數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文-一題多解反思

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　一、一題多解的意義及作用……………………………………………………1</p><p>　　二、例題講解……………………………………………………………………3</p><p>　　1、比較大小問題……………………………………………………………3</p><p&g

2、t;　　2、求值問題…………………………………………………………………4</p><p>　　3、一元二次方程根與系數(shù)問題……………………………………………5</p><p>　　4、銳角三角函數(shù)問題………………………………………………………6</p><p>　　5、幾何問題…………………………………………………………………7</p><p&g

3、t;　　三、小結(jié)…………………………………………………………………………9</p><p>　　參考文獻…………………………………………………………………………11</p><p><b>　　論文摘要 </b></p><p>　　一題多解的意義針對教學(xué)目的、重難點等進行對學(xué)生的培養(yǎng)，并且要讓學(xué)生通過不斷的解題，從中尋找到最佳的解題方法。一題

4、多解可以增加數(shù)學(xué)題的使用價值也可以對學(xué)生的解決問題的能力、解決問題的思路的提高，還可以開闊他們的思路，促進解決問題的靈活性，增加他們的知識和智慧，以及知識間的聯(lián)系和運用。及時反思能從諸多的解題方法中找到最簡單的方法解題。教師從學(xué)生的認識角度出發(fā)盡可能的尋找已知條件，學(xué)習(xí)過后要反思，解完后要及時反思。通過一題多解的反思可以尋找問題間的聯(lián)系，可以增強學(xué)生的創(chuàng)造性。在教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生從不同的角度入手思考解決問題，并從中探索最簡便的方法，還要讓

5、他們知道怎么樣去想怎么樣解決，在解題方法中通過比較，得到最簡單的方法，調(diào)動學(xué)生對一題多解的積極性，利用學(xué)生的好奇心，鼓勵學(xué)生尋找多種方法從而選擇最簡單的方法解決數(shù)學(xué)題。在一題多解的過程中要以學(xué)生為主，設(shè)計教學(xué)活動。反思過后從解后的諸多方法中通過反思得到最簡方法和解題的規(guī)律、解題的思路并對結(jié)論進行推導(dǎo)得到一般規(guī)律是學(xué)生成長的必不可少的培養(yǎng)。而這不是一天兩天的事需要老師學(xué)生長期共同的努力，通過這種能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生盡可能的全面發(fā)展以培養(yǎng)出合

6、格的社會</p><p>　　關(guān)鍵詞： 多解 反思 提高能力 </p><p><b>　　一題多解反思</b></p><p>　　06春數(shù)本 崔家進</p><p>　　一題多解數(shù)學(xué)題的解后反思是很重要的。一題多解的意義針對教學(xué)目的、重難點等進行對學(xué)生的培養(yǎng)，并且要讓學(xué)生通過不斷的解題，從中尋找到最佳的解

7、題方法。一題多解可以增加數(shù)學(xué)題的使用價值也可以對學(xué)生的解決問題的能力、解決問題的思路的提高，還可以開闊他們的思路，促進解決問題的靈活性，增加他們的知識和智慧，以及知識間的聯(lián)系和運用。從解后的諸多方法中通過反思得到最簡方法和解題的規(guī)律、解題的思路并對結(jié)論進行推導(dǎo)得到一般規(guī)律是學(xué)生成長的必不可少的培養(yǎng)。如何進行一題多解的反思呢？比較大小的數(shù)學(xué)題中，經(jīng)常會遇到一題多解的數(shù)學(xué)題。，主要用到了特殊值法、作差法、求商法，如果我們再作差法加以引審，在

8、應(yīng)用題中也有應(yīng)用，通過上面一題多解的例子，講解引審可以提高學(xué)生的一題多解的能力，整體法比較簡單，在教學(xué)時要強調(diào)和加從以引導(dǎo)從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的一題多解的能力的提升他們的解題能力并通過解后反思引導(dǎo)學(xué)生得到一般規(guī)律。</p><p>　　一、一題多解的意義及作用。</p><p>　　通過幾年初中數(shù)學(xué)的教學(xué)，在解一些數(shù)學(xué)題時往往一道數(shù)學(xué)題用幾種不同的方法都能解決。有的簡單有的稍微要復(fù)雜一些，而在

9、解題時復(fù)雜的方法浪費時間、簡單的方法節(jié)省時間。在這些方法中肯定有一種最簡單的方法。如果通過平時總結(jié)能找到那么在考試時解這種一題多解的題目就能大量節(jié)省時間，無形之中就多了考試時間從而留有時間檢查為我們考高分提供了保障。所以我們在平時解一題多解的題目時就要及時反思并能從諸多的解題方法中找到最簡單的方法解題。</p><p>　　我所認識到的一題多解就是從不同角度不同思路分析問題,從題目中盡可能的挖掘隱含條件用不同的方

