來，它最先被用于磁芯存儲器，60年代初用于大型計(jì)算機(jī)，70年代在MOS存儲器中得到應(yīng)用，后來在中小型計(jì)算機(jī)中普遍采用，目前

59、常用于RFID系統(tǒng)中多位錯誤的糾正?？傊?，Hamming碼在提高系統(tǒng)可靠性方面獲得了廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　Hamming碼的構(gòu)造必須滿足關(guān)系式：</p><p>　　上式中，n 為碼元總位數(shù)，m為監(jiān)督碼元位數(shù)。Hamming碼能糾正單個錯誤，所以每一種錯誤圖樣不能相同且與伴隨式一一對應(yīng)。這就要求監(jiān)督矩陣H中，任意兩列線性無關(guān)且不為0，而一個m行的H矩陣，最多只能有列，即為Ham

60、ming碼碼長。</p><p>　　Hamming碼的構(gòu)造原理類似于偶校驗(yàn)碼。偶校驗(yàn)碼是在信息碼元后增加一位監(jiān)督碼元，使包括信息碼元和監(jiān)督碼元的總碼元中1的個數(shù)為偶數(shù)，這種關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示為：</p><p><b>　　式（3-11）</b></p><p>　　因?yàn)樵谂急O(jiān)督碼中非零碼字的個數(shù)為偶數(shù)，所以在正確傳輸時，必有 。這樣，就可以

61、在接收端通過計(jì)算S的值判斷傳輸有無出錯：，無錯； ，有錯。Hamming碼的編碼與之類似，只是將監(jiān)督碼元增加到多位。也就是說，要指示n位碼元中所有一位錯碼的情況，就必須滿足條件： r個監(jiān)督碼元有種組合方式，全零用來表示無錯傳輸，剩下種情況用來表示種錯誤。如果，則可以指出所有n位單比特錯誤。</p><p>　　3.3.2 (7,4)漢明碼的設(shè)計(jì)</p><p>　　下面我們通過構(gòu)造（7，4

62、）漢明碼來分析這一過程。由信息位，且可得：，現(xiàn)取，則。用表示這7個碼元，用表示三位矯正子，也就是前面提到的伴隨式[9]?？闪谐鲂Ｕ拥娜≈蹬c錯碼位置的對應(yīng)關(guān)系之一：</p><p>　　表3-1校正子與錯碼位置對應(yīng)關(guān)系</p><p>　　根據(jù)表中關(guān)系，不難看出這種（7,4）漢明碼所對應(yīng)的線性約束方程如下：</p><p><b>　　式（3-12）<

63、;/b></p><p><b>　　若無錯，必有：</b></p><p><b>　　式（3-13）</b></p><p>　　將上面方程組移項(xiàng)整理得：</p><p><b>　　式（3-14）</b></p><p>　　寫為矩陣形式有：

64、其中，</p><p>　　由此可得生成矩陣的典型形式：</p><p><b>　　式（3-15）</b></p><p>　　接下來，用U表示未編碼的信息碼組，用C表示編碼后的信息碼組。那么，根據(jù)關(guān)系式：，我們就可以得到編碼后的7位信息序列。假設(shè)信息輸入為，則有</p><p><b>　　式（3-16）&

65、lt;/b></p><p>　　其他編碼的對應(yīng)關(guān)系如下：</p><p>　　表3-2信息位與監(jiān)督位對應(yīng)關(guān)系</p><p>　　討論過編碼，再來看譯碼。將約束方程變化形式為：</p><p><b>　　式（3-17）</b></p><p>　　上式簡記為：，其中，H=，C=。 <

66、;/p><p>　　這里的H就是典型的監(jiān)督矩陣。設(shè)接收碼字為V，則在無錯情況下，一定可以得到同樣的關(guān)系式： ；否則，，此時接收碼字對應(yīng)的錯誤圖樣是。檢錯能力方面，根據(jù)誤碼個數(shù)與最小漢明距離的關(guān)系可知，碼組至少可以檢測出1個或2個比特錯誤。糾錯能力方面，由可知，它可以保證糾正一位錯碼。</p><p>　　又根據(jù)前面的分析結(jié)果，錯誤圖樣滿足關(guān)系：，S是伴隨式（或矯正子）。顯然，E有128種可能值

