畢業(yè)論文----常微分方程積分因子法的求解

1、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。</p><p>　　人們?cè)谔角笪镔|(zhì)世界某些規(guī)律的過(guò)程中，一般很難完全依靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)到該規(guī)律，反而是依照某種規(guī)律存在的聯(lián)系常常容易被我們捕捉到，而這種規(guī)律用數(shù)學(xué)語(yǔ)

2、言表達(dá)出來(lái)，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程，而一旦求出方程的解，其規(guī)律則一目了然。</p><p>　　所以我們必須能夠求出它的解。</p><p>　　同時(shí)，對(duì)于恰當(dāng)微分方程我們有一個(gè)通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那樣，并不是所有的微分形式的一階方程都是恰當(dāng)微分方程。</p><p>　　對(duì)于這類(lèi)不是恰當(dāng)微分方程的一階常微分方程該如何求出它的解呢，這就需要用到

3、這里我們討論的積分因子了。</p><p>　　關(guān)鍵詞：微分方程；積分因子；恰當(dāng)微分方程；一階微分； </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Differential expression of natural law is a natural mathematical language. It from t

4、he production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool..</p><p>　　Some people in the law to explore the process o

5、f the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expres

6、sed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clear</p><p>　　So we must be able to find its solution.</p><p&

7、gt;　　Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation.</p>

8、<p>　　For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factor</p><p><b>　　Keywords

9、:</b></p><p>　　Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第1章 緒論………………………

10、………………………………………1</p><p>　　1.1 常微分方程………………………………………………………………………1</p><p>　　1.2 恰當(dāng)微分方程……………………………………………………………………1</p><p>　　第2章 積分因子的存在性………………………………………………2</p><p>　　2.1

11、 各種形式積分因子存在的充要條件……………………………………………2</p><p>　　2.2 幾種常見(jiàn)類(lèi)型的微分方程的積分因子…………………………………………5</p><p>　　第3章 積分因子求法的推廣……………………………………………7</p><p>　　3.1 滿(mǎn)足條件的積分因子求法………………………………7</p><p&

12、gt;　　3.2 方程積分因子…………………………………………………………………………………………9</p><p>　　3.3 方程積分因子……………………………11</p><p>　　3.4 方程積分因子…………12</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………15</p><p>　　致謝……

13、……………………………………………………………………16</p><p><b>　　第1章? 緒論</b></p><p>　　1.1 常微分方程</p><p>　　數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們,300年來(lái)數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)的首要分支，而微分方程又是數(shù)學(xué)分析的心臟，它還是高等分析里大部分思想和理論的根源。人所共知，常微分方程從它產(chǎn)生的那天起, 就

14、是研究自然界變化規(guī)律、研究人類(lèi)社會(huì)結(jié)構(gòu)、生態(tài)結(jié)構(gòu)和工程技術(shù)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。它的發(fā)展歷史也是跟整個(gè)科學(xué)發(fā)展史大致同步的。 </p><p>　　常微分方程的發(fā)展史大致可分為五個(gè)階段：第一階段是十七世紀(jì)前半期, 即它的萌芽階段。第二階段是十七世紀(jì)后半期到十八世紀(jì)末, 即常微分方程發(fā)展成為一個(gè)數(shù)學(xué)分支的階段。這個(gè)階段主要是討論各種具體類(lèi)型方程的積分法, 把解表示為初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式。這個(gè)階段可化為積分的方程

15、的基本類(lèi)型巳被研究明白, 如果精確解找不到就求近似解。第三階段是十九世紀(jì)上半期。</p><p>　　這個(gè)階段數(shù)學(xué)分析的新概念（如極限、無(wú)窮小、連續(xù)函數(shù)、微分、積分等）和新方法，大大影響了微分方程理論的發(fā)展。這是建立常徽分方程基礎(chǔ)的階段。第四階段是19世紀(jì)80年代至20世紀(jì)20年代，是常微分方程定性理論蓬勃發(fā)展的階段。第五階段是20世紀(jì)30年代直至現(xiàn)在, 是常微分方程全面發(fā)展的階段。</p><

16、;p>　　1.2 恰當(dāng)微分方程</p><p>　　恰當(dāng)微分方程可通過(guò)積分求出它的通解,但并非所有的微分方程均為恰當(dāng)微分方程。如果能將一個(gè)非恰當(dāng)微分方程化為恰當(dāng)微分方程，則求其通解將變得簡(jiǎn)單。為此本文尋求微分方程各類(lèi)積分因子,化微分方程為恰當(dāng)方程求解，這樣給解題帶來(lái)很大的方便。</p><p>　　第2章? 積分因子的存在性</p><p>　　2.1

