數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文--數(shù)學(xué)模型在金融市場(chǎng)中的應(yīng)用_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

1、<p><b>  畢 業(yè) 論 文</b></p><p>  題目: 數(shù)學(xué)模型在</p><p><b>  金融市場(chǎng)中的應(yīng)用</b></p><p>  系 別: 數(shù) 理 系</p><p>  專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p>&l

2、t;p>  姓 名: </p><p>  學(xué) 號(hào): </p><p>  指導(dǎo)教師: </p><p>  2012年 5月 15日</p><p><b>  本科畢業(yè)論文任務(wù)書</b></p><p>  注:任務(wù)書必須由指導(dǎo)教師和學(xué)生互相

3、交流后,由指導(dǎo)老師下達(dá)并交教研室主任審核后發(fā)給學(xué)生,最后同學(xué)生畢業(yè)論文等其它材料一起存檔。</p><p><b>  摘 要</b></p><p>  數(shù)學(xué)模型,即數(shù)學(xué)公式。它能把現(xiàn)實(shí)中許多現(xiàn)象和結(jié)論濃縮在簡(jiǎn)潔的符號(hào)之中。利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題,首先要把實(shí)際事物之間的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)形式,這就是建立數(shù)學(xué)模型。</p><p>  在現(xiàn)代金融

4、市場(chǎng)中,對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行量化,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,進(jìn)而應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論知識(shí)研究金融資產(chǎn)及其衍生資產(chǎn)定價(jià)、復(fù)雜投資技術(shù)與公司的金融政策,已經(jīng)成為現(xiàn)代金融分析的主要發(fā)展趨勢(shì)。</p><p>  數(shù)學(xué)模型對(duì)于金融市場(chǎng)中的交易者有著非常重要的作用, 數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于金融市場(chǎng)研究的重大突破是證券組合投資模型和金融衍生工具定價(jià)模型的出現(xiàn), 資本資產(chǎn)定價(jià)模型是由此發(fā)展起來的具有重大應(yīng)用價(jià)值的金融數(shù)學(xué)模型。這些模型的發(fā)展和應(yīng)用

5、仍是當(dāng)今金融領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問題。</p><p>  本文先系統(tǒng)地介紹金融市場(chǎng)的發(fā)展及數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于金融市場(chǎng)的歷史背景。從基礎(chǔ)性的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型單利和復(fù)利模型著手,概括性地介紹一些模型和利用它們分析各種金融產(chǎn)品(證券、期權(quán))的價(jià)格,探討投資最優(yōu)化理論,從理論上引導(dǎo)市場(chǎng)化解、防范金融風(fēng)險(xiǎn)。最后對(duì)一些最新金融理論做簡(jiǎn)單介紹,展望金融數(shù)學(xué)模型的發(fā)展前景。</p><p>  關(guān)鍵詞:金融數(shù)學(xué)模型,

6、證券組合,資產(chǎn)定價(jià),金融衍生工具定價(jià),金融風(fēng)險(xiǎn)</p><p><b>  Abstract</b></p><p>  Mathematical model, also called mathematical formula,can turn many phenomena and conclusions concentrated on concise symbols

7、. Using mathematical methods to solve the actual problem, first of all you need to abstract the actual connections between things into a mathematical form, which is the establishment of mathematical model. </p>&l

8、t;p>  In the modern financial markets, the research object is quantified, the establishment of an appropriate mathematical model, and then the application of modern mathematics theory on financial assets and derivativ

9、e pricing, complex investment technology and the company's financial policies, has become the main development trend of modern financial analysis. </p><p>  Mathematical model for financial market trader

10、s have a very important function, the major breakthrough of Mathematics model application in the financial market research is the appear of securities portfolio investment model and financial derivatives pricing model, t

11、he emergence of the capital asset pricing model is developed which has important application value of financial mathematics model. Development and application of these models is a hot issue in the field of modern financi

12、al. </p><p>  This paper firstly introduces the development of financial market and the historical background of the application of mathematical model in the financial market. From the foundation of simple m

13、athematical models of simple interest and compound interest model to proceed, briefly introduce some models and use them to analyze various financial products (securities, options) price, discusses investment optimizatio

14、n theory, from the theory to guide the market to resolve, to guard against financial ri</p><p>  Key words: financial mathematics model, portfolio, asset pricing, financial derivatives pricing, financial ris

15、k</p><p><b>  意</b></p><p><b>  目錄</b></p><p><b>  摘 要I</b></p><p>  AbstractII</p><p>  1數(shù)學(xué)模型與金融市場(chǎng)1</p><

16、p>  2金融市場(chǎng)中應(yīng)用的幾個(gè)重要數(shù)學(xué)模型2</p><p>  2.1金融領(lǐng)域中最基礎(chǔ)的模型2</p><p>  2.1.1單利與復(fù)利2</p><p>  2.1.2名義利率與實(shí)際利率3</p><p>  2.1.3現(xiàn)值理論3</p><p>  2.1.4證券價(jià)格的評(píng)估模型4</p&g

17、t;<p>  2.1.5債券價(jià)格的評(píng)估模型6</p><p>  2.2證券投資組合模型7</p><p>  2.2.1期望方差模型7</p><p>  2.2.2一些其它證券組合選擇模型9</p><p>  2.3資產(chǎn)定價(jià)模型11</p><p>  2.3.1資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAP

18、M)11</p><p>  2.3.2套利定價(jià)模型(APT)12</p><p>  2.4期權(quán)定價(jià)模型13</p><p>  2.4.1Black—Scholes模型13</p><p>  2.4.2期權(quán)價(jià)值的二叉樹模型15</p><p><b>  2.5對(duì)沖17</b>&

19、lt;/p><p>  3金融數(shù)學(xué)研究的最新進(jìn)展19</p><p>  3. 1隨機(jī)最優(yōu)控制理論19</p><p>  3. 2鞍理論19</p><p>  3. 3微分對(duì)策理論19</p><p>  3. 4最優(yōu)停時(shí)理論20</p><p>  3. 5智能優(yōu)化20</p

20、><p>  4金融數(shù)學(xué)研究面臨的問題與前景21</p><p>  4. 1美式期權(quán)問題21</p><p>  4. 2利率的期限結(jié)構(gòu)問題21</p><p>  4. 3市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)問題21</p><p>  4. 4突發(fā)事件問題21</p><p><b>  5結(jié)束語

21、23</b></p><p><b>  參考文獻(xiàn)24</b></p><p><b>  致 謝25</b></p><p>  1數(shù)學(xué)模型與金融市場(chǎng)</p><p>  數(shù)學(xué)模型在金融市場(chǎng)中具有重要作用,金融數(shù)學(xué)作為一門邊緣學(xué)科,應(yīng)用大量的數(shù)學(xué)理論和方法研究,解決金融中一些重大

22、理論問題,實(shí)際應(yīng)用問題和一些金融創(chuàng)新的定價(jià)問題等,由于金融問題的復(fù)雜性,所用到的數(shù)學(xué)知識(shí),除基礎(chǔ)知識(shí)外,大量的運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和方法(有的運(yùn)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法也解決不了)。</p><p>  金融數(shù)學(xué)模型的最初出現(xiàn)可以追溯到1900年Louis Bachelier(路易·巴舍利耶)的投機(jī)理論, 這一理論的出現(xiàn)標(biāo)志著連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程和連續(xù)時(shí)間的期權(quán)定價(jià)理論的誕生。然而,在其后的半個(gè)世紀(jì)中,盡管Macau

23、lay(麥考利)于1938年建立了對(duì)債券交易市場(chǎng)上的發(fā)行者和投機(jī)商非常有用的債券價(jià)格對(duì)利率的敏感性分析模型等,但這些模型在實(shí)際中并沒有得到很好的重視,五十年代末和六十年代初,投資分析和資本市場(chǎng)的金融數(shù)學(xué)建模有了大的突破, 開始了現(xiàn)代金融理論研究的新紀(jì)元。Markowitz(馬柯維茨ci)于1959年提出的期望方差模型是這一時(shí)期最有代表性及影響力的工作。因而理論界稱之為二十世紀(jì)發(fā)生在華爾街的第一次金融革命,這一模型的提出吸引了一大批的數(shù)學(xué)