67、，而S只有8種，因此一般情況下取這16種圖樣中漢明重量最小的作為最優(yōu)結(jié)果。假設(shè)譯碼器收到的碼字為：[0100000]，那么計(jì)算可得對應(yīng)的伴隨式：</p><p><b>　　式（3-18）</b></p><p>　　看到伴隨式S也就是監(jiān)督矩陣H的第二列，即接收碼字的第二位出錯，可糾正錯誤圖樣為[0100000]，將此錯誤圖樣與接收碼字相加就得到了譯碼結(jié)果[00000

68、00]。下面是錯誤圖樣和伴隨式的對應(yīng)關(guān)系：</p><p>　　表3-3錯誤圖樣和伴隨式的對應(yīng)關(guān)系</p><p>　　有了上述對應(yīng)關(guān)系，將接收到的碼字V與監(jiān)督矩陣H相乘求出伴隨式S，然后通過查表立即可得錯誤圖樣E，從而利用較為準(zhǔn)確的譯碼。但是應(yīng)該清楚的是，這里的譯碼為最大似然譯碼，譯碼結(jié)果只保證正確的概率取到最大，而非一定正確。</p><p>　　3.4 循環(huán)碼

69、及其描述方法</p><p><b>　　3.4.1 概念</b></p><p>　　循環(huán)碼(Cyclic Code)同樣是線性分組碼中重要的子類，它除了線性分組碼具有的一般性質(zhì)外，還具有循環(huán)性，即循環(huán)碼允許集合中任意碼字循環(huán)移位所得的碼字仍為該碼組集合中的一個碼字。循環(huán)碼的兩個最引人矚目的特點(diǎn)是：</p><p>　　可以用反饋線性移位寄存

70、器很容易的實(shí)現(xiàn)其編碼和伴隨式計(jì)算。</p><p>　　由于循環(huán)碼有許多固有的代數(shù)結(jié)構(gòu)，從而可以找到各種簡單實(shí)用的譯碼方法。</p><p>　　正是由于上述特點(diǎn)，在目前的計(jì)算機(jī)糾錯系統(tǒng)中所使用的線性分組碼幾乎都是循環(huán)碼。而且近來發(fā)現(xiàn)的許多新型分組碼都與循環(huán)碼密切相關(guān)，所以無論在理論還是現(xiàn)實(shí)中，對它的研究都有著十分重要的意義。</p><p>　　3.4.2 循環(huán)碼

71、的表示</p><p>　　在Hamming碼的分析中，我們曾引入生成矩陣和校驗(yàn)矩陣作為它的描述工具，現(xiàn)在，考慮到循環(huán)碼自身特點(diǎn)，我們引入生成多項(xiàng)式，這樣便可以運(yùn)用數(shù)學(xué)語言使整個描述過程更加條理、清楚。</p><p>　　設(shè)碼長為n的循環(huán)碼表示為：，如果把碼組中各碼元的取值當(dāng)作多項(xiàng)式的系數(shù)，把碼元的相對位置看作其次數(shù)，那么這一碼組可以用多項(xiàng)式表示如下：</p><p&

72、gt;<b>　　式（3-19）</b></p><p>　　在此，x只被看作一個表示碼元位置的記號，我們所關(guān)心的是它前面的系數(shù)取值。</p><p>　　對于一個循環(huán)碼來說，如果碼字集合中所有碼多項(xiàng)式都是某一多項(xiàng)式的倍式，則稱這一多項(xiàng)式為該碼組的生成多項(xiàng)式。生成多項(xiàng)式一般用g(x)表示，它是碼字集合中唯一一個冪次為的碼多項(xiàng)式，也是的所有因式中次數(shù)最低的碼多項(xiàng)式。即：

73、</p><p><b>　　式（3-20）</b></p><p>　　另外，循環(huán)碼的生成矩陣也常用多項(xiàng)式形式表示，即：</p><p><b>　　式（3-21）</b></p><p>　　為了便于對循環(huán)碼的編譯，通常還定義監(jiān)督多項(xiàng)式，令：</p><p><b&

74、gt;　　式（3-22）</b></p><p>　　式中，是常數(shù)項(xiàng)為1的r次多項(xiàng)式，即生成多項(xiàng)式；是常數(shù)項(xiàng)為1的k次多項(xiàng)式，稱為監(jiān)督多項(xiàng)式[10]。對應(yīng)的監(jiān)督矩陣如下：</p><p><b>　　式（3-23）</b></p><p><b>　　式中：</b></p><p>&l

