畢業(yè)論文---微分和積分在不等式中的應用

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目 : 微分和積分在不等式中的應用 </p><p><b>　　摘　要</b></p><p>　　微積分和不等式都是數(shù)學中極為重要的內容，本文在回顧了幾種常用的證明不等式的初等方法后，利用微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調性

2、、極（最）值的判定法、定積分的性質等一些微積分知識探討不等式的證明方法，最后指出了微積分在不等式證明中的具體應用．</p><p>　　微積分是數(shù)學中的重要組成部分，是研究函數(shù)的性質，證明不等式，探求函數(shù)的極值、最值，求曲線的斜率和解決一些物理問題的有力工具．微積分的應用為解決數(shù)學問題提供了新的思路，新的方法和新的途徑，可以說微積分是打開數(shù)學知識大門的一把鑰匙. 微積分在實際生活中的應用非常廣泛，在不等式證明中也

3、發(fā)揮著巨大的作用.不等式的證明方法很多，靈活地運用微積分的性質及相關定理是解決許多不等式證明問題的關鍵．本篇論文歸納和總結了一些證明不等式的方法與技巧，利用微積分證明不等式的基本思想和基本方法，提出了運用這些方法和技巧能夠使不等式的求解過程更為簡單的思路．</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　關鍵詞：微積分；不等式；微分中值定理；泰勒公式；函數(shù)

4、的單調性；極（最）值的判定法；</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　前言1</b></p><p>　　第一章 微積分2</p><p>　　§1 微積分的發(fā)展2</p><p>　　§2 微積分的概念3

5、</p><p>　　第二章 不等式7</p><p>　　§1 不等式的定義和性質7</p><p>　　§2 常用的證明不等式的方法8</p><p>　　第三章 微積分在不等式中的應用12</p><p>　　§1 利用微分證明不等式12</p>&

6、lt;p>　　§2 利用積分證明不等式19</p><p><b>　　結論23</b></p><p><b>　　參考文獻24</b></p><p><b>　　致謝25</b></p><p><b>　　前 言</b>

7、</p><p>　　在高等數(shù)學中常常要證明一些不等式。而不等式的證明方法很多,在以往多采用代數(shù)或幾何方法,現(xiàn)在可借助于微積分的知識,這是普遍應用的一種方法。本論文著重介紹用微積分知識來證明不等式的幾種常用方法。利用微分中值定理 這是證明不等式用得最多的方法</p><p>　　不等式是中學數(shù)學的重點內容之一。不等式的許多證法中,往往需要有較高的技巧。利用微積分的思想證明不等式,使不等式的

8、證明過程大大簡化,技巧性降低。同時體現(xiàn)了高等數(shù)學對初等數(shù)學的指導作用。</p><p>　　利用微積分證明不等式,其中包利用泰勒公式、函數(shù)單調性、函數(shù)的最值、曲線的凹凸性、構造輔助函數(shù)、運用導數(shù)積分等方法,給出一些主要的證明方法,并舉例加以說明應用</p><p>　　不等式的證明是高中數(shù)學的重要難點之一。不等式的種類繁多，證明的方法難易懸殊，使用的技巧各異，教材對不等式的證明給出了系統(tǒng)總

9、結。盡管如此，我們在面對很多不等式時還是無法快速簡便地證明它。我們不難發(fā)現(xiàn)它們都是以微積分為背景的。隨著課程改革，新課程的實施。微積分的初步知識進入了高中教材，以定積分，導數(shù)為背景的不等式的證明題型在高考和各類競賽中屢屢出現(xiàn)。本文分別從微分和導數(shù)兩個大的方向分類討論了證明不等式的幾類方法。</p><p>　　本文的目的，通過對不等式的證明，對微分，積分相關知識和相關性質進行歸納，總結。使學生明白如何利用微分中介