24、家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家開展這一領(lǐng)域的研究,從而使得這一模型得到了不斷的完善,伴隨地出現(xiàn)了一些新的證券組合選擇模型。</p><p>  金融理論的另一次革命性的成果是Black和Scholes于1973年提出了基于無紅利支付股票的任何衍生證券的價(jià)格必須滿足一組微分方程。之后,金融衍生工具的定價(jià)理論不斷出現(xiàn)新的成果,并在九十年代形成了一門嶄新的金融學(xué)科——金融工程。</p><p>  隨著國(guó)際金融業(yè)

25、的不斷發(fā)展,數(shù)學(xué)在金融市場(chǎng)中的應(yīng)用也越來越廣泛。人們?cè)絹碓缴羁痰卣J(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的研究已經(jīng)成為金融學(xué)研究中的關(guān)鍵技術(shù)。數(shù)學(xué)模型正在不斷推動(dòng)著金融實(shí)踐的發(fā)展。因此,數(shù)學(xué)模型在金融市場(chǎng)中具有廣泛的應(yīng)用前景。</p><p>  2金融市場(chǎng)中應(yīng)用的幾個(gè)重要數(shù)學(xué)模型</p><p>  2.1金融領(lǐng)域中最基礎(chǔ)的模型</p><p>  2.1.1單利與復(fù)利</p>

26、<p>  利息是資金的時(shí)間價(jià)值的一種表現(xiàn)形式百分比,,是使用資金應(yīng)付出的代價(jià)。利率是利息所占本金的百分比,即:</p><p>  商業(yè)銀行的利率分存款利率與貸款利率。存款利率高,對(duì)投資者有利,但是銀行因?yàn)樨?fù)債成本高,為了獲利,它必須以更高的貸款利率貸出。而企業(yè)可能因?yàn)槔⑻呓璨黄疱X,銀行獲利機(jī)會(huì)相應(yīng)減少。因此,過高的銀行利率不利于經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。利率是宏觀控制信貸的重要手段,中央銀行的放款利率若增

27、加(或減少)一個(gè)百分點(diǎn),都會(huì)對(duì)社會(huì)發(fā)展產(chǎn)生重大影響。</p><p>  計(jì)算利息的方式有兩種:?jiǎn)卫c復(fù)利。</p><p>  (1)單利僅按本金計(jì)算利息,利息本身不再支付利息的計(jì)算方式。一般地,設(shè)本金為p,年利率為r,n年后的本利和為:。即單利模型: </p><p>  單利計(jì)算方便,但不能反應(yīng)資金周轉(zhuǎn)的規(guī)律與擴(kuò)大再生產(chǎn)的現(xiàn)實(shí)。在國(guó)外很少使用,一般僅用來與復(fù)

28、利進(jìn)行對(duì)比。</p><p> ?。?)復(fù)利:即本金要逐年計(jì)息,利息也要逐年生息。它具有重復(fù)計(jì)利的效應(yīng),因此俗稱“利滾利”。復(fù)利是現(xiàn)值理論中一個(gè)非常重要的概念。假定本金為p,利率為r,計(jì)算n年后的本利和F。</p><p><b>  即復(fù)利公式:</b></p><p>  連續(xù)復(fù)利公式:假定本金為p,年利率為r,每滿1/m年計(jì)息一次,按復(fù)利

29、計(jì)算,求n年后的本利和。</p><p>  分析:一年計(jì)m次利息,n年共計(jì)息mn次,年息為r,則每次計(jì)息為r/m,按基本復(fù)利公式,n年后的本利和為:</p><p>  又假定m無限增大,即在也越來越短的時(shí)間內(nèi)將利息計(jì)入本金,其極限情況意味著隨時(shí)將利息計(jì)入本金里。則滿n年后的本利和為:</p><p>  以上計(jì)算利用了極限基本公式: </p>&l

30、t;p>  2.1.2名義利率與實(shí)際利率</p><p>  貸款不僅可以具有固定的年利率,也可以在一年中具有月利率,按月進(jìn)行復(fù)利計(jì)算,這樣一年就要進(jìn)行幾次復(fù)利計(jì)算,這種投資過程稱為具有復(fù)利頻率的投資。</p><p>  特別指出,對(duì)于具有復(fù)利頻率的貸款活動(dòng)或投資活動(dòng),有兩種年利率,即名義利率和實(shí)際年利率。一般來說,若求復(fù)利的頻率m以及名義年利率r為已知,則實(shí)際年利率i由下式?jīng)Q定:

31、</p><p><b>  故</b></p><p>  上式說明名義利率與實(shí)際利率之間的關(guān)系。一般實(shí)際年利率大于名義年利率。</p><p><b>  2.1.3現(xiàn)值理論</b></p><p>  現(xiàn)值理論討論的是資金的現(xiàn)在價(jià)值,終值及折現(xiàn),它是價(jià)格理論的基礎(chǔ)。設(shè)p表示本金(現(xiàn)值),利率為

32、r,n年后的本利和(終值)記為F。有復(fù)利公式可得:,本公式即為現(xiàn)值公式。其中F表示終值,稱為折現(xiàn)系數(shù),記為?,F(xiàn)值公式可記為。</p><p>  市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)時(shí)代,銀行為了搞活業(yè)務(wù),企業(yè)為了促進(jìn)產(chǎn)品推銷,紛紛推出各種各樣的銀行按揭。如商品房銀行按揭,購車銀行按揭等,他們的共同特點(diǎn)是:以客戶的信譽(yù)作擔(dān)保,或以一定的資產(chǎn)作抵押,先在銀行貸款,然后在分期等額償還。銀行為了方便客戶查詢,一般制成一張按揭表,客戶可以查表計(jì)算,

33、選擇按揭期限與方式。</p><p>  銀行按揭可歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題:貸款P元,年利率為r,分n期等額償還,每期應(yīng)償還多少?</p><p>  考慮資金的時(shí)間價(jià)值,不能簡(jiǎn)單地平均處理。應(yīng)該考慮償還數(shù)值的折現(xiàn)。一般以一個(gè)月為一期,月末償還,年息為r,月息為i=r/12,設(shè)每期償還A元,則n期還款折現(xiàn)為現(xiàn)在價(jià)值的總和應(yīng)等于貸款總額(不考慮手續(xù)費(fèi)及中間交易稅等項(xiàng))。</p><

34、;p><b>  有現(xiàn)值公式可知:</b></p><p>  第一期還款A(yù)的折現(xiàn)值為</p><p>  第二期還款A(yù)的折現(xiàn)值為</p><p>  第n期還款A(yù)的折現(xiàn)值為</p><p>  所以 </p><p>  故

35、 </p><p>  上述公式即銀行按揭的數(shù)學(xué)模型,又稱資金還原公式(已知P求A)。稱為資金還原系數(shù),常用表示,可查復(fù)利表計(jì)算。</p><p>  2.1.4證券價(jià)格的評(píng)估模型</p><p>  投資可以獲利。人們之所以愿意購買證券是因?yàn)樗軌驇眍A(yù)期收入(差價(jià)與利息)。證券一般常指股票、債券等有價(jià)證券。證券價(jià)格受多種因素的影響,如政治、經(jīng)濟(jì)、心理等

36、,但決定因素是股息(債息)及銀行利率。而證券價(jià)格也有多種形式,大體可分為:理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格。理論價(jià)格,又稱內(nèi)在價(jià)值。在理性市場(chǎng)中,市場(chǎng)價(jià)格總是圍繞內(nèi)在價(jià)值上下波動(dòng)。</p><p>  人們持有股票,是為了從中獲取收益。從理論上說,股票的價(jià)格可以看作是股票投資者對(duì)未來各期每股預(yù)期收益的現(xiàn)值之和,是一種適當(dāng)利率的貼現(xiàn)。</p><p>  設(shè)第t期每股預(yù)期股息收入為,貼現(xiàn)率為r(或股東要求