75、t;b>　　式（3-24）</b></p><p><b>　　被稱為的逆多項(xiàng)式。</b></p><p>　　3.4.3 循環(huán)碼的編碼</p><p>　　由于循環(huán)碼屬于線性分組碼的一種，所以在編碼時，可以用線性分組碼編碼的一般方法。但鑒于它的循環(huán)特性，我們這里用多項(xiàng)式描述其特有的編碼方式，這種方式也更易于編碼電路的實(shí)現(xiàn)。&

76、lt;/p><p>　　對于非系統(tǒng)碼，直接用信息碼多項(xiàng)式與生成多項(xiàng)式相乘即可得到已編碼的多項(xiàng)式表示：</p><p><b>　　式（3-25）</b></p><p>　　但它是非系統(tǒng)的。為了得到系統(tǒng)形式的循環(huán)碼，首先必須將輸入的信息碼多項(xiàng)式乘以，使得碼組的最左k位是信息碼元，隨后是（n-k）位監(jiān)督碼元，這是的碼多項(xiàng)式為：</p>

77、<p><b>　　式（3-26）</b></p><p>　　這里是監(jiān)督碼多項(xiàng)式。作為循環(huán)碼，c(x)必須是g(x)的倍式，即：</p><p><b>　　式（3-27）</b></p><p><b>　　顯然，</b></p><p><b>　　式

78、（3-28）</b></p><p>　　因而，為得到系統(tǒng)碼，首先將信息組乘以，然后用除，將所得余式的系數(shù)后綴在信息比特之后，就完成了系統(tǒng)碼的編碼。</p><p>　　3.4.4 循環(huán)碼的譯碼</p><p>　　將發(fā)送碼字記為多項(xiàng)式c(x)，錯誤圖樣記為多項(xiàng)式e(x)，接收到的碼組記為多項(xiàng)式y(tǒng)(x)，則有y(x)=c(x)+e(x)。令：</p

79、><p><b>　　式（3-29）</b></p><p>　　為伴隨式，它與線性分組碼中的伴隨式類似。也就是說，當(dāng) 時，接收碼字無錯，否則出錯，而且它的取值只和錯誤圖樣有關(guān)。給定時，可能的錯誤圖樣是方程的解，共有可能值個，此時要求選擇碼重最小者為可糾正錯誤圖樣。顯然，循環(huán)碼的譯碼思路和線性分組碼類似。</p><p>　　3.5 循環(huán)碼的設(shè)計(jì)與

80、編譯碼過程分析</p><p>　　3.5.1 (7,3)循環(huán)碼的設(shè)計(jì)</p><p>　　循環(huán)碼的設(shè)計(jì)關(guān)鍵在于找出碼組的生成多項(xiàng)式g(x)。下面，給出設(shè)計(jì)循環(huán)碼的一般方法。</p><p>　　確定循環(huán)碼的碼長n，信息位k。</p><p>　　將在二元域內(nèi)因式分解成幾個既約多項(xiàng)式之積。</p><p>　　挑選某些

81、最高次之和為n-k的因式相乘即可得到所求生成多項(xiàng)式g(x)。</p><p>　　計(jì)算n維空間中的所有許用碼組。</p><p>　　例如，要求一個碼長n=7，信息位k=3，監(jiān)督位m=4的（7,3）循環(huán)碼的全部許用碼組。首先，要將多項(xiàng)式在二元域GF(2)因式分解：</p><p><b>　　式（3-30）</b></p><

82、;p>　　然后，令，可得循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式 </p><p><b>　　式（3-31）</b></p><p>　　應(yīng)該注意，其它碼字多項(xiàng)式均為的倍式，這也是循環(huán)碼生成多項(xiàng)式的重要特性。相應(yīng)的，將其生成矩陣表示如下：</p><p><b>　　式（3-32）</b></p><p>　　化