10、定理，單調性判別法，最值原理，以及凸凹判別法等來證明不等式。</p><p>　　第一章 微積分</p><p>　　將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝， 而樹干的主要部分就是微積分．微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一．它既是一門基礎學科，又是一門應用廣泛的學科．要想掌握高等數(shù)學的任何一個分支不熟悉微積分是不可能的，因此，研究微積分的一些性質及應

11、用具有很大的必要性．</p><p>　　§1 微積分的發(fā)展</p><p>　　從17世紀開始，隨著社會的進步和生產力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題的解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科．17世紀有數(shù)十位科學家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨．</p&g

12、t;<p><b>　　1.1微積分的思想</b></p><p>　　微積分成為一門學科是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經產生了．公元前3世紀，古希臘的數(shù)學家、力學家阿基米德（公元前287～前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思

13、想．極限理論作為微積分的基礎早在我國的古代就有非常詳盡的論述.意大利數(shù)學家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的．這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備．</p><p>　　1.2 微積分的創(chuàng)立</p><p>　　由于17世紀工業(yè)革命的直接推動，英國科學家牛頓和德國科學家萊布尼茨在許多數(shù)學家工作的基礎上創(chuàng)立了微積分，他們?yōu)樽兞拷?/p>

14、了一種新型的行之有效的運算規(guī)則，去描述因變量在一個短暫瞬間相對于自變量的變化率，以及在自變量的某個變化過程中因變量作用的整體積累，前者稱為微商，后者稱為積分，統(tǒng)稱微積分．此后，數(shù)學的發(fā)展逐漸出現(xiàn)了一日千里之勢，形成了內容豐富的高等代數(shù)、高等幾何、與數(shù)學分析三大分支，在此基礎上，還出現(xiàn)了一些其他分支．</p><p>　　§2 微積分的概念</p><p>　　2.1 求變速直

15、線運動物體的瞬時速度</p><p>　　假定物體作變速直線運動，其運動方程為，求物體在時刻的瞬時速度.對于勻速直線運動的速度，可用</p><p>　　公式“速度=路程/時間”求得，而變</p><p>　　速直線運動的速度如何來求呢？下面</p><p><b>　　來討論這個問題.</b></p>

16、<p>　　如圖2.1，設物體在時刻的</p><p>　　位置為，在時刻的位置為</p><p>　　，則物體在這段時間內所經過的路程為,物體的平均速度為</p><p>　　由于速度是連續(xù)變化的，故當很小時，平均速度可以作為物體在時刻瞬時速度的近似值，而且越小，近似程度越好，所以當時，若趨向于一定值，則平均速度的極限</p><p&

17、gt;　　就是物體在時刻的瞬時速度.</p><p>　　2.2 微分的基本概念及運算法則</p><p>　　定義1 設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，當自變量在處有增量仍在該鄰域內，相應地函數(shù)有增量，如果與之比當時，極限</p><p>　　存在，那么這個極限值稱為函數(shù)在點的導數(shù)，并且說，函數(shù)在點處可導，記作，即</p><p><

18、b>　?。?lt;/b></p><p>　　如果極限不存在，就說函數(shù)在點處不可導．</p><p>　　如果固定，令，則當時，有，故函數(shù)在處的導數(shù)也可表示為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　設函數(shù)與在點處可導,則有如下求導法則:</p><p><b

19、>　　(1)；</b></p><p><b>　　(2)；</b></p><p>　　(3)（）．特別地,當 (為常數(shù))時,有</p><p><b>　　． </b></p><p>　　定義2 若函數(shù)在點處的改變量可以表示成</p><p>&l

20、t;b>　　，</b></p><p>　　其中為比高階無窮小，則稱函數(shù)在點處可微，并稱其線性主部為函數(shù)在點處的微分，記為或，即且有，這樣．</p><p>　　因為函數(shù)的微分等于導數(shù)乘以，所以根據(jù)導數(shù)的運算法則，就能得到相應的微分運算法則．</p><p><b>　　若函數(shù)與可微，則</b></p><