37、的實(shí)際收益率),n期后股票的理論價(jià)格記為W,則:</p><p>  設(shè)時(shí)刻t-1的股利為,t時(shí)刻的股利為,從t-1到t時(shí)間內(nèi),股利增長(zhǎng),股利增長(zhǎng)率為:</p><p><b>  (1)零增長(zhǎng)模型</b></p><p>  假定未來各期預(yù)期股息不增長(zhǎng),及各期固定為,或=</p><p>  則:。前n項(xiàng)的和為: 當(dāng)投

38、資者持有期很長(zhǎng)時(shí),即,有</p><p>  上述公式即零增長(zhǎng)模型。</p><p>  當(dāng)貼現(xiàn)率r為銀行利率時(shí),上述公式變?yōu)椋?lt;/p><p>  上述公式具有非常重要的意義:它表明股價(jià)與股息成正比,與銀行利息成反比。它反應(yīng)降息促使股價(jià)上揚(yáng)這種現(xiàn)象。</p><p><b> ?。?)固定增長(zhǎng)模型</b></p&

39、gt;<p>  假設(shè)股利以恒定的增長(zhǎng)率g增長(zhǎng),設(shè)第一年股利為D,則第二年股利為D(1+g),第三年股利為</p><p>  股票的價(jià)格W則為各期股利的折現(xiàn)之和,即:</p><p> ?。ㄈ鬵>r,當(dāng),。這不大可能。)在永久持有股票且g<r時(shí),上式可簡(jiǎn)化為</p><p>  將上式與零增長(zhǎng)模型比較:</p><p&

40、gt;  這就是前景看好、增長(zhǎng)潛力較大的公司股票市價(jià)較高的理論依據(jù)。被被稱為增長(zhǎng)機(jī)會(huì)現(xiàn)值(Present Valule of Growth Oportunities,PVGO),根據(jù)PVGO的值可將股票分為三種: </p><p>  可見,股利恒定增長(zhǎng)評(píng)估模型也適用股利恒定減少的情況,此時(shí)g<0。</p><p>  零增長(zhǎng)模型實(shí)際上是固定增長(zhǎng)模型的一個(gè)特例。當(dāng)固定增長(zhǎng)率為零時(shí),固

41、定增長(zhǎng)模型變?yōu)榱阍鲩L(zhǎng)模型。</p><p><b> ?。?)三階段模型</b></p><p>  股利長(zhǎng)期不變,或永久以固定增長(zhǎng)模型都是不現(xiàn)實(shí)的。任何公司的發(fā)展都是階段性的,很多公司在起步階段發(fā)展快,經(jīng)過一段時(shí)間調(diào)整,才進(jìn)入穩(wěn)定的發(fā)展階段。為此,我們?cè)O(shè)想股利變化經(jīng)過三個(gè)階段。這種模型也許更接近現(xiàn)實(shí)。</p><p>  第一階段:股利以固定

42、比率增長(zhǎng),持續(xù)k年;</p><p>  第二階段:從k+1到n年,經(jīng)歷一個(gè)轉(zhuǎn)換時(shí)期,在這一時(shí)期,股利增長(zhǎng)率以直線形狀變化;</p><p>  第三階段:進(jìn)入持續(xù)穩(wěn)定狀態(tài),股利以新的比率恒定增長(zhǎng)。</p><p><b>  如下圖1.1</b></p><p><b>  圖1.1</b><

43、;/p><p>  第二階段中的增長(zhǎng)率有直線方程決定:當(dāng)t=n時(shí),正是過渡時(shí)期的末尾。由直線方程可知,給定,k,n,和最近一年的股利,就可以計(jì)算出任何將來時(shí)間的股利,然后在給定一個(gè)合適的折現(xiàn)率,可以計(jì)算出預(yù)期股利的現(xiàn)在價(jià)值。</p><p>  其股票價(jià)格可由下式估計(jì)得到:</p><p>  其中為最近一年的股利,為第n+1年的股利。三階段折扣模型的最后一部分,實(shí)際上

44、是固定增長(zhǎng)模型,即前兩階段退化(n=0)時(shí),三階段模型變?yōu)楣潭ㄔ鲩L(zhǎng)模型。</p><p>  三階段模型計(jì)算比較麻煩。且無法利用模型直接求折現(xiàn)率,為此,有人已提出了改進(jìn)模型如H模型,P/E模型等,限于篇幅,其他情況略。</p><p>  2.1.5債券價(jià)格的評(píng)估模型</p><p>  債券價(jià)格的評(píng)估與股票相似,也以其收益作為該種債券的評(píng)估價(jià)。債券價(jià)格的評(píng)估根據(jù)付

45、息方式不同有兩種情況。</p><p> ?。?)每年支付利息到期還本的債券</p><p>  記PV為債券價(jià)格,C為年利息收入,D為債券面值,n為債券尚存的償還期,為各年的貼現(xiàn)率。則: </p><p>  若將各年的貼現(xiàn)率近似地用一個(gè)平均的貼現(xiàn)率r代替,則上式可簡(jiǎn)化為:</p><p> ?。?)到期一次還本付息的債券</p>

46、;<p>  這類債券的評(píng)估模型比較簡(jiǎn)單,如下式所示:</p><p>  由于債券的面值、期限、發(fā)行利率在發(fā)行時(shí)已經(jīng)確定,債券價(jià)格的高低完全由貼現(xiàn)率決定。如果銀行利率上調(diào),貼現(xiàn)率增大,債券的價(jià)格就會(huì)下跌,甚至跌破面值;相反,貼現(xiàn)率下降,債券價(jià)格上升。</p><p>  2.2證券投資組合模型</p><p>  證券組合理論是研究怎樣在未來不確定的

47、競(jìng)爭(zhēng)中如何選擇分配資源(如股票、債券)的理論。證券組合問題在許多的決策領(lǐng)域都存在,金融市場(chǎng)上的投資者當(dāng)然要決定股票和債券及其衍生工具的組合。現(xiàn)代投資組合理論是由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬柯威茨提出的。投資組合理論認(rèn)為投資組合是一個(gè)各種資產(chǎn)的集合,組合中的每項(xiàng)資產(chǎn)都有和其相聯(lián)系的平均收益和收益方差。下面分別介紹資產(chǎn)組合的收益和收益方差的數(shù)學(xué)模型。</p><p>  2.2.1期望方差模型</p><p&g

48、t;  為了分散投資風(fēng)險(xiǎn)并取得適當(dāng)?shù)耐顿Y收益,投資者往往采用證券組合投資方式,把一筆資金同時(shí)投資于若干種不同的證券。投資者最關(guān)心的問題有兩個(gè),一是預(yù)期收益率的高低,二是預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的大小。Markowitz建立的這一模型中,預(yù)期收益率是證券組合的收益率的期望值,預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)指證券投資組合收益率的方差。 在多元證券組合投資條件下,從理論上講,給定了預(yù)期收益率,能有無窮多種證券組合可以實(shí)現(xiàn)該預(yù)期收益;同樣地,給定了預(yù)期風(fēng)險(xiǎn),也可能有無窮多種證券組合

49、可以實(shí)現(xiàn)該預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)。如果以預(yù)期收益率為縱坐標(biāo),預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)為橫坐標(biāo),則任一可行的證券組合唯一地確定平面上的一個(gè)點(diǎn),所有可行的證劵組合就組成了可行集。</p><p>  Markowitz假定投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn),理性的投資者總是希望在已知風(fēng)險(xiǎn)的條件下獲得最大的期望收益。而在已知期望收益的條件下投資風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小。具有這種性質(zhì)的證券組合稱為有效證券組合,其在平面上確定一要弧線,被稱為有效邊界。</p><