83、為系統(tǒng)矩陣形式： </p><p>　　循環(huán)碼的編碼比較容易實(shí)現(xiàn)。直接將3位信息碼元與生成多項(xiàng)式相乘即可得到7位已編碼字。這一過程用多項(xiàng)式描述為：。需特別說明的是系統(tǒng)碼的編碼，其關(guān)鍵在于求出4個監(jiān)督碼元，一般方法是用與相乘，得到的結(jié)果除以生成多項(xiàng)式，求得的余式就是的監(jiān)督碼元多項(xiàng)式。也就是：</p><p><b>　　式（3-33）</b><

84、/p><p>　　然后就可以直接寫出7位編碼碼字的碼多項(xiàng)式：</p><p><b>　　式（3-34）</b></p><p>　　假設(shè)輸入的信息為[011]，它對應(yīng)著，則</p><p><b>　　式（3-35）</b></p><p>　　那么，也就是[0111010]。

85、循環(huán)碼編碼過程中的線性約束關(guān)系與漢明碼類似，這里不再贅述，僅給出以下系統(tǒng)碼編碼結(jié)果[11]：</p><p>　　表 3-4系統(tǒng)碼編碼結(jié)果</p><p>　　再來探討譯碼。其實(shí)循環(huán)碼的譯碼原理和漢明碼的譯碼原理基本相同，不同點(diǎn)在于：在伴隨式的計(jì)算與表示上，循環(huán)碼運(yùn)用的是多項(xiàng)式法。下面用多項(xiàng)式法來說明其譯碼原理，先根據(jù)典型生成矩陣寫出其典型校驗(yàn)矩陣：</p><p>

86、;<b>　　式（3-36）</b></p><p><b>　　校驗(yàn)多項(xiàng)式。</b></p><p><b>　?。?）檢錯</b></p><p>　　若接收碼組 y (x) 與發(fā)送碼組相同，即，則 必定能被整除，此時的接收端計(jì)算出的伴隨式；若在傳輸中發(fā)生錯誤，即 ，則 y (x) 被除時可能除不

87、盡而有余項(xiàng)，伴隨式，從而檢出錯誤。因此，可以以余項(xiàng)是否為零來判斷接收碼組中有無錯誤。</p><p>　　觀察編碼結(jié)果可知，最小碼距。由最小漢明距離與檢錯個數(shù)關(guān)系，知道，它可以保證檢出1、2、3比特的錯誤。但是，接收到的錯誤碼組也有可能被 整除，這時的錯碼就不能檢出。這種錯誤稱為不可檢錯誤，其誤碼必定超過了此編碼的檢錯能力。</p><p><b>　　（2）糾錯</b&g

88、t;</p><p>　　由于（7，3）循環(huán)碼的最小碼距為 ，由 得，此循環(huán)碼只能糾正一個錯碼。為了能夠糾錯，要求每個可糾正的錯誤圖樣必須與一個特定余式（伴隨式）有一一對應(yīng)關(guān)系。只有存在上述一一對應(yīng)的關(guān)系時，才可能從上述余式唯一地決定錯誤圖樣，從而糾正錯碼。</p><p>　　假設(shè)譯碼器接收到的信息為[0100000]，對應(yīng)的碼字多項(xiàng)式為，則計(jì)算得到伴隨式：</p>&l

89、t;p><b>　　式（3-37）</b></p><p>　　即[0111]，與監(jiān)督矩陣的第二列一致，由此可以得到錯誤圖樣為[0100000]。顯然，在左起第二個比特處出現(xiàn)錯誤，將此錯誤圖樣與接收碼字模二加就得到最終譯碼結(jié)果[0000000]，起到了糾正錯誤的作用。下表列出了錯誤圖樣和伴隨式的對應(yīng)關(guān)系：</p><p>　　表3-5錯誤圖樣和伴隨式的對應(yīng)關(guān)系&

90、lt;/p><p>　　只要接收端計(jì)算出伴隨式，就可以立即查表得到數(shù)據(jù)傳送過程中的錯誤圖樣，實(shí)現(xiàn)譯碼過程中的檢錯、糾錯環(huán)節(jié)，從而較為準(zhǔn)確的恢復(fù)發(fā)送信息。</p><p>　　3.5.2 (15,5)BCH碼的設(shè)計(jì) </p><p>　　BCH(Bose-Chaudhuri-Hocquenghem)碼是循環(huán)碼中的一個大類，可以是二進(jìn)制碼也可以是非二進(jìn)制碼，又可以分為本元和

