導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 畢業(yè)論文

1、<p>　　編號(hào) </p><p>　　學(xué) 年 論 文 </p><p>　　（ 201 級(jí)本科）</p><p>　　題 目： 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 </p><p>　　二級(jí)學(xué)院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 </p><p>　　

2、專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　作者姓名： </p><p>　　指導(dǎo)教師： 職稱： 副教授 </p><p>　　完成日期： 201 年 11 月 18 日</p><p

3、>　　導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　*** 指導(dǎo)老師：***</p><p>　　摘 要 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣泛,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問題進(jìn)行邊際分析、彈性分析、優(yōu)化分析,對(duì)企業(yè)定價(jià)策略有著非常重要的作用.</p><p>　　關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù);邊際;彈性;交叉彈性</p><p>　　中圖分類號(hào) O

4、172.1</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定量分析經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的問題,已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要組成部分.導(dǎo)數(shù)是微積分中一個(gè)重要概念,它是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也存在變化率問題；如價(jià)格的變化必然會(huì)帶動(dòng)需求量的變化,為了實(shí)現(xiàn)利潤最大化,我們需要考慮,企業(yè)產(chǎn)品的需求價(jià)格邊際問題、彈性、交叉彈性問題,從

5、微觀和宏觀把握經(jīng)濟(jì)的變化.</p><p>　　2 導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋</p><p>　　刻畫了函數(shù)在的變化率,當(dāng)自變量處有一個(gè)單位的變化,則函數(shù)在處有個(gè)單位的變化.</p><p>　　假設(shè)市場(chǎng)上某種商品的需求函數(shù)其中為商品的價(jià)格,為市場(chǎng)上該商品的需求量.表示當(dāng)價(jià)格在處有一個(gè)單位的變化,則該商品的需求量將會(huì)有個(gè)單位的變化.同樣對(duì)于供給函數(shù)、總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、

6、總利潤函數(shù)都可以對(duì)導(dǎo)數(shù)意義理解.</p><p><b>　　3 邊際分析</b></p><p>　　在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,所謂“邊際”指當(dāng)?shù)母淖兞繒r(shí),的相應(yīng)改變量與比值的變化.即當(dāng)在某一給定值附近有微小的變化時(shí)的瞬時(shí)變化.</p><p><b>　　3.1邊際成本</b></p><p>　　邊際成本在

7、經(jīng)濟(jì)學(xué)中被定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的成本.設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為,為產(chǎn)量.即邊際成本為,當(dāng)變化很小時(shí),,(微積分定義).為邊際成本函數(shù). 可見,邊際成本約等于成本函數(shù)的變化率,在實(shí)際生產(chǎn)中：在每一產(chǎn)量水平上的邊際成本就是相應(yīng)的總成本曲線在該點(diǎn)處切線的斜率,即總成本函數(shù)在該產(chǎn)量處的導(dǎo)數(shù)值.因此,在經(jīng)濟(jì)決策分析中邊際成本可以用來判斷產(chǎn)量的增減在經(jīng)濟(jì)上是否合算.</p><p>　　例1某

8、種產(chǎn)品的總成本C(萬元)與產(chǎn)量q(萬件)之間的函數(shù)關(guān)系式為.求當(dāng)生產(chǎn)水平q=10(萬件)時(shí)的邊際成本,并從降低成本角度看,繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合適？</p><p><b>　　解 時(shí)的總成本為</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　邊際成本 </b></p&g

9、t;<p><b>　　即 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此在生產(chǎn)水品為10萬件時(shí),每增加一個(gè)產(chǎn)品總成本增加3元.這遠(yuǎn)低于當(dāng)前的單位成本,從降低成本的角度看,應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量.</p><p><b>　　3.2 邊際收入</b>&

10、lt;/p><p>　　邊際收入指稍微增加一個(gè)單位的銷量時(shí)所增加的銷售收入.即假設(shè)某產(chǎn)品的收入函數(shù)為,為產(chǎn)品的銷售量,有邊際收入</p><p>　　因此,邊際收入約等于收入函數(shù)的變化率.在實(shí)際中：每一銷售水平上的邊際收入值就是相應(yīng)的總收入曲線在該點(diǎn)處切線的斜率,即總收入曲線關(guān)于該銷售量的導(dǎo)數(shù)值.</p><p><b>　　3.3 邊際利潤</b>

11、;</p><p>　　邊際利潤即邊際收入與邊際成本的差</p><p>　　設(shè)某產(chǎn)品德銷售量為q時(shí)的利潤函數(shù)為,當(dāng)可導(dǎo)時(shí),稱銷售量為q時(shí)的邊際利潤,它近似等于銷售量為q時(shí)再多銷售一個(gè)產(chǎn)品所增加的利潤.</p><p>　　由于利潤為收入與成本的差,即利潤函數(shù)為收入函數(shù)與成本函數(shù)之差,即由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法知,即邊際利潤為邊際收入與邊際成本之差.</p>&