50、p>  證券能否賣空和投資者是否可以以無風(fēng)險(xiǎn)利率借貸是證券組合選擇中的兩個(gè)重要問題,證券的賣空(Short Sale)是指投資者無證券而可以預(yù)先賣出,相當(dāng)于發(fā)行證券的情況,數(shù)學(xué)上表示為0。若無風(fēng)險(xiǎn)借貸相對(duì)于投資者而言,則貸(Lending)相當(dāng)于投資于無風(fēng)險(xiǎn)的國(guó)庫券或進(jìn)行儲(chǔ)蓄;借(Borrowing)是從銀行貸款,然后投資于風(fēng)險(xiǎn)證券組合。</p><p>  令n表示證券的數(shù)目,表示投資在證券組合P中證券i

51、的相對(duì)投資量, =1,;表示第i種證券的實(shí)際收益率,期望收益率, ,,;表示無風(fēng)險(xiǎn)借貸利率,∑表示收益率r 的方差——協(xié)方差矩陣,則證券組合P的期望收益率為;證券組合P的方差為∑x。</p><p>  若考慮賣空和無風(fēng)險(xiǎn)借貸,則可以得到如下四種不同的證券組合模型:</p><p>  (1)允許賣空和無風(fēng)險(xiǎn)借貸。這種情況下的最優(yōu)證券組合可通過求解如下的規(guī)劃問題來確定:</p>

52、<p>  =1 這一模型可以轉(zhuǎn)化為一線性規(guī)劃模型。</p><p> ?。?)允許賣空,但不允許無風(fēng)險(xiǎn)利率借貸。在這種情況下,不同的無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)應(yīng)不同的最優(yōu)證券組合。把作為未知變量可以得到與上面類似的模型。</p><p> ?。?)不允許賣空,但允許無風(fēng)險(xiǎn)的借貸。這種情況下的最優(yōu)證券組合可由求解如下的二次規(guī)劃來確定:</p><p>&l

53、t;b>  =1 </b></p><p> ?。?)既不允許賣空也不允許無風(fēng)險(xiǎn)借貸。這種情況下的最優(yōu)證券組合可通過求解如下的二次規(guī)劃來確定:</p><p>  或 </p><p>  以上四個(gè)模型都是在證券的預(yù)期收益率和方差——協(xié)方差矩陣已知的情況下進(jìn)行求解的。而這些數(shù)據(jù)的獲得共需要個(gè)估計(jì)量。顯然當(dāng)n

54、很大時(shí),這些數(shù)據(jù)的估計(jì)是比較復(fù)雜的。為了減少估計(jì)量,一些學(xué)者提出了如下三種模型:</p><p><b> ?。?)單指數(shù)模型</b></p><p>  假設(shè)證券價(jià)格的變化唯一是由市場(chǎng)的作用引起d的,可得到: </p><p>  其中的獨(dú)立于市場(chǎng)因素的收益部分,為市場(chǎng)證券組合的收益率,為證券i的收益率對(duì)于市場(chǎng)作用的敏感系數(shù),為殘差項(xiàng)。于是證

55、券組合P的期望收益率為: </p><p>  其中,而證券組合P的方差為,單指數(shù)模型使輸入數(shù)據(jù)的估計(jì)量減少到3n+2。</p><p><b> ?。?)多指數(shù)模型</b></p><p>  顯然僅假設(shè)證券的價(jià)格與市場(chǎng)指數(shù)同升同降是不合適的, 因?yàn)檫@明顯不能解釋股票市場(chǎng)上每天都會(huì)有的股票價(jià)格上升, 而有的股票價(jià)格下降。多指數(shù)模型同時(shí)描述了別

56、的一些影響證券收益的因素。多指數(shù)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式為:</p><p>  其中為證券i的不依賴于指數(shù)的收益部分,為影響證券收益的第k個(gè)指數(shù),各指數(shù)間是相互獨(dú)立的,為證券i的收益率對(duì)指數(shù)的敏感系數(shù),為殘差項(xiàng)。</p><p>  多指數(shù)模型往往使用因子分析等方法處理數(shù)據(jù),這往往會(huì)引入一些新的誤差數(shù)據(jù)。因此多指數(shù)模型盡管較好地描述了收益率的屬性,但其應(yīng)用效果往往不如單指數(shù)模型的好。</p&

57、gt;<p><b>  (3)平均技術(shù)</b></p><p>  為了消除在對(duì)歷史數(shù)據(jù)的處理中引入新的誤差,可以對(duì)協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行成對(duì)平均。顯然這樣做在消除誤差的同時(shí)也就丟失了一些真實(shí)的信息。</p><p>  2.2.2一些其它證券組合選擇模型</p><p> ?。?)幾何期望收益模型</p><p

58、>  不考慮投資者的效用函數(shù)形式及證券收益的概率分布, 幾何期望收益準(zhǔn)則選擇具有最大的幾何期望收益的證券組合:</p><p>  其中為證券組合j的第i種可能收益, 為發(fā)生的概率大小。運(yùn)用這一準(zhǔn)則進(jìn)行證券組合選擇,在一段時(shí)間后最終財(cái)富具有最大的期望值。如果證券的預(yù)期收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,則幾何期望收益模型將得到與Markowitz的期望方差模型一致的有效集。</p><p>&l

59、t;b>  (2)保險(xiǎn)首要模型</b></p><p>  這類模型能避免決策者取得非常不利的頭寸(Position)情形。有三種準(zhǔn)則可以得到三種不同的保險(xiǎn)首要模型。</p><p>  第一種準(zhǔn)則由Roy提出:最優(yōu)證券組合的預(yù)期收益小于某一給定限定值的概率最?。?。</p><p>  第二種準(zhǔn)則由Kataoka提出:給定一個(gè)小的概率,令證券組合

60、收益的最小限定值達(dá)到最大: 。</p><p>  第三種準(zhǔn)則由Teleser提出:給定一個(gè)小的概率􀀁和某一限定值令證券組合的預(yù)期收益率達(dá)到最大: 。</p><p><b> ?。?)隨機(jī)優(yōu)勢(shì)模型</b></p><p>  有三種隨機(jī)優(yōu)勢(shì)準(zhǔn)則可以用來選擇證券組合。</p><p> 

61、 第一種隨機(jī)優(yōu)勢(shì)是投資者認(rèn)為財(cái)富多比少好,對(duì)應(yīng)著遞增的效用函數(shù),效用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)大于0。運(yùn)用第一種隨機(jī)優(yōu)勢(shì)可以排除一部分證券組合。</p><p>  第二種隨機(jī)優(yōu)勢(shì)是投資者認(rèn)為財(cái)富多比少好,投資者是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的,對(duì)應(yīng)著遞增的凹效用函數(shù),效用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)大于0,二階導(dǎo)數(shù)小于0。運(yùn)用這一種隨機(jī)優(yōu)勢(shì)進(jìn)行證券組合選擇時(shí),其結(jié)果與Markowitz的期望方差模型所得結(jié)果一致。</p><p> 

62、 第三種隨機(jī)優(yōu)勢(shì)對(duì)應(yīng)著遞減的厭惡風(fēng)險(xiǎn)的效用函數(shù),效用函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)大于0。</p><p><b>  (4)偏斜度</b></p><p>  偏斜度是對(duì)概率分布不對(duì)稱性測(cè)定的指標(biāo)。偏斜度可正、可負(fù)、可零。投資者大多是喜歡正的偏斜度。偏斜度的引入使證券組合擇優(yōu)地求解拓展到三維空間中。投資者希望證券組合具有最大的期望收益,最小的方差以及最大的偏斜度。由于偏斜度引入后需

63、要太多的估計(jì)值,從而限制了這一模型的實(shí)際應(yīng)用。</p><p> ?。?)最優(yōu)后悔比率模型</p><p>  定義策略S的最優(yōu)后悔比率為: ,其中x為未來的結(jié)果值,為在未來結(jié)果不確定的情況下策略S的值,為信息完全已知下的最優(yōu)值, 則最優(yōu)的策略為: ,把這一決策分析方法應(yīng)用到證券組合的選擇, 可求解如下的線性規(guī)劃問題:</p><p>  其中為證券i的相對(duì)投資比例