91、非本元BCH碼，能糾正多個錯誤。它由博斯(Bose)、查德胡里(Chaudhuri)和霍昆格姆(Hocquenghem)提出，并以三個人名字的開頭字母命名。該碼有嚴(yán)格的代數(shù)結(jié)構(gòu)，是直至目前研究的最為詳盡、了解的最為透徹、取得成果最多的一類碼，特別是該碼的生成多項(xiàng)式g(x)與最小的距離d之間有密切的關(guān)系，可以根據(jù)d的要求，很容易的構(gòu)造出好碼，且編碼、譯碼電路容易實(shí)現(xiàn)，下面僅研究二進(jìn)制本原BCH碼[12]。</p><p

92、>　　BCH碼與循環(huán)碼的構(gòu)造思想基本相同，也都要借助生成矩陣或生成多項(xiàng)式來描述其編譯碼過程。二者的唯一區(qū)別在于：用任意若干根作為生成多項(xiàng)式生成的是循環(huán)碼，而用連續(xù)冪次（擴(kuò)展域）的根所生成的是BCH碼。</p><p>　　其生成多項(xiàng)式有如下形式：</p><p><b>　　式（3-38）</b></p><p>　　這里，t為糾錯個數(shù)，

93、為最小多項(xiàng)式，表示最小公倍式，由此構(gòu)造出的本元BCH碼具有下列參數(shù)：</p><p>　　式中，m（）和t是任意正整數(shù)。</p><p>　　現(xiàn)在給出構(gòu)造一個已知碼長n，糾錯能力t，二元本原BCH碼的具體設(shè)計(jì)方法：</p><p>　　由關(guān)系式 算出m，查表找出m次本原多項(xiàng)式P(x)，用它產(chǎn)生一個GF()擴(kuò)域。</p><p>　　以本原多項(xiàng)

94、式P(x)的根為本原，分別計(jì)算2t個連續(xù)冪次根所對應(yīng)的二元域上的最小多項(xiàng)式。</p><p>　　計(jì)算這些最小多項(xiàng)式的最小公倍式，得到生成多項(xiàng)式</p><p><b>　　式（3-39）</b></p><p>　　用關(guān)系式編出BCH碼。</p><p>　　BCH碼的譯碼方法可以有時域譯碼和頻域譯碼兩類。頻移譯碼是把

95、每個碼組看成一個數(shù)字信號，把接受到的信號進(jìn)行離散傅氏變換(DFT)，然后利用數(shù)字信號處理技術(shù)在“頻域”內(nèi)譯碼，最后進(jìn)行傅氏反變換得到譯碼后的碼組。時域譯碼則是在時域直接利用碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行譯碼。BCH碼的時域譯碼方法有很多，而且糾正多個錯誤的BCH碼譯碼算法十分復(fù)雜。常見的時域BCH譯碼方法有彼得森譯碼、迭代譯碼等。事實(shí)上，BCH碼是一種特殊的循環(huán)碼，因此它的編碼器不但可以像其它循環(huán)碼那樣用除法器來實(shí)現(xiàn)，而且原則上所有適合循環(huán)碼譯碼的方

96、法也可以用于BCH碼的譯碼。在此簡要說明彼得森算法的基本思路：</p><p>　　羅列出擴(kuò)域GF()上2t個代表某一種錯誤的部分伴隨式。</p><p>　　為測試，令錯碼個數(shù)，（t為可糾錯個數(shù)），計(jì)算伴隨矩陣M的行列式值。要求構(gòu)造伴隨矩陣，</p><p><b>　　式（3-40）</b></p><p>　　如果

97、行列式值為零，令，再次計(jì)算行列式。以此類推，直到伴隨</p><p>　　矩陣的行列式值不為零為止。這樣，v的取值就是實(shí)際發(fā)生的錯誤數(shù)目。</p><p>　　求M的逆矩陣并計(jì)算錯誤定位多項(xiàng)式</p><p><b>　　式（3-41）</b></p><p>　　的系數(shù)。其中，代表與第k個錯誤的位置相關(guān)的域元素。<