21、p>　　(1)，其中是常數(shù)；</p><p><b>　　(2)；</b></p><p><b>　　(3)；</b></p><p><b>　　(4).</b></p><p>　　2.3 定積分的基本概念及性質</p><p>　　定義3

22、 設函數(shù)在上有定義,任取分點</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　分為個小區(qū)間．記</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　再在每個區(qū)間上任取一點，作乘積的和式：</p><p><b&

23、gt;　　，</b></p><p>　　如果時，上述極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的</p><p><b>　　定積分，記為</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中稱為被積函數(shù)，為被積式，為積分變量，為積分區(qū)間，分別稱為積分的下限和上限．<

24、;/p><p>　　定理1 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又是的任一個原函數(shù)，則有</p><p>　?。?(1)</p><p>　　公式(1)叫做牛頓-萊布尼茨公式．</p><p>　　例 利用牛頓—萊布尼茨公式計算下列定積分。</p><p>　　解： (1) (2)</p

25、><p>　　第二章 不等式</p><p>　　不等式是數(shù)學中的重要內容之一，是求解一些數(shù)學問題的有效工具，不等式除了可以用來解決一些關于不等量的實際問題，對于研究函數(shù)的定義域和值域也有廣泛的應用．</p><p>　　§1 不等式的定義和性質</p><p>　　1.1不等式的定義 </p><p>

26、;<b>　　形如</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　的表達式稱為不等式，這里和可能是數(shù)也可是函數(shù)，記號稱為不等號，分別讀作：小于(小于等于)，大于（大于等于）．</p><p>　　用符號和表示的不等式稱為嚴格不等式，而用符號和表示的不等式稱為非嚴格不等式．</p>&l

27、t;p>　　不等式可分為兩類：算術(或數(shù)值)不等式，即只用數(shù)字表示的不等式，例如：,；非算術不等式，即除了數(shù)字以外還出現(xiàn)一個或幾個變量的函數(shù)的不等式，例如:，．</p><p><b>　　1.2不等式的性質</b></p><p>　　在進行證明不等式或利用不等式解題時，有必要將原不等式轉化為一個新的且與原不等式等價的不等式，因此，常利用下面一些不等式的性質：

28、</p><p>　　性質1 如果，那么；如果，那么．</p><p>　　性質2 如果，那么；如果，那么．</p><p>　　性質3 如果，那么；如果，那么．</p><p>　　性質4 如果不等式的兩邊同乘(同除)同一個正的量，那么得到的不等式與原不等式同向；如果不等式的兩邊同乘(同除)同一個負的量，那么得到的不等式與原不等式反

29、向,即如果，，那么；如果，，那么；</p><p>　　如果，，那么；如果，，那么.</p><p>　　性質5 如果不等式的左右兩邊同時加上一個量，那么所得到的不等式與原不等式同向，即</p><p><b>　　如果，那么．</b></p><p>　　§2 常用的證明不等式的方法</p>

30、<p><b>　　2.1差值比較法</b></p><p>　　差值比較法是證明不等式中最基本．最重要的方法之一，其理論依據(jù)是不等式的基本性質：“若，則；若，則．”</p><p>　　一般步驟為：①做差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看做為一個整體；②變形：將不等式兩邊做差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積或變形為一個或幾個平方的和

31、等等方式．其中變形是差值法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所要求不等式成立的結論，此方法一般是適用于被證的不等式兩段是多項式、分式或對數(shù)式． </p><p>　　例1 已知為正數(shù)，證明：.</p><p><b>　　證明 因為</b></p><p>&l

32、t;b>　　，</b></p><p><b>　　所以可得到</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　2.2綜合法</b></p><p>　　綜合法是利用已知條件、重要不等式或已經證明過的不等式作為基礎，借助不等式的性質