64、,,為證券i的價(jià)格,為證券i價(jià)格下降的最大比率。</p><p><b>  2.3資產(chǎn)定價(jià)模型</b></p><p>  2.3.1資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)</p><p>  資本資產(chǎn)定價(jià)模型主要描述了當(dāng)市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)下,如何決定資產(chǎn)的相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)以及收益和風(fēng)險(xiǎn)的相互關(guān)系。在均衡的市場(chǎng)中,理性的投資者都會(huì)持有市場(chǎng)證券組合的比例。市場(chǎng)證券

65、組合是包含對(duì)所有證券投資的證券組合,其中每一種證券的投資比例等于它的相對(duì)市場(chǎng)價(jià)值。一種證券的相對(duì)市場(chǎng)價(jià)值等于這種證券總的市場(chǎng)價(jià)值除以所有證券總的市場(chǎng)價(jià)值。</p><p>  諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Sharpe和Lintner作了十條十分嚴(yán)格的假設(shè)。例如,所有資者都追求當(dāng)期報(bào)酬最大化,并以各組合的期望報(bào)酬和標(biāo)準(zhǔn)差為基礎(chǔ)進(jìn)行投資組合選擇;市場(chǎng)是完全有效的,所有投資者擁有同樣的預(yù)期,即投資者對(duì)所有資產(chǎn)的預(yù)期報(bào)酬、方差和

66、協(xié)方差等均有完全相同的估計(jì);所有投資者都可以無風(fēng)險(xiǎn)利率無限制的借入或貸出資金;沒有稅金和交易成本;所有投資者都是價(jià)格接受者,任何一個(gè)投資的買賣行為都不會(huì)對(duì)股票價(jià)格產(chǎn)生影響;所有資產(chǎn)的數(shù)量是固定不變的;所有的資產(chǎn)都可以被完全細(xì)分,擁有充分的流動(dòng)性。</p><p>  最終得到了如下資本資產(chǎn)定價(jià)模型:</p><p>  其中為證券i的預(yù)期收益率,為無風(fēng)險(xiǎn)利率,為市場(chǎng)證券組合的期望收益率,

67、為市場(chǎng)證券組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差,為證券i的收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。</p><p>  若定義為時(shí)間的市場(chǎng)價(jià)格,定義為風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格,則資本資產(chǎn)定價(jià)模型可以直觀地理解為:</p><p>  預(yù)期收益= 時(shí)間的市場(chǎng)價(jià)格+ 風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格*風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)量</p><p>  資本資產(chǎn)定價(jià)模型把風(fēng)險(xiǎn)證券在均衡狀態(tài)下的投資收益分成兩部分:第一部分是,即無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率,它是由于資金被

68、占用、消費(fèi)被推遲而獲得的時(shí)間報(bào)酬。第二部分是,表示證券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。證券的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)越大,這部分收益越高。因而,這部分收益是承擔(dān)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)而獲得的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬。</p><p>  資本資產(chǎn)定價(jià)模型以投資家回避風(fēng)險(xiǎn)的特征為前提,通過設(shè)定按期望方差準(zhǔn)則選擇證券組合。另外,亦考慮了市場(chǎng)的均衡,是關(guān)于均衡價(jià)格的模型。但這一理論的假設(shè)過于嚴(yán)格,有的太過于理想化,不少經(jīng)濟(jì)學(xué)家從各個(gè)方面對(duì)此模型加以了完善。這方面的主要成果有:<

69、/p><p>  (1)稅款: 資本資產(chǎn)定價(jià)模型沒有考慮所得稅,而實(shí)際上資本增值是要交稅的。因此,任何資產(chǎn)或證券組合的收益率為:</p><p>  其中為市場(chǎng)證券組合M的紅利收益, 為證券i的紅利收益, 為所得稅率,為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。</p><p> ?。?)資產(chǎn)并不是都可以在市場(chǎng)上交易的:由于各種因素的存在,投資者有的資產(chǎn)是不能在市場(chǎng)上交易的。若記RH為在市場(chǎng)上不能

70、交易的資產(chǎn)的收益率,PH為在市場(chǎng)上不能交易的資產(chǎn)的總價(jià)值,PM為可以在市場(chǎng)上交易的資產(chǎn)的總價(jià)值,那么所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率為:</p><p> ?。?)不允許賣空的CAPM</p><p>  CAPM模型推導(dǎo)過程中,假定允許賣空。事實(shí)上,在資本市場(chǎng)達(dá)到均衡時(shí),再不允許賣空條件下,CAPM模型也成立。</p><p>  再不允許賣空,但CAPM其他假定條件成立的條

71、件下,設(shè)每個(gè)投資者持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合相同,各資產(chǎn)在其中所占的比例,最優(yōu)組合模型為:</p><p>  利用Langrange函數(shù)及Kuhn-Tucker條件,可得證券收益與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系:</p><p>  即在不允許賣空的條件下,CAPM模型亦成立。</p><p>  上述結(jié)論表明,這并不影響CAPM的應(yīng)用,故我們也可以用CAPM來選擇證券和計(jì)算留存收益成本。

72、 </p><p>  另外,還可以考慮通貨膨脹,投資者對(duì)市場(chǎng)具有不同和多期間投資的情況。</p><p>  2.3.2套利定價(jià)模型(APT)</p><p>  應(yīng)用資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM),投資者是基于預(yù)期收益和方差來選擇投資的。很顯然,對(duì)預(yù)期收益的定義不同而得到的期望值和方差就會(huì)迥然不同。</p><p>  套利定價(jià)模型是一

73、種與CAPM不同的資產(chǎn)定價(jià)模型。其原理基于一個(gè)價(jià)格準(zhǔn)則:完全相同的兩件物品不能以不同的價(jià)格出售,否則就會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。假設(shè)投資者是具有相同預(yù)期的,可得到如下的模型:</p><p>  其中為證券i的收益獨(dú)立于所有指數(shù)(風(fēng)險(xiǎn)因素)的部分,即無風(fēng)險(xiǎn)收益率, 為影響證券i收益的第j個(gè)指數(shù),為證券i的收益對(duì)于第j個(gè)指數(shù)的敏感系數(shù), 為隨機(jī)殘差。</p><p>  以上公式的形式與多指數(shù)模型是相

74、同的。APT理論的貢獻(xiàn)主要在于其對(duì)均衡狀態(tài)的描述,但由于APT理論只是闡明了資產(chǎn)定價(jià)的結(jié)構(gòu),而沒有說明是哪些具體的經(jīng)濟(jì)的或其它的因素影響預(yù)期收益,所以這一理論的檢驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用都受到了一定的限制。目前,不少學(xué)者都在試圖對(duì)這一理論加以完善。</p><p><b>  2.4期權(quán)定價(jià)模型</b></p><p>  2.4.1Black—Scholes模型</p&g

75、t;<p>  在金融市場(chǎng)上,期權(quán)可以分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán),看漲期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時(shí)間以某一確定價(jià)格購買標(biāo)的資產(chǎn);看跌期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時(shí)間以某一確定價(jià)格出售標(biāo)的資產(chǎn)。期權(quán)也可以分為美式期權(quán)和歐式期權(quán)。美式期權(quán)可在期權(quán)有效期內(nèi)任何時(shí)候執(zhí)行,而歐式期權(quán)只能在到期日?qǐng)?zhí)行。</p><p>  Black和Scholes假設(shè)股票的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,通過運(yùn)用ITO定理,推導(dǎo)出了基于股票

76、不付紅利歐式期權(quán)的定價(jià)公式。</p><p>  設(shè)S為標(biāo)的股票的價(jià)格,f為期權(quán)的價(jià)值,r為無風(fēng)險(xiǎn)利率, 為股票價(jià)格的波動(dòng)率, 則可得如下形式的Black—Scholes 偏微分方程:</p><p>  對(duì)應(yīng)于所有的可用標(biāo)的變量s定義的不同衍生證券,此方程有許多解。解方程時(shí)得到的特定的衍生證券取決于使用的邊界條件。Black和Scholes成功地求解了這一微分方程,得到了歐式看漲期權(quán)和看