98、;/p><p>　　求解的零點(diǎn)，從中可計(jì)算出錯碼位置</p><p>　　對錯誤位置碼的元取反，即可糾正錯誤。</p><p>　　有關(guān)BCH碼編碼和譯碼算法的推導(dǎo)本文不做詳細(xì)敘述，如有需要請參考相關(guān)文獻(xiàn)。下面我們僅用查表法設(shè)計(jì)一種BCH(15,5)碼，它是一個可糾正3個隨機(jī)獨(dú)立差錯的BCH碼，即t=3，根據(jù)前面給出的BCH碼構(gòu)造關(guān)系可以推知：</p>&

99、lt;p><b>　　式（3-42）</b></p><p>　　查不可約多項(xiàng)式表（見附錄）可得：</p><p><b>　　式（3-43）</b></p><p><b>　　式（3-44）</b></p><p><b>　　式（3-45）</b&g

100、t;</p><p><b>　　所以：</b></p><p><b>　　式（3-46）</b></p><p>　　考慮BCH碼是循環(huán)碼的子類，可以采用一般循環(huán)碼的編碼的方法利用g(x)對其進(jìn)行編碼，具體過程在(7,3)循環(huán)碼的例子中已有詳細(xì)介紹，就不再贅述。</p><p>　　下面采用彼得

101、森算法對其譯碼。假設(shè)傳輸?shù)氖侨愦a字，接收到的多項(xiàng)式為。故有兩個錯誤分別在第4和第6個位置，錯誤圖樣的多項(xiàng)式為。但譯碼器只能用算法來計(jì)算得到這一結(jié)論。</p><p>　　首先在GF()擴(kuò)域上的伴隨式可以表示為：</p><p><b>　　式（3-47）</b></p><p><b>　　式（3-48）</b><

102、/p><p><b>　　式（3-49）</b></p><p><b>　　式（3-50）</b></p><p><b>　　式（3-51）</b></p><p><b>　　式（3-52）</b></p><p>　　因?yàn)檫@是一

103、個具有糾正3個錯誤的碼字，首先令v=t=3，</p><p><b>　　式（3-53）</b></p><p>　　Det (M)=0，這表明發(fā)生的錯誤小于3個。下面，令v=t=2，</p><p><b>　　式（3-54）</b></p><p>　　，這表明實(shí)際發(fā)生了兩個錯誤。接著計(jì)算，&l

104、t;/p><p><b>　　式（3-55）</b></p><p><b>　　式（3-56）</b></p><p><b>　　求解和可得。從而</b></p><p><b>　　式（3-57）</b></p><p>　　因此

105、恢復(fù)出來的錯誤位置為和。因?yàn)樵摯a是二元碼，錯誤程度為1，故，這樣，接收端通過錯誤圖樣就可正確譯出接收碼字。</p><p><b>　　3.6 小結(jié)</b></p><p>　　本章內(nèi)容較多，但核心思想不是很復(fù)雜。首先對線性分組碼的一般編譯碼過程做了理論上的推導(dǎo)，特別是生成矩陣和校驗(yàn)矩陣的引入，讓整個過程能夠用數(shù)學(xué)方式加以描述，這給編譯碼電路的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)帶來了方便。然

106、后，又引入生成多項(xiàng)式等概念，對循環(huán)碼——這種線性分組碼中最重要的一類碼字做了詳細(xì)介紹；循環(huán)碼的優(yōu)勢在于它能夠用代數(shù)語言表示和運(yùn)算，這就在之前的基礎(chǔ)上又一次簡化了編譯碼電路，也為高性能碼字的設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。最后，以（7,4）漢明碼、（7,3）循環(huán)碼以及（15,5）BCH碼為例，詳細(xì)論述了這三種典型碼字的編譯碼過程。需要注意的一點(diǎn)是，碼字的傳輸性能與接收端采用的譯碼方式或者譯碼算法關(guān)系密切；比如，采用軟判決譯碼的性能要優(yōu)于硬判決譯碼，采用彼

107、得森算法接收碼字的誤碼率要低于一般循環(huán)碼的譯碼方法。下一章將對線性分組碼的性能影響因素以及性能研究方法做出探討。</p><p>　　4. 線性分組碼的傳輸性能研究</p><p>　　4.1 差錯控制編碼的性能估計(jì)</p><p>　　4.1.1 編碼增益的提出</p><p>　　數(shù)字通信中，最為關(guān)鍵的指標(biāo)是誤碼率。糾錯編碼的目的是降低誤