33、和有關定理，經過逐步地邏輯推理，最后推理出所要證明的不等式．其特點和思路是“由因導果”，從“已知”觀察逐步推出“結論”．其邏輯關系為：，即從已知逐步推演出不等式成立的必要條件，從而得出結論． </p><p>　　例2 已知為實數(shù)，求證．</p><p><b>　　證明 因為</b></p><p><b>　　，，，</

34、b></p><p><b>　　三式相加并變形得：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　同理可證</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　

35、所以 </b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　2.3分析法</b></p><p>　　分析法是從要證明的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件進而轉化為判定是否具備那個條件的過程，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“須知”，逐步靠攏“已知”，其邏輯關系：，為了證

36、明命題成立，只需求證命題為真，從而推演出又有直到為真，最后只需證明為真，而已知為真，故也必為真．其邏輯關系告訴我們分析法證明是步步尋求上一步成立的充分條件 ．</p><p>　　例3 已知，證明：，并討論為何值時等式成立． </p><p>　　證明 假設此不等式成立，于是</p><p><b>　　，</b></p>

37、<p><b>　　因為，所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　這顯然是成立的，且以上每步過程是可逆的，當且僅當時，即時，不等

38、式成立，原命題得證． </p><p><b>　　2.4換元法</b></p><p>　　換元法是對一些結構比較復雜、變量較多、變量關系不甚明了的不等式引入一個或幾個變量進行代換，以便簡化原有的結構或實現(xiàn)某種轉化與變通，給證明以新的啟迪和解法．</p><p>　　例4 已知為正數(shù)，且，求證: ()．</p><p&g

39、t;　　證明 由已知，可設，．因為</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，．</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b&

40、gt;　　.</b></p><p><b>　　2.5反證法</b></p><p>　　有些證明不等式的命題，從正面證明不容易，就可以從反面的角度去考慮，即要證明不等式，先假設，由題設及其他性質推出其是矛盾的，從而肯定．凡涉及所證不等式為否定命題，唯一性命題，或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語時，一般都可以考慮用反證法．</p>

41、;<p>　　例5 已知：對于任意的正數(shù)，恒有，證明：．</p><p>　　證明 設，則，取，有</p><p>　　與已知相矛盾，所以假設不成立，于是原命題結論成立．</p><p><b>　　2.6放縮法</b></p><p>　　放縮法是當直接證明不等式不容易時，借助一個或幾個中間變量通過適

42、當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明的目的. </p><p>　　常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③利用均值不等式．</p><p>　　第三章 微積分在不等式中的應用</p><p>　　不等式涉及數(shù)量之間大小的比較，而通過比較變量與變量之間相互制約的關系．因此，從某種意義上說, 對不等式的探討，在數(shù)學分析中甚至比等式的推演更為

43、重要．許多數(shù)學家證明和發(fā)現(xiàn)了不少重要的不等式，許多著名不等式在數(shù)學分析中都起到了重要的作用．所以對不等式的研究無論是實踐應用，還是理論分析都有重要的意義．本章就從此基點出發(fā)，介紹利用微積分法證明不等式的幾種方法</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　§1 利用微分證明不等式</p><p>　　微分在不等式中的

44、應用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調性、極值、最值、凸函數(shù)法等方法來證明不等式．以下對這些方法分別做詳細的介紹.</p><p>　　1.1利用微分中值定理證明不等式</p><p>　　定理1(微分中值定理） 如果函數(shù)，滿足下列條件:</p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　(2)在開區(qū)間內可導，<

45、;/p><p>　　則在區(qū)間內至少存在一點，使得</p><p><b>　　．</b></p><p>　　由于在之間，因此將有一個取值范圍，即有一個取值范圍，這樣就得到了一個不等式．因此，可利用在區(qū)間內的特點證明不等式．</p><p>　　例1 證明;設，則有．</p><p>　　證明　(1

46、) 當時，上式顯然成立．</p><p>　　(2) 當時，設，那么在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件.由于，故有，，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又由于，所以，于是</b></p><p><b>　　，</b></p>