77、跌期權(quán)定價(jià)的精確公式。</p><p>  (1)看漲期權(quán)價(jià)值模型</p><p>  其中,C為期權(quán)的現(xiàn)在價(jià)值;S為期權(quán)商品的現(xiàn)在價(jià)格;x為執(zhí)行價(jià)格;e為自然對(duì)數(shù)底(e=2.7182);r為無風(fēng)險(xiǎn)利率(連續(xù)復(fù)利計(jì)息,年利率);t為距期權(quán)到期日的時(shí)間,以一年的一定比例表示;,是 ,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的值;表示期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)性,即標(biāo)準(zhǔn)差。</p><p>  Black

78、—Scholes模型表明:期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)商品市場(chǎng)價(jià)格、商品市場(chǎng)價(jià)格的變動(dòng)、期權(quán)執(zhí)行價(jià)格、距到期日時(shí)間的長(zhǎng)短以及安全利息率的函數(shù)。</p><p>  上述模型需要5個(gè)參數(shù),其中4個(gè)容易取得,S,x,t為相關(guān)商品與期權(quán)的參數(shù),有金融媒介公布發(fā)表,利率r可以采用與期權(quán)到期時(shí)的政府債券的利率,只有一個(gè)參數(shù)需要估計(jì),可以采用歷史股價(jià)數(shù)據(jù)計(jì)算歷史方差。</p><p> ?。?)看跌期權(quán)價(jià)值模型&

79、lt;/p><p>  上述Black—Scholes模型只適用于看漲期權(quán),而不適用于看跌期權(quán)。但是,通過看跌期權(quán)與看漲期權(quán)的平價(jià)關(guān)系,我們可用看漲期權(quán)的價(jià)格,推導(dǎo)出相同標(biāo)的物,相同剩余時(shí)間和相同執(zhí)行價(jià)格的看跌期權(quán)的價(jià)格。</p><p>  所謂“看跌期權(quán)與看漲期權(quán)的平價(jià)關(guān)系”,是指看跌期權(quán)的價(jià)格與看漲期權(quán)的價(jià)格,必須維持在無套利機(jī)會(huì)的均衡水平的價(jià)格關(guān)系。如果這一價(jià)格關(guān)系被打破,則在這兩種價(jià)

80、格之間,就存在著無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì),于是,套利者必將通過套利行為而把那種不正常的價(jià)格關(guān)系拉回到正常水平。</p><p>  設(shè)看漲期權(quán)的價(jià)格為C,看跌期權(quán)的價(jià)格為P,期權(quán)商品的執(zhí)行價(jià)格為,標(biāo)的物資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格為S,則看跌期權(quán)與看漲期權(quán)的平價(jià)關(guān)系為:</p><p><b>  或</b></p><p>  考慮貨幣的時(shí)間價(jià)值,上式應(yīng)變?yōu)椋?l

81、t;/p><p>  將看漲期權(quán)的價(jià)格模型代入上式,得:</p><p>  既是看跌期權(quán)的Black—Scholes價(jià)值模型。</p><p>  基于無紅利支付股票的歐式期權(quán)定價(jià)的Black- Scholes公式可以推廣到基于支付連續(xù)已知紅利收益率的歐式期權(quán)定價(jià)。若已知的連續(xù)紅利收益率為q,則:</p><p><b>  其中。&

82、lt;/b></p><p>  實(shí)際上股票并不支付連續(xù)紅利。然而,一些其它的期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)可以認(rèn)為與支付連續(xù)紅利收益率的股票類似,特別是:</p><p> ?。?)指數(shù)與支付連續(xù)紅利的股票類似,其紅利收益率是所有組成指數(shù)的股票的紅利收益率的平均值;</p><p> ?。?)外匯與支付連續(xù)紅利的股票相似,其紅利收益率等于外國(guó)無風(fēng)險(xiǎn)利率;</p>

83、<p>  (3)期貨與支付連續(xù)紅利的股票類似,其紅利收益率等于國(guó)內(nèi)無風(fēng)險(xiǎn)利率;</p><p>  因此,Black和Scholes定價(jià)模型擴(kuò)展后可以用來為指數(shù)期權(quán)、貨幣期權(quán)和期貨期權(quán)定價(jià)。由于美式期權(quán)可以提前執(zhí)行,所以很難用精確的解析公式描述美式期權(quán)。美式期權(quán)的定價(jià)可以應(yīng)用下面介紹的數(shù)值算法和解析近似解。</p><p>  從Black—Scholes期權(quán)定價(jià)模型可以知道

84、,在用該模型對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)時(shí),所需的5個(gè)參數(shù)——標(biāo)的股票的市場(chǎng)價(jià)格S、期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格K、行權(quán)限制期T、無風(fēng)險(xiǎn)利率r和標(biāo)的股票價(jià)格波動(dòng)率,都可以通過客觀觀察或參數(shù)估計(jì)得到具體變量,這就大大提高了該模型的適用程度。</p><p>  2.4.2期權(quán)價(jià)值的二叉樹模型</p><p>  1979年,羅斯(S Ross)、瑞德門恩(R Rendman)及巴特(B Bartter)等人發(fā)表《期權(quán)的

85、定價(jià):一種簡(jiǎn)化的方法》一文,他們用一種比較淺顯的方法導(dǎo)出了期權(quán)定價(jià)模型。該模型先假設(shè):期權(quán)合約距到期日只剩下一個(gè)周期;在期末只有兩種可能的情況;持有人員只能在期末行使選擇權(quán);在期權(quán)有效期內(nèi),沒有分紅派息的情況發(fā)生。即研究期末只有兩種結(jié)果的歐式期權(quán)的價(jià)值模型,以此為基礎(chǔ),可以進(jìn)一步擴(kuò)展到多期間的期權(quán)價(jià)值模型。這一模型稱為二叉樹模型,又稱“二項(xiàng)式模型”。</p><p> ?。?)看漲期權(quán)的二叉樹模型</p&g

86、t;<p>  假定標(biāo)的物現(xiàn)行價(jià)格為S,投資者購買一年期的歐式看漲期權(quán),到期日,標(biāo)的物的價(jià)格可能上漲到原來的u倍,也可能下跌到原來的d倍,標(biāo)的物的價(jià)格變化如圖4.1所示,是二叉樹模型。</p><p>  在此一期間模型中,如果目前的看漲期權(quán)價(jià)值為C,執(zhí)行價(jià)格為E,股價(jià)上漲后和下跌后看漲期權(quán)價(jià)值分別為和,則:</p><p>  看漲期權(quán)價(jià)值的變動(dòng)如圖4.2所示。目前的看漲期

87、權(quán)價(jià)值C尚是一個(gè)未知數(shù),二叉樹模型正是要確定C的表達(dá)式。</p><p>  圖4.1 標(biāo)的物價(jià)格變動(dòng) 圖4.2 看漲期權(quán)價(jià)值的變動(dòng)</p><p>  假定投資者再賣出一個(gè)看漲期權(quán)的同時(shí),買進(jìn)h單位標(biāo)的物組成投資組合。其中h為套期保值比率。</p><p>  標(biāo)的期貨的價(jià)格上漲時(shí)的投資組合的損益分兩部分:投資者所買進(jìn)標(biāo)的物

88、的損益為;賣出看漲期權(quán)收取期權(quán)費(fèi)并將它投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而獲得的收益為,總的損益值為。</p><p>  標(biāo)的期貨價(jià)格下跌時(shí)的投資組合的損益也分兩部分:標(biāo)的期貨價(jià)格變動(dòng)的損益為;期權(quán)價(jià)格變動(dòng)的損益為,總的損益值為。</p><p>  根據(jù)套期保值組合,無論股價(jià)上漲還是下跌,期損益均為保持相等,即:</p><p>  由上式可解出h,即:</p>&

89、lt;p>  要消除套利機(jī)會(huì),所以有</p><p><b>  即, </b></p><p>  把h代入上式整理得:</p><p><b>  令:,,則:</b></p><p>  該公式表明:目前的看漲期權(quán)價(jià)值,是期權(quán)到期日的看漲期權(quán)價(jià)值的加權(quán)平均數(shù)的現(xiàn)值。其中,權(quán)數(shù)為預(yù)期標(biāo)的期