12、lt;p>　　例2 某餐店每月對(duì)某種菜的需求是由確定的,其中q是需求量(盤),是價(jià)格(元),生產(chǎn)q盤菜的成本為,試問當(dāng)產(chǎn)量是多少時(shí),餐店才獲得的利潤最大？最大利潤是多少？</p><p>　　解 總收入 因</p><p><b>　　,</b></p><p>　　根據(jù)利潤最大原則 </p><p>

13、　　即 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以q=2440(盤).</p><p>　　由于q=2440是函數(shù)唯一的極值點(diǎn),所以是函數(shù)的最大點(diǎn),即當(dāng)產(chǎn)量為2440時(shí)有最大利潤. 由利潤</p><p><b>　　,</b></p>

14、<p><b>　　最大利潤 </b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以當(dāng)產(chǎn)量為2440時(shí),餐店獲得最大利潤,最大利潤為2476.8.</p><p>　　例3 某公司總利潤與日產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式即利潤函數(shù)為（元/件）,試求每天生產(chǎn)150噸、200噸、350噸時(shí)的邊際利潤,并說明

15、其經(jīng)濟(jì)意義.</p><p>　　解 有利潤函數(shù) 得邊際利潤</p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　.</b></

16、p><p>　　從上面可以看出,當(dāng)日產(chǎn)量在150噸時(shí),每天增加1噸產(chǎn)量可增加總利潤0.5萬元;當(dāng)日產(chǎn)量在200噸時(shí),再增加產(chǎn)量,總利潤已經(jīng)不會(huì)增加;而當(dāng)日產(chǎn)量在350時(shí),每天產(chǎn)量再增加反而使總利潤減少1.5萬元,由此可見,該公司應(yīng)該把日產(chǎn)量定在200噸,此時(shí)總利潤最大： </p>&l

17、t;p><b>　　.</b></p><p><b>　　4 彈性問題</b></p><p>　　彈性概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念,用來定量地描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的敏感程度,其定義為:為在點(diǎn)x處的點(diǎn)彈性,也是彈性系數(shù). </p><p>　　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo),函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量

18、之比,當(dāng)時(shí)的極限稱為函數(shù)在點(diǎn)x處的相對(duì)變化率,稱彈性函數(shù),記為.</p><p>　　4.1需求價(jià)格彈性[2]</p><p>　　經(jīng)濟(jì)學(xué)中,把需求量對(duì)價(jià)格的相對(duì)變化率稱為需求的價(jià)格彈性,記為</p><p>　　由于需求函數(shù)是價(jià)格的遞減函數(shù),所以需求函數(shù)一般為負(fù)值.</p><p>　　故當(dāng)時(shí),稱為單位彈性,即商品需求量的相對(duì)變化與價(jià)格的相

19、對(duì)變化基本相等.</p><p>　　當(dāng)時(shí),稱為富有彈性.即商品需求量的相對(duì)變化大于價(jià)格的需求變化,此時(shí)價(jià)格的變化對(duì)需求量的影響較大.換句話說,適當(dāng)降價(jià)會(huì)使需求量大幅度上升,從而能夠增加收入.相反,商品價(jià)格上升會(huì)導(dǎo)致需求量大大減少,從而導(dǎo)致總收入減少.</p><p>　　當(dāng)時(shí),稱為缺乏彈性,即商品需求量的相對(duì)變化小于價(jià)格的相對(duì)變化,此時(shí)價(jià)格的相對(duì)變化對(duì)需求量的影響較小,在適當(dāng)漲價(jià)（降價(jià)）

20、不會(huì)使需求量有太大的變化.</p><p>　　例4 某商品的需求函數(shù)為,Q為需求量,p為售價(jià).</p><p>　　(1)求;(2)計(jì)算并經(jīng)濟(jì)角度解釋所得結(jié)果.</p><p>　　解 (1) 由 得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因?yàn)?所以需求價(jià)格彈性為<

21、/p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2) .</p><p>　　其含義為當(dāng)商品的售價(jià)為3元時(shí),若單價(jià)每增加1元,則需求量將減少約18%,反之,若單價(jià)每降低1元,則銷售量將提高18%.</p><p>　　4.2 收入價(jià)格彈性</p><p>　　

22、把收入價(jià)格相對(duì)價(jià)格的相對(duì)變化率成為收入價(jià)格彈性.</p><p>　　設(shè)收入函數(shù)為,因此收入函數(shù)關(guān)于價(jià)格的變化</p><p><b>　　,</b></p><p>　　收入價(jià)格的彈性為 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　此時(shí)可發(fā)現(xiàn),,則價(jià)格的