47、<p><b>　　故當時，有成立．</b></p><p>　　1.2 利用泰勒公式證明不等式</p><p>　　定理２（泰勒中值定理） 如果函數(shù)中含有的某個開區(qū)間內具有直到階的導數(shù)，對意有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中<

48、/b></p><p>　　，　　　 　　　　　　</p><p>　　這里是與之間的某個值．</p><p>　　公式稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式，而表達式稱為拉格朗日型余項．</p><p>　　利用泰勒公式證明不等式的常用方法是將函數(shù)在所給區(qū)間的端點或一些特定點（如區(qū)間的中點、零點）展開，通過分析余項在點的性質，

49、從而得到不等式．</p><p>　　例2 證明不等式：當時，．</p><p>　　證明 利用泰勒中值定理可得函數(shù)在點的二階泰勒展式為</p><p><b>　　，．</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</

50、b></p><p><b>　　顯然．另一方面，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即&l

51、t;/b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　1.3 利用函數(shù)的增減性證明不等式</p><p>　　單調函數(shù)是一類很重要的函數(shù)，運用導數(shù)為工具可以判斷出函數(shù)的單調性.</p><p>　　定理3 設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導.</p><p>　　(1)如果在內，

52、那么函數(shù)在上單調遞增；</p><p>　　(2)如果在內，那么函數(shù)在上單調遞減.</p><p>　　利用函數(shù)的增減性證明不等式的步驟為：</p><p>　　通過恒等變換(形)構造出合適的輔助函數(shù)（構造輔助函數(shù)常用的方法是，直接將不等號右端項移到不等號左端，令不等號右端為零，左端即為所求的輔助函數(shù)）；</p><p>　　求在所給區(qū)間上的

53、一階導數(shù)，再判別一階導數(shù)在此區(qū)間上的符號；</p><p>　　有時需求在所給區(qū)間端點的函數(shù)值或極限，以便作出比較，即可得到所要證明的結果．</p><p>　　例3 證明；當時，.</p><p>　　證明 先證，令，則</p><p><b>　　，．</b></p><p>　　由此知當

54、時，是遞減的(個別點處，不影響是遞減的結論)，所以當時，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　；</b></p><p>　　再證左邊不等式，令 </p><p&g

55、t;<b>　　，</b></p><p>　　則 </p><p><b>　　，，，，</b></p><p>　　由，知，所以在時，，從而當時，為單調遞增的，故在時，，即</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>&l

56、t;b>　　綜上所述，當時，有</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　1.4利用函數(shù)的最值和極值</p><p>　　函數(shù)的最值和極值不僅在實際問題中占有重要的地位，對于證明不等式來說也是一個常用而有效的證明方法．函數(shù)的最值和極值證明不等式適用在某區(qū)間上成立的不等式,與利用函數(shù)的單調性證明不等式相

57、似，但二者又有明顯的不同，不同處在于對所作的輔助函數(shù)的處理上：利用函數(shù)的單調性的證明方法比較的是函數(shù)的端點值，而該方法是要考慮函數(shù)在區(qū)間上的最值和極值，需利用最值定理（若函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)必在該閉區(qū)間上取得最大值和最小值，當函數(shù)取得最小值時，對任意的有，而當函數(shù)取得最大值時，對任意的有）對最值進行判斷，從而得出證明結論．</p><p><b>　　證明步驟為：</b></p>

58、<p>　　通過恒等變形構造合適的輔助函數(shù)；</p><p>　　求在所給區(qū)間上的一階導數(shù)，從而判別一階導數(shù)在此區(qū)間上的符號；</p><p>　　根據(jù)輔助函數(shù)在此區(qū)間上是否存在極值和最值的比較，得出所需要的結論．</p><p>　　例4 設，證明不等式成立．</p><p><b>　　證明 設，則</b

59、></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由得唯一駐點，由</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　知，在上的最大值為1，最小值為，</p><p><b>　　故</b&g