10、法、不同的運算過程去分析解答問題最終達到異曲同工的目的。因此一題多解需要老師和學(xué)生做大量準(zhǔn)備工作認真分析問題盡可能的挖掘題目中的隱含條件。而對初中學(xué)生的年齡而言,由于學(xué)生較小他們的思維能力、想像能力、分析問題能力還不是很強，思維具有狹窄性，一般只知道其一不知道其二，如果題目稍有變化就不知道怎樣分析解決數(shù)學(xué)問題。這就需要教師在平時的教要針對教學(xué)目的、重難點等進行對學(xué)生的培養(yǎng)，并且要讓學(xué)生通過不斷的解題，從中尋找到最佳的解題方法。通過一題多

11、解的訓(xùn)練可以調(diào)動學(xué)生積極思考問題并積極的解決問題．增加學(xué)過程中對學(xué)生加以幫助。而一題多解就可以對學(xué)生的思維和解題思路、解題方法進行提高。一題多解可以增加數(shù)學(xué)題的使用價值也可以對學(xué)生的解決問題的能力、解決問題的思路的提高，還可以開闊他們的思路，促進解決問題的靈活性，增加他們的知識和智慧，以及知識間的聯(lián)系和運用。而作為一名教師在訓(xùn)練學(xué)生一題多解時，解決問題方法的多樣性和技能。而且還能提高思維靈活性，促進智慧，還能影響學(xué)生解決其他學(xué)科問題的方

12、法，更靈活的掌握知識間的聯(lián)系，</p><p>　　孔子云：“學(xué)而不思則罔”意思相信大家都知道，就是說學(xué)習(xí)新知識過后不及時的思考就回收獲不大。這就提醒我們學(xué)習(xí)過后要反思。解數(shù)學(xué)題時由于審題不清等原因會出現(xiàn)錯誤，比如說：在簡單概率的計算中有這樣一個例題“在一個不透明的箱子中放入兩個紅球一個白球（除顏色外其它都相同）從中先摸出一個球（摸出后在放回）然后在摸出一個球，問兩次都摸到紅球的概率是多少？”在這個題目中如果不注

13、意摸出后在放回題目就解錯了。通過這個例子我們可以看出解一道數(shù)學(xué)題不一定一次就能正確，這就要求我們解完后要及時反思。而有的同學(xué)把解題當(dāng)作一種任務(wù)，解完就結(jié)束了，像這類學(xué)生就更要反思了。數(shù)學(xué)知識具有連貫性，一個題目解完了在對的情況下你還不能保證是最簡的方法，這就要求我們要進行一題多解的反思。每一種方法可能要用到不同的數(shù)學(xué)知識，如果能及時反思既能復(fù)習(xí)知識有能加強知識的應(yīng)用，而且還能從諸多方法中的到最簡的方法，從而提高自身的解數(shù)學(xué)題的能力。如果

14、在把上面的到方法加以推測反思也許還能得到解一般題目的方法。我們和樂而不為呢？數(shù)學(xué)題與數(shù)學(xué)題之間有時不是沒有聯(lián)系的，通過一題多解的反思可以尋找問題簡的聯(lián)系，可以增強學(xué)生的創(chuàng)造性。而且數(shù)學(xué)題有成千上萬</p><p>　　在比較大小的數(shù)學(xué)題中，經(jīng)常會遇到一題多解的數(shù)學(xué)題，如：</p><p><b>　　二、例題講解。</b></p><p>&l

15、t;b>　　1、比較大小問題。</b></p><p>　　例1 當(dāng)0<<1時,、、的大小順序</p><p>　　方法1 可用特殊值法：</p><p><b>　　解 ∵0<<1</b></p><p>　　∴取特殊值=，則=、=、=2 ，∴>></

16、p><p><b>　　方法2 作差法：</b></p><p>　　∵兩數(shù)相減可以取正數(shù)、負數(shù)、0，那么用、表示兩數(shù)，能得到三種情況：</p><p><b>　　當(dāng)－>0時，></b></p><p><b>　　當(dāng)－=0時，=</b></p>&l

17、t;p><b>　　當(dāng)－<0時，<</b></p><p>　　∴此題的解法為－=（－1）</p><p><b>　　∵0<<1</b></p><p><b>　　∴－1<－1<0</b></p><p>　　∴（－1）<0

18、 即<</p><p>　　同理 －=<0 綜上所述∴>></p><p>　　通過上面的方法，我們可以得到兩個數(shù)大小的比較方法作差法，比較與的大小，也可以采用上述兩種方法，這時候我們可以啟發(fā)學(xué)生還有沒有其它方法呢？然后我們再給出求商法，÷=>1，所以>。</p><p>　　像上面比較大小的一題多解，主要用到了特