108、碼率，因此評價(jià)某個編碼方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，就是看在一定條件下編碼與不編碼相比誤碼率的性能改善了多少。</p><p>　　根據(jù)傳輸質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的不同，誤碼率有三種表示：誤碼字率、誤符號率、誤比特率。在糾錯編碼的性能分析中，誤碼字率和誤比特率是最常采用的性能評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。人們通過誤碼率與信噪比的關(guān)系曲線來刻畫編碼的性能，這里是傳送每比特信息所需的能量，是單邊噪聲功率譜密度，信噪比一般用分貝表示。誤碼率與信噪比的關(guān)系曲線體現(xiàn)了各

109、種編碼的“絕對性能”。但就編碼研究而言，人們最感興趣的不是性能本身，而是不同編碼方案下性能的改善量。特別是在某一誤碼率下，采用一個特定的編碼方案與沒有應(yīng)用編碼情況相比信噪比減少dB的數(shù)量。這個數(shù)量可用來評價(jià)編碼方案的性能好壞，稱為編碼增益[13]。</p><p>　　描述編碼增益的常用方法是對應(yīng)用編碼和未應(yīng)用編碼的同一系統(tǒng)畫出誤碼率與信噪比的關(guān)系曲線，當(dāng)誤碼率用誤比特率表示時，用代替。編碼增益是誤碼率的函數(shù)，隨

110、著誤碼率增大，編碼增益越來越小。顯然，編碼增益隨著信噪比增大而增大，但當(dāng)時，編碼增益收斂于某一固定值——漸進(jìn)編碼增益。</p><p>　　4.1.2 線性分組碼的性能限</p><p>　　當(dāng)然，除了將編碼性能與未編碼情況相比外，人們還常常將編碼性能與Shannon容量極限進(jìn)行比較。因?yàn)椤癝hannon限”是任何編碼性能的理論極限值，而實(shí)際通信系統(tǒng)可允許的誤比特率在之間，所以人們特別關(guān)心

111、這個范圍內(nèi)的編碼效果。一般來講，相同碼率的線性分組碼中，與Shannon極限的接近程度由高到低依次為：低密度校驗(yàn)碼LDPC、Turbo級聯(lián)碼、BCH碼、Hamming碼，這也恰恰反映了這幾種線性分組碼的性能優(yōu)劣程度。</p><p>　　進(jìn)一步討論性能極限的問題。線性分組碼的糾錯能力離不開碼的三大參數(shù)：n、k、d之間關(guān)系的分析。這不僅能從理論上指出哪些碼字不可以構(gòu)造，而且也為工程應(yīng)用提供了對碼性能估計(jì)的理論依據(jù)。

112、下面給出線性分組碼的幾個簡單的性能限[14]：</p><p><b>　　Plotkin限</b></p><p>　　Plotkin限簡稱P限，他說明了信息分組，線性分組碼最小距離所能達(dá)到的最大值，故它是線性分組碼的一個性能上限。特別的，在二進(jìn)制情況下該極限可簡化為：</p><p><b>　　式（4-1）</b>&

113、lt;/p><p><b>　　Hamming限</b></p><p>　　Hamming限簡稱H限，它說明了線性分組碼的校驗(yàn)位數(shù)所能達(dá)到的最小值，故它是線性分組碼的一個性能上限。特別的，在二進(jìn)制情況下該極限可簡化為：</p><p><b>　　式（4-2）</b></p><p><b>

114、;　　V-G限</b></p><p>　　它是線性分組碼的一個性能下限，如果滿足此條件就一定能夠構(gòu)造出碼距為d的線性分組碼：</p><p><b>　　式（4-3）</b></p><p><b>　　式中，。</b></p><p><b>　　漸進(jìn)性能</b>

115、;</p><p>　　Shannon信道編碼定理指出，僅當(dāng)分組碼的碼長時，譯碼錯誤才會無限接</p><p>　　近于0。因此，時，碼的漸進(jìn)性能具有重大理論意義。但同時也應(yīng)該看到，碼長的增加會導(dǎo)致編譯碼設(shè)備的復(fù)雜度增大，而且由于分組碼在譯碼時，要求接收端收到整個分組的信息之后在進(jìn)行譯碼，所以會帶來很大的時間延遲，不利于實(shí)時業(yè)務(wù)的應(yīng)用。鑒于上述原因，即使一個碼的性能很不理想，可能它對于給定