60、t;</p><p><b>　　．</b></p><p>　　例5 證明；當時，．</p><p><b>　　證明 令，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　令，得駐點(因為是的端點，所以不是駐點) 且當時，&

61、lt;/p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　當時，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以是極大值也是最大值，從而得：</p><p><b>　　，</b></p&g

62、t;<p>　　即 </p><p><b>　　．</b></p><p>　　1.5利用函數(shù)凹凸性證明不等式</p><p>　　定義1 設在區(qū)間上連續(xù)．若對任意的恒有</p><p><b>　　，</b></p>

63、<p>　　則稱的圖形在上是凹的；若</p><p><b>　　．</b></p><p>　　則稱的圖形在上是凸的．</p><p>　　如果函數(shù)在內具有二階導數(shù),那么就可以利用二階導數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性,這就是下面的曲線凹凸性的判定定理.</p><p>　　定理4 設在上連續(xù),在內具有一階和二階

64、導數(shù),那么</p><p>　　(1)若在內,則在上的圖形是凹的；</p><p>　　(2)若在內,則在上的圖形是凸的.</p><p>　　利用函數(shù)凹凸性證明不等式首先找到輔助函數(shù)，利用輔助函數(shù)在所給區(qū)間的二階導數(shù)，確定函數(shù)的凹凸性． </p><p>　　例6 證明不等式成立.</p><p>　　證明 構造

65、函數(shù),則</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此，當時，函數(shù)是凹函數(shù),則由凹函數(shù)的定義有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b>

66、;</p><p>　　從而 </p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　1.6 微分定義法證明不等式</p><p>　　從微分定義出發(fā)證明不等式是最“原始”的做法，不易被人想到，但它在證明某些不等式中確有其優(yōu)勢.</p><p>　　例7 設且

67、，為實常</p><p><b>　　數(shù)，試證．</b></p><p><b>　　證明 因為，</b></p><p><b>　　，利用導數(shù)定義得：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b

68、>　　由于，所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 ．</p><p>　　§2 利用積分證明不等式</p><p>　　2.1利用定積分定義及性質證明不等式</p><p>　　運用定積分的定義證明不等式是最

69、基本的做法在解某些不等式時會帶來良好的結果．</p><p>　　例1 對任意正整數(shù)，證明：．</p><p>　　證明 設，，當時，顯然為凸函數(shù)．將區(qū)間 分成等分,則由定積分定義知</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p>

70、<p>　　. </p><p><b>　　從式前半部可得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從式后半部可得</b></p><p><b>　　，</b></p>

71、<p><b>　　故原不等式成立．</b></p><p>　　利用定積分的性質證明不等式常用的是當不等式中含有定積分（或被積函數(shù)）時，可利用積分性質證明．定積分的性質在不等式上的應用所依據(jù)的原理是：若在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)滿足，其中不等號至少對于中某一點處成立，則有．</p><p>　　例2 證明不等式成立．</p><p>　　證

72、明 當時，，，則</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　因為在上均為連續(xù)函數(shù)，且在內均可導，則由定積分的性質知，</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　2.2 利用柯西不等式證明不等式</p><p>　　定理５（柯西不等式）

73、 若函數(shù)在區(qū)間上皆可積，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3 設函數(shù)在上的導數(shù)連續(xù)，，證明：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明　 因為，所以設，則</p><p>　　， </p&g

74、t;<p>　　又因為，所以設，， </p><p><b>　　由與得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　結論得證．</b></p><p>　　2.3利用積分上限函數(shù)(原函數(shù)法)證明不等式</p&g

75、t;<p>　　當命題中出現(xiàn)條件在上連續(xù)時，可構造積分上限函數(shù)，將數(shù)值不等式或定積分不等式轉化為(積分上限)函數(shù)不等式，然后利用函數(shù)單調性或定積分的性質或泰勒公式解題．</p><p>　　例4 設在上連續(xù)，且單調遞增，證明</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明 構造輔助函數(shù)，</p>