19、殊值法、作差法、求商法。我們還可以對作差法加以引申，這在應(yīng)用題中也有應(yīng)用，如</p><p>　　例2：單位計劃組織員工去旅游，估計人數(shù)在6~15。甲、乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是200元/人。該單位聯(lián)系時，甲旅行社表示可以給予每位游客八折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客費用，其余游客九折優(yōu)惠。問人數(shù)在什么范圍內(nèi)，應(yīng)選甲旅行社，在什么范圍內(nèi)，應(yīng)選乙旅行社？</p><p>　　解

20、：設(shè)此次旅游為人，費用為元。</p><p><b>　　由題意可得，</b></p><p>　　選擇甲旅行社，費用為1=160</p><p>　　選擇乙旅行社，費用為2=180－180</p><p>　　1－2=160－180＋180</p><p><b>　　=180－20&

21、lt;/b></p><p>　　當(dāng)=9時，選兩個旅行社都一樣；當(dāng)6≤＜9時，選擇乙旅行社較合適；當(dāng)9＜≤15時，選擇甲旅行社較合適。</p><p>　　通過上面一題多解的例子，講解引申可以提高學(xué)生的一題多解的能力。</p><p><b>　　2、求值問題。</b></p><p>　　例3：已知則＋的值。&l

22、t;/p><p>　　解：方程兩邊同除以得到，再把這個等式左右兩邊同時平方得到</p><p>　　＋＋2 =9所以＋=7。這里我們用到整體法求式子的值，那么我</p><p>　　們還有沒有其它方法來解決這道題呢？</p><p>　　原方程是一個一元二次方程，我們可以解這個方程，把方程的根求出來，然后再帶入式子中，也可以求出來原式等于7。&l

23、t;/p><p>　　通過上面兩種方法，我們可以用整體法解比較簡單，練習(xí)求，請同學(xué)們試著用上面兩種方法解決。</p><p>　　例4 已知 ；</p><p><b>　　求的值。</b></p><p>　　解 方法一：由已知條件比大1，比大2，所以=－1，=＋1，</p><p>&

24、lt;b>　　原式==3</b></p><p><b>　　方法二：</b></p><p><b>　　原式=</b></p><p>　　通過上面整體法，求這個問題比較簡單。下面我們再用整體法求的例子。</p><p><b>　　①</b></p

25、><p>　　例5 已知方程組 ② 的解、的和是負數(shù)則的取值</p><p><b>　　范圍。</b></p><p>　　解：方法一：整體法①＋②得</p><p>　　所以又因為、的和是負數(shù)，所以＜0，解得＞。</p><p>　　方法二：解得=，=，所以又因為、的和是負數(shù)，所以＜0，解

26、得＞。</p><p>　　練習(xí)1 若函數(shù)和的圖象的交點坐標(biāo)為（，8），求。</p><p>　　解：方法一：∵兩函數(shù)的交點坐標(biāo)為（，8）</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　∴ 由①＋②得</p><p><b>　?、?l

27、t;/b></p><p>　　練習(xí)2 若， ，，求的值。</p><p>　　解：方法一：把的值都解出來（略）然后再求的值。</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　方法二： ② ①+②+③得 ∴</p><p><b>　?、?lt;/b>

28、;</p><p>　　通過上面的例題和練習(xí)我們可以得到解這些數(shù)學(xué)題的方法其中一種方法較復(fù)雜而另一種方法較簡單。我們在教學(xué)時要強調(diào)和加從以引導(dǎo)從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的一題多解的能力的提升他們的解題能力并通過解后反思引導(dǎo)學(xué)生得到一般規(guī)律下面我們再看幾個例題。</p><p>　　3、一元二次方程根與系數(shù)問題</p><p>　　例6 已知關(guān)于的方程的一個根為2，則它的另

29、一根及的值為多少？</p><p>　　解：方法一：∵方程的根為2</p><p><b>　　∴得=1</b></p><p>　　當(dāng)=1時，原方程可化為</p><p><b>　　解得 </b></p><p>　　∴另一根為－3，的值為1</p>&

30、lt;p>　　方法二：設(shè)另一根為，得</p><p>　　解得 ∴的值為1，另一根為－3</p><p>　　在方法2中我們用到了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題這樣就使問題簡單了，下面我們在看一個例題。</p><p>　　例7 、是方程的根，求的值。</p><p>　　解：方法一：∵、是方程的解 ∴我

31、們可以把方程的解解出來再帶入式子中求值（過程略）。</p><p>　　方法二：由根與系數(shù)的關(guān)系可得 </p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　∴原式的值為14</b></p&

32、gt;<p>　　上面我列舉了代數(shù)部分的幾個一題多解的例子，下面我們再看幾個幾何方面的例子。</p><p>　　4、銳角三角函數(shù)問題。</p><p>　　例8 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,求cosA、tanA的值。</p><p>　　解：方法一：用定義求</p><p>　　∵sinA=