23、變動(dòng)與收入的變化是同方向的;反之,則價(jià)格的變動(dòng)與收入的變化是反方向的.</p><p>　　例5 某生產(chǎn)公司經(jīng)營某種電器的需求彈性在之間,如果公司決定將價(jià)格下降10%,問此種電器的銷售量將會(huì)怎樣變化？總收入怎樣變化？</p><p>　　解 由于需求彈性,Q為商品需求量,p為價(jià)格</p><p><b>　　, ,</b></p>

24、<p><b>　　當(dāng)時(shí),</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí),</b></p><p>　　由此可見,當(dāng)價(jià)格下降10%時(shí),該電器的銷售量將會(huì)增加15%-25%,總收入將會(huì)增加5%-15%.</p><p>　　例6 已知某生產(chǎn)商生產(chǎn)某種家電的總成本函數(shù)為,通過市場(chǎng)調(diào)查,可以預(yù)計(jì)這種家電的年需求量為.其

25、中價(jià)格(單位/元),q是需求量,試求使利潤最大的銷量和銷售價(jià)格.</p><p><b>　　解 有需求量 ,</b></p><p>　　因此,當(dāng)銷售量為q時(shí)總收入函數(shù)為 </p><p><b>　　利潤函數(shù)為</b></p><p><b>　　=</b></p&

26、gt;<p><b>　　令 得唯一駐點(diǎn)</b></p><p>　　由實(shí)際問題可知是利潤函數(shù)為的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),最大利潤為 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　當(dāng)時(shí),銷量為 .</p><p>　　家電的年需求量為,那么其邊際需求為,需求

27、彈性為,</p><p>　　使利潤最大的家電售價(jià)為4200元,需求彈性</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即當(dāng)家電售價(jià)為4200時(shí),其需求彈性為富有彈性,此時(shí),適當(dāng)降價(jià)不僅能增加銷售量、擴(kuò)大企業(yè)的家電市場(chǎng)上的占有成本,增加銷售總收入,給企業(yè)帶來經(jīng)濟(jì)效益.</p><p>　　5 偏導(dǎo)數(shù)在需求交

28、叉彈性中的問題[3]</p><p>　　經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念是偏彈性,在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中商品的需求量Q受商品的價(jià)格,消費(fèi)者的收入M以及相關(guān)商品的價(jià)格等因素的影響.</p><p>　　則(1)需求的直接價(jià)格偏彈性為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2)需求的交叉價(jià)格偏彈性為</p>

29、<p><b>　　,</b></p><p>　　(3)需求收入價(jià)格偏彈性為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例7 已知某市場(chǎng)牛肉的需求函數(shù)為,其中Q為牛肉的需求量,為牛肉價(jià)格為相關(guān)商品豬肉的價(jià)格.市場(chǎng)調(diào)查知消費(fèi)者年收入平均10000,牛肉價(jià)格為10元,豬肉價(jià)格為8元,求當(dāng)豬肉價(jià)

30、格增加,牛肉價(jià)格不變的情況下,牛肉的市場(chǎng)需求量將如何變化？</p><p>　　解 由已知條件 得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以當(dāng)相關(guān)商品豬肉的價(jià)格增加,而牛肉價(jià)格不變時(shí),牛肉的市場(chǎng)需求量將增加.</p><p><b>　　6結(jié)語 </b></p

31、><p>　　對(duì)于企業(yè)來說,進(jìn)行邊際分析和彈性分析是非常重要的,企業(yè)如果離開邊際分析盲目生產(chǎn)就會(huì)造成資源的巨大浪費(fèi).企業(yè)如果離開彈性分析就不可能達(dá)到利潤的最大化的目標(biāo),導(dǎo)數(shù)作為邊際分析和彈性分析的工具可以給決策者提供客觀的數(shù)據(jù),從而做出合理的決策,有了科學(xué)的經(jīng)營決策依據(jù).導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,只是數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中一小部分,其應(yīng)用頗為廣泛.</p><p>　　致謝 感謝本文在朱福國老師的精心指導(dǎo)下完

32、成.</p><p><b>　　參 考 文 獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 田婷.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].林區(qū)教學(xué),2009(4):98-99.</p><p>　　[2] 李蘭平.導(dǎo)數(shù)在企業(yè)定價(jià)策略方面的應(yīng)用[J].企業(yè)管理,2010(11):72-73.</p><p>　　[3] 吳素琴.談導(dǎo)數(shù)及

33、其經(jīng)濟(jì)分析中的若干應(yīng)用[J].科學(xué)教育,2011(3):4-6.</p><p>　　[4] 王青青.淺談導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].高校講壇,2011(9):8.</p><p>　　[5] 陳昆.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中“邊際”和“彈性”方面的應(yīng)用[J].考試周刊,2009(18):38-39.</p><p>　　[6] 晉曉飛.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].時(shí)代經(jīng)貿(mào),2