90、貨價(jià)格漲跌的概率,貼現(xiàn)率是此期間的無風(fēng)險(xiǎn)利率r。</p><p>  一期間模型雖然簡(jiǎn)單,樸素,但它已包含著二叉樹定價(jià)模型的基本原理和基本方法。因此,為使二叉樹模型所得結(jié)果盡可能符合或接近實(shí)際,把一期間模型推廣到“二期間模型”或“多期間模型”。</p><p>  假定在目前,期權(quán)的標(biāo)的物價(jià)格為已知,每一期間均可能上漲到原來的u倍,或下跌到原來的d倍,其上漲和下跌的概率也分別為p和1-p。

91、這樣,在整個(gè)有效期間,標(biāo)的物價(jià)格的變動(dòng)情況如圖4.3,而與此相應(yīng)的看漲期權(quán)的價(jià)值及其變動(dòng)情況如圖4.4所示。</p><p>  由圖4.3和圖4.4可見,在期權(quán)到期日,標(biāo)的物價(jià)格將有三種可能,與這三種可能的價(jià)位相對(duì)應(yīng),看漲期權(quán)將有三種可能的價(jià)值。</p><p>  4.3 二期間的標(biāo)的期貨價(jià)格 4.4 二期間的期權(quán)價(jià)格變動(dòng)</p>&l

92、t;p>  根據(jù)一期間模型的分析,要求出C,首先要求出和,而要求出和,必須先算出、、。如將現(xiàn)在稱為“期間0”,將第一期間結(jié)束時(shí)稱為“期間1”,將第二期間結(jié)束時(shí)稱為“期間2”,則是和的加權(quán)平均數(shù)在期間1的現(xiàn)值;是和的加權(quán)平均數(shù)在期間2的現(xiàn)值。因此,我們可以得到如下二式:</p><p>  將上述兩式代入一期間二叉樹模型得:</p><p>  此公式的分子恰好是二項(xiàng)式的展開式。所以有

93、人稱為“二項(xiàng)式模型”。推而廣之,如果我們把期間數(shù)擴(kuò)大至n,并設(shè)k為標(biāo)的物價(jià)格上漲的次數(shù),而n-k是標(biāo)的物價(jià)格下跌的次數(shù),則:</p><p>  根據(jù)中心極限定理,當(dāng)n趨向于無窮大時(shí),二項(xiàng)式分布將逼近正態(tài)分布。于是,二叉樹模型的結(jié)果也將逼近Black—Scholes模型的結(jié)果。因此,只要u、d、P等參數(shù)選擇得當(dāng),則二叉樹模型可轉(zhuǎn)化為Black—Scholes模型。</p><p><

94、b>  2.5對(duì)沖</b></p><p>  每天銀行、跨國(guó)公司、投資機(jī)構(gòu)、基金以及投資者都會(huì)從事這大量金融交易。這些機(jī)構(gòu)或者個(gè)人都希望能夠防范風(fēng)險(xiǎn),或者使風(fēng)險(xiǎn)與不確定性降低到能夠承受的水平。</p><p>  對(duì)沖就是一種使風(fēng)險(xiǎn)降至最小的方法。對(duì)沖是保險(xiǎn)的一種形式,人們可以對(duì)股票、債券、利率、商品以及期貨實(shí)現(xiàn)對(duì)沖。本文主要探討在股票投資時(shí)如何利用期權(quán)進(jìn)行對(duì)沖。首先從

95、簡(jiǎn)單的德爾塔對(duì)沖技術(shù)開始。</p><p>  德爾塔對(duì)沖,假設(shè)你賣出了一個(gè)看漲期權(quán),并預(yù)測(cè)當(dāng)股價(jià)上漲1美元時(shí),期權(quán)的價(jià)格上漲0.5美元,換句話說,2:1的關(guān)系。那么你的投資組合賬戶的平衡方法應(yīng)該是賣出100份看漲期權(quán)與買進(jìn)50股股票,或者說賣出40份看漲期權(quán)與買進(jìn)20股股票。其中“2:1”可用數(shù)學(xué)術(shù)語表示為,期權(quán)價(jià)格變化與股票價(jià)格變化比率,即,。</p><p>  有看漲期權(quán)的定價(jià)公式

96、,這里和都是關(guān)于S的函數(shù),因此的偏導(dǎo)數(shù)是</p><p><b>  有導(dǎo)數(shù)的乘法法則:</b></p><p>  又合并一些項(xiàng)后得到:</p><p>  對(duì)公式最后兩項(xiàng)化簡(jiǎn)可以得到:</p><p><b>  但由的公式知:</b></p><p><b>

97、  代入得到:</b></p><p><b>  最終可以推出:</b></p><p>  所以對(duì)于看漲期權(quán)來說,運(yùn)用德爾塔法則計(jì)算比較簡(jiǎn)便,只需用Black—Scholes公式算出,然后求出即可。</p><p>  3金融數(shù)學(xué)研究的最新進(jìn)展</p><p>  20世紀(jì)80年代末,隨著金融市場(chǎng)的進(jìn)一步

98、完善和發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)前面研究的所有金融模型都假定投資者可得到市場(chǎng)的完全信息,而實(shí)際上投資者只可觀測(cè)到刻畫系統(tǒng)狀態(tài)的價(jià)格過程本身,而布朗運(yùn)動(dòng)及動(dòng)態(tài)資產(chǎn)的漂移系數(shù)是不可觀測(cè)到的,即投資者只可得到市場(chǎng)的部分信息。于是,許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法對(duì)基于不完全信息的投資消費(fèi)問題進(jìn)行了系統(tǒng)研究,并取得了一定的進(jìn)展。本文現(xiàn)將研究中所用到的主要數(shù)學(xué)工具列舉如下:</p><p>  3. 1隨機(jī)最優(yōu)控制理論</p>

99、<p>  由于金融學(xué)理論一個(gè)得重要的應(yīng)用領(lǐng)域是解決連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)性的問題,而解決這個(gè)問題的重要手段是隨機(jī)最優(yōu)控制理論。隨機(jī)最優(yōu)控制是20世紀(jì)60年代末和70年代初,數(shù)學(xué)家們應(yīng)用貝爾曼最優(yōu)化原理,并用測(cè)度理論和泛函分析方法發(fā)展起來的新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。1971年默頓(Merton)使用連續(xù)時(shí)間方法論述消費(fèi)和資產(chǎn)組合的問題,有布羅克( Brock)和米爾曼(Mirman)在不確定情況下使用離散時(shí)間方法解決經(jīng)濟(jì)最優(yōu)增長(zhǎng)問題。從此以后

100、,隨機(jī)最優(yōu)控制方法應(yīng)用到大多數(shù)的金融領(lǐng)域。在國(guó)內(nèi)以彭實(shí)戈為代表的中青年學(xué)者對(duì)此也做出了卓越貢獻(xiàn)。</p><p><b>  3. 2鞍理論</b></p><p>  鞍理論引入是現(xiàn)代金融理論最新的研究成果。1977年,哈里森(Harrison J. M )和柯瑞普斯( Kreps S.R)提出了期權(quán)定價(jià)理論的鞅方法,他們用鞅論中的鞅測(cè)度概念來刻畫無套利市場(chǎng)和不完全

101、市場(chǎng),并用等價(jià)鞅測(cè)度對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)和套期保值或?qū)_。由KaratzaS和Shreve等人倡導(dǎo)的鞍方法直接把鞍理論引入到現(xiàn)代金融理論中,利用等價(jià)鞍測(cè)度的概念研究衍生證券的定價(jià)問題,得到的結(jié)果不僅能深刻揭示金融市場(chǎng)的運(yùn)行規(guī)律,而且可以提供一套有效的算法,求解復(fù)雜的衍生金融產(chǎn)品的定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)管理問題。利用鞍理論研究金融理論的另一個(gè)作用是它能夠較好地解決金融市場(chǎng)不完備時(shí)的衍生證券定價(jià)問題,從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進(jìn)展。目前基于鞍方法的衍生