33、∠C=90°∴設(shè)BC=，則AB=</p><p>　　根據(jù)勾股定理 AB2=BC2＋AC2 可得AC=</p><p>　　∴cosA= tanA=</p><p>　　方法二：用函數(shù)間的關(guān)系</p><p>　　∵sin2A＋cos2B=1 sinA= ∴cosA </p><p&

34、gt;　　又∵∠A為銳角 ∴cosA=</p><p><b>　　tanA==</b></p><p><b>　　5、幾何問題。</b></p><p>　　例9 如圖，∠A=60° ∠B=∠ADC=90° AB=6 CD=3，求BC，AD的長。</p><p&

35、gt;　　解：方法一：延長AD，BC相交于點E</p><p>　　∵∠A=60° ∠B=90°</p><p>　　∴tan∠A= 即tan60°= </p><p><b>　　∴BE=6</b></p><p>　　cos∠A= 即cos60°= </p

36、><p><b>　　∴AE=12</b></p><p>　　又∵∠A=60° ∠B=90° ∴∠E=30° ∠DCE=60° </p><p>　　在直角三角形CDE中，CE=2×3=6 DE=tan60°·3=3</p><p>

37、　　∵AD=AE－DE=12－3 BC=BE－CE=6－6</p><p>　　方法二：延長AB、DC相交于點F（過程略）</p><p><b>　　方法三：如圖</b></p><p>　　過B作BE⊥AD垂足為E，過C作CF⊥BE，垂足為F</p><p>　　∵AB=6 ∠A=60°∴AE=

38、3 BE=</p><p>　　又∵∠ADC=90° ∠E=90° ∠F=90°</p><p>　　四邊形EFCD為矩形 ∴ED=FC DC=EF=3</p><p>　　又∵BE= ∴BF=－3</p><p>　　∵∠ABC=90° ∠A=60° ∴∠

39、FBC=60°</p><p>　　∴BC=（－3）×2=6－6 CF=ED=9－</p><p>　　又∵AE=3 ∴AD=12－</p><p>　　而由上題所變化可以得到兩個新題目。</p><p>　　變化1 ∠A=60° ∠B=∠ADC=90° AB=6 CD

40、=3 如圖，求四邊形ABCD的面積。</p><p>　　解：由例10求得BC=6－6 AD=12－</p><p><b>　　∴=</b></p><p>　　變化2 ∠A=60°，∠B=∠ADC=90°，AB=6，CD=3，求BC=AD的值。 解略。</p><p>　　由這個例題我們可

41、以看出通過一個一題多解的題目我們可以引申出多個變化的題目，所以我們不但要會解一題多解還要對它進行及時的反思以便找出同規(guī)律題目的解法。</p><p>　　例10 ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點，求證：BE=DF。</p><p><b>　　證明： 方法一</b></p><p><b>　　∵ABCD</b&g

42、t;</p><p>　　∴AD=BC ∠A=∠C AB=DC</p><p>　　又∵E、F分別為AD、BC的中點</p><p><b>　　∴AE=CF</b></p><p>　　在△ABE與△DCF中，</p><p><b>　　AB=DC</b><

43、/p><p><b>　　∠A=∠C</b></p><p><b>　　AE=CF</b></p><p>　　∴△ABE≌△DCF</p><p><b>　　∴BE=CF</b></p><p>　　方法二，也可以通過證明四邊形BEOF為平行四邊形，用

44、一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形。</p><p><b>　　∵ABCD</b></p><p>　　∴AD∥BC且AD=BC</p><p>　　又∵E、F分別為AD、BC的中點</p><p>　　∴ED∥BF且ED=BF</p><p>　　∴四邊形BEDF為平行四邊形</p&

45、gt;<p><b>　　即BE=DF</b></p><p><b>　　三、小結(jié)</b></p><p>　　以上是我們數(shù)學(xué)問題中的一些常見一題多解的類型：有比較大小問題、求值問題等都用到了一題多解，在這些問題中解題方法都不唯一，那么我們在教學(xué)時不僅僅要讓學(xué)生會解還要會一題多解，并及時反思從中找到最簡方法。問題解完后要引導(dǎo)學(xué)生反

46、思，能不能把這些結(jié)論加以引申得到一般規(guī)律，并把規(guī)律用到其他問題中呢？老師的引導(dǎo)、學(xué)生的反思讓學(xué)生掌握一題多解的解題思想。而這不是一天兩天的事需要老師學(xué)生長期共同的努力，通過這種能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生盡可能的全面發(fā)展以培養(yǎng)出合格的社會主義建設(shè)者。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　1．陜西師范師范出版社，2004，羅增儒，數(shù)學(xué)解題學(xué)引論，西