76、<p><b>　　顯然，對任意的，有</b></p><p><b>　　，．</b></p><p>　　因為單調遞增，則，故單調遞增，所以，</p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p&g

77、t;<p><b>　　結 論</b></p><p>　　不等式是數(shù)學中的重要內容之一，它反映了變量之間很重要的一種關系．論證不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要較高技巧，但利用微積分的思想證明不等式, 可使不等式的證明過程大大簡化, 技巧性降低；同時能夠體現(xiàn)高等數(shù)學對初等數(shù)學的指導作用．本文著重介紹用微積分知識證明不等式的幾種常用方法，常見的方法有微分中值定理，

78、函數(shù)的單調性，極（最）值的判定法，定積分的性質，泰勒公式等．這些方法能夠使不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解．</p><p>　　利用微積分證明不等式，我們首先必須要對導數(shù)，定積分的概念和基本性質，定理有一個深刻的認識，了解，掌握。在此基礎才可以結合實際需要，靈活運用。進而根據(jù)不等式的特點，選擇簡更易行的方法證明不等式。我們在利用函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值證明不等式時，最關鍵，最重要的一步就是構造輔助函

79、數(shù)，并對輔助函數(shù)求導，判斷導數(shù)的符號。從而確定在所考慮區(qū)間上的增減性，極值或最值性質。由于所作輔助函數(shù)的不同，確定的符號的難易程度所不同。所以作輔助函數(shù)可作適當變更。而我們在利用微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調性、極（最）值的判定法、定積分的性質等一些方法證明不等式時，一定要滿足它所要求的條件才可以用它來證明不等式。微分，導數(shù)為不等式的證明提供了不少簡浩，明快的方法。使用時究竟用那種方法更適合，需要根據(jù)不等式的具體形式結合條件來加以選

80、擇，有的可以多種方法都能證明。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 同濟大學應用數(shù)學系，高等數(shù)學 [M]，北京：高等教育出版社，2001：126-152</p><p>　　[2] 華羅庚，高等數(shù)學引論 [M]，北京：北京科學出版社，1981：65-71</p><p>　　[3]

81、費定暉，周學圣主編.， 數(shù)學分析習題集解集 [M]，山東：山東科學技術出版社，2001：87-90</p><p>　　[4] 盛祥耀，高等數(shù)學 [M]，北京：高等教育出版社，2003：90-98</p><p>　　[5] 侯風波，高等數(shù)學 [M]，北京：高等教育出版社，2000：78-95</p><p>　　[6] 同濟大學，高等數(shù)學 [M]，上海：同濟大學出

82、版社，1998：101-112</p><p>　　[7] 歐陽光中，高等數(shù)學 [M]，上海：復旦大學出版社，1984：81-84</p><p>　　[8] 歐陽光中，姚允龍，數(shù)學分析 [M]，上海：復旦大學出版社，1993：108-113</p><p>　　[9] 陳傳璋，陳傳臨，朱學炎等, 數(shù)學分析 [M]，北京：高等教育出版社，2003：97-100<

83、;/p><p>　　[10] 華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析 [M ]，北京：高等教育出版社，1981：96-98</p><p>　　[11] 復旦大學數(shù)學系主編，數(shù)學分析 [M]，北京：北京高教出版社，1994：117-119</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　我首先感謝我的指導教師阿孜古麗

84、，由于她的關心、支持和鼓勵使我有信心來完成此論文，并且論文寫作過程中為我提供了很多有助于論文進展的設計思想和輔助材料．在論文初步完成時她在百忙之中審閱了我的論文，并提出了寶貴意見．因為采納了老師的改進意見，使本論文的質量進一步得到提高,最后我要對所有幫助我寫論文的同學表示感謝．</p><p>　　雖然此論文歷經幾次修改，但由于我的學術水平有限，論文中可能存在許多不足和缺陷，敬請諸位老師和學友給予批評指正，以使我