102、證券定價(jià)理論在現(xiàn)代金融理論中占主導(dǎo)地位,但在國(guó)內(nèi)還是一個(gè)空白。</p><p>  3. 3微分對(duì)策理論</p><p>  運(yùn)用微分對(duì)策方法研究期權(quán)定價(jià)問題和投資決策問題是現(xiàn)代金融理論發(fā)展的另一個(gè)重要方向,目前取得了一定的成果。當(dāng)金融市場(chǎng)不滿足穩(wěn)態(tài)假定或出現(xiàn)異常波動(dòng)時(shí),證券價(jià)格往往不服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),這時(shí)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型研究證券投資決策問題的方法無論從理論上,還是從實(shí)際上都存在著較大偏差。

103、用微分對(duì)策方法研究金融決策問題可以放松這一假設(shè),把不確定擾動(dòng)假想成敵對(duì)的一方, 針對(duì)最差情況加以優(yōu)化,可以得到“魯棒性”很強(qiáng)的投資策略。另外,求解微分對(duì)策的貝爾曼方程是一階偏微分方程,比求解隨機(jī)控制問題的二階偏微分方程要簡(jiǎn)單得多。因此,運(yùn)用微分對(duì)策方法研究金融問題具有廣闊的應(yīng)用前景。</p><p>  3. 4最優(yōu)停時(shí)理論</p><p>  最優(yōu)停時(shí)理論是概率論體系中一個(gè)具有很強(qiáng)的實(shí)用

104、性領(lǐng)域,近年來,不少金融學(xué)家和金融數(shù)學(xué)家將這一理論與現(xiàn)代的投資組合理論相結(jié)合,取得了不錯(cuò)的成績(jī)。但是這一領(lǐng)域的研究文獻(xiàn)仍然不多,該領(lǐng)域仍處于起步階段。Moton A 和Pliska S.R運(yùn)用最優(yōu)停時(shí)理論研究了具有固定交易費(fèi)用的證券投資決策問題,給出了具有二個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的投資決策問題一種簡(jiǎn)化算法。在國(guó)內(nèi)有關(guān)這方面的研究尚不多見。相信運(yùn)用最優(yōu)停時(shí)理論來研究投資決策問題和風(fēng)險(xiǎn)最小化問題會(huì)有更大的進(jìn)展。</p><p>

105、<b>  3. 5智能優(yōu)化</b></p><p>  把智能優(yōu)化方法(遺傳算法、模擬退火算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等)和傳統(tǒng)方法結(jié)合起來,應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)控制和投資決策問題中是另一個(gè)具有更為廣闊的研究領(lǐng)域,給我們提供了廣泛的研究課題。國(guó)際上有關(guān)這方面的研究已經(jīng)有了初步的成果,在國(guó)內(nèi)也有一大批學(xué)者致力于這方面的研究。由于這一領(lǐng)域的發(fā)展比較晚,還有很多的難題尚未解決,但是我們?nèi)韵嘈沤鹑趯W(xué)家、數(shù)學(xué)

106、家以及人工智能專家們的通力合作,在這一新興的研究領(lǐng)域一定能夠取得突破性的進(jìn)展。</p><p>  4金融數(shù)學(xué)研究面臨的問題與前景</p><p>  金融數(shù)學(xué)除了上述幾個(gè)基本理論的繼續(xù)發(fā)展和完善外,還有很多工作可以做。如美式期權(quán)問題、亞洲期權(quán)問題、利率的期限結(jié)構(gòu)問題、市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)與突發(fā)事件問題等。</p><p>  4. 1美式期權(quán)問題</p>

107、<p>  在市場(chǎng)上交易的期權(quán)大部分是美式期權(quán)。對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià),問題要比歐式期權(quán)定價(jià)困難得多。因?yàn)槊朗狡跈?quán)可以在到期前的任何時(shí)刻執(zhí)行,這就涉及到期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)間問題。一般情況下期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)間是一個(gè)十分復(fù)雜的問題,至今還沒有得到很好的解決。如果應(yīng)用偏微分方程的方法來討論美式期權(quán)的定價(jià),對(duì)應(yīng)的偏微分方程的問題將變成為“自由邊界”問題,在數(shù)學(xué)上較難處理。一般情況下,美式期權(quán)沒有精確的解析定價(jià)公式,而只能用數(shù)值解法或解析近似

108、解法,因此,發(fā)展各種計(jì)算美式期權(quán)價(jià)格的數(shù)值方法具有重要的實(shí)際意義。</p><p>  4. 2利率的期限結(jié)構(gòu)問題</p><p>  在B- S模型中,利率是給定的常數(shù)。實(shí)際上,利率的變化是相當(dāng)復(fù)雜的,不同性質(zhì)、不同到期日的證券,利率的變化規(guī)律互不相同,這也就是利率的期限結(jié)構(gòu)。它通??梢杂檬找媛是€的形式來表示。利率的期限結(jié)構(gòu)包括三種理論:市場(chǎng)預(yù)期理論、市場(chǎng)分割和投資偏好理論、流動(dòng)性偏好

109、理論。這些理論分別從不同的角度對(duì)利率的不規(guī)則變化作出了解釋。近年來由于利率風(fēng)險(xiǎn)的日益突出,利率期權(quán)等利率衍生證券得到了迅速發(fā)展,利率的期限結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型不斷提出。</p><p>  4. 3市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)問題</p><p>  所謂價(jià)格的波動(dòng)性,通常是指未來價(jià)格偏離其期望值的可能性。在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中,波動(dòng)性用回報(bào)的標(biāo)準(zhǔn)差來度量,而不用價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差度量。例如,在B - S模型及其大部分推廣中

110、,假設(shè)股票價(jià)格的波動(dòng)率為常數(shù),這在實(shí)際中是不合理的。為了更準(zhǔn)確地描述股票價(jià)格變化的規(guī)律,必須考慮以下因素:股票價(jià)格波動(dòng)率對(duì)股票價(jià)格的依賴性;波動(dòng)率與其它隨機(jī)變量的依賴性;股票價(jià)格可能的突然跳動(dòng)。隨機(jī)波動(dòng)率模型能夠體現(xiàn)上述某些因素,目前受到高度重視。這類模型假設(shè)波動(dòng)率服從某一隨機(jī)過程,比如幾何布朗運(yùn)動(dòng)等。</p><p>  4. 4突發(fā)事件問題</p><p>  突發(fā)事件在金融領(lǐng)域中具有

111、不容忽視的影響,如1997年的東南亞金融危機(jī), 給一些國(guó)家造成巨大損失?;趥鹘y(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程的預(yù)測(cè)理論完全不適用。傳統(tǒng)理論或許能解釋市場(chǎng)在95% 的時(shí)間里發(fā)生的情況。然而,如果人們承認(rèn)突發(fā)事件就發(fā)生在剩下5%的時(shí)間里,那么傳統(tǒng)理論所描述的圖景就沒有反映實(shí)際情況。現(xiàn)在研究應(yīng)用混沌學(xué)與分形理論來解釋股票價(jià)格如何暴漲暴跌。金融突發(fā)事件的預(yù)警由于涉及多因素、定量化與報(bào)警靈敏度等,往往比較困難,這也是金融數(shù)學(xué)研究的重要領(lǐng)域。</p>

112、<p><b>  5結(jié)束語</b></p><p>  金融理論的中心問題是研究在不確定的環(huán)境下對(duì)資源進(jìn)行分配和利用,時(shí)間和不確定性是影響金融行為的主要因素。它們相互作用與影響,其復(fù)雜性需要一定的數(shù)學(xué)分析工具來研究。在西方,盡管金融數(shù)學(xué)模型出現(xiàn)得比較早,但很長(zhǎng)時(shí)間卻沒有得到有效的應(yīng)用。直到Markowitz證券組合模型和Black—Scholes期權(quán)定價(jià)模型的突破,才使得數(shù)學(xué)

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