17、各種形式積分因子存在的充要條件</p><p>　　定義 對(duì)于一階微分方程 如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)U，使得，則稱(chēng)為方程的積分因子。</p><p>　　引理 函數(shù)為方程的積分因子的充要條件是。</p><p>　　積分因子的形式各異，以致積分因子存在的充要條件將形式各異。下面給出不同形式的積分因子存在的充要條件。</p>

18、<p>　　結(jié)論1 方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為。</p><p>　　結(jié)論2 方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為。</p><p>　　結(jié)論3 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子為。</p><p>　　證明 令，則，假設(shè)為方程的積分因子，則由引理有充要條件，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)可以解出，故方程有

19、形如的積分因子的充要條件是。</p><p>　　結(jié)論4 　方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。證明類(lèi)似結(jié)論3的證明。</p><p>　　結(jié)論5 　方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。</p><p>　　證明　，則，假設(shè)為方程的積分因子，則有充要條件，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),可以解出,故方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。<

20、/p><p>　　結(jié)論6 　方程有形如的積分因子的充要條件是，且有積分因子。</p><p>　　證明　令，則，假設(shè)是方程的積分因子，則由引理有充要條件：，所以，，從而，時(shí)，可以解出，得方程 有形如的積分因子的充要條件是，即可得積分因子。</p><p>　　結(jié)論7 　方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。證明類(lèi)似結(jié)論3 的證明。</p><

21、p>　　結(jié)論8 　方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。</p><p>　　證明　令，則有，假設(shè)是方程的積分因子，則由引理有充要條件：，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以解出。故方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。</p><p>　　結(jié)論9 　方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。</p><p>　　證明　令 ，則，假設(shè)是方程的積分

22、因子，則由引理有充要條件，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以解出,故方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。</p><p>　　2.2 幾種常見(jiàn)類(lèi)型的微分方程的積分因子</p><p>　　根據(jù)以上結(jié)論易得出下列常見(jiàn)的微分方程積分因子結(jié)果。</p><p>　　命題1 可分離變量方程，有積分因子。</p><p>　　命題2 齊次方程有積

23、分因子。</p><p>　　命題3 齊次方程，當(dāng)時(shí)有積分因子。</p><p>　　命題4 Bernoulli方程，有積分因子。</p><p>　　第3章? 積分因子求法的推廣</p><p>　　微分方程積分因子求法的推廣主要寫(xiě)了幾類(lèi)特定微分方程的積分因子的求法，極大的提高了我們計(jì)算積分因子的速度，對(duì)我們的學(xué)習(xí)有很大幫助。</

24、p><p>　　3.1 滿(mǎn)足條件的積分因子求法</p><p>　　定理1 假設(shè)中，存在以下關(guān)系：</p><p>　　其中是的連續(xù)函數(shù)，則該方程的積分因子是：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　證明 ：</b></p><

25、;p><b>　　即： </b></p><p>　　若要使得是積分因子，必須滿(mǎn)足：</p><p>　　則 </p><p>　　即 </p><p>　　即要滿(mǎn)足： ．

26、 </p><p>　　若滿(mǎn)足以上定理可得到如下定理：</p><p>　　定理2 如果是方程的積分因子，則也是該方程的積分因子</p><p><b>　　證明 ：∵ </b></p><p><b>　　∴ </b></p><p

27、>　　因?yàn)?，分別是，的連續(xù)函數(shù)，則由連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)知，也分別是，的連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　又因?yàn)?</p><p><b>　　=0</b></p><p>　　所以 是全微分方程．</p><p>　　所以 也是該方程的積分因子．</p><p>　　例3

28、 求的積分因子．</p><p><b>　　解 ： </b></p><p>　　可以由上面的定理得到方程的積分因子：</p><p><b>　　．</b></p><p>　　例 4 求的積分因子．</p><p><b>　　解 ： <

29、;/b></p><p>　　可以取 從而使該方程能夠滿(mǎn)足定理1所需條件</p><p><b>　　則有：</b></p><p>　　所以方程的積分因子是：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　同理，由定理2知： 也是該方程的積分因子．&l

30、t;/p><p>　　3.2 方程積分因子</p><p>　　定理3 齊次方程為：</p><p>　　則該方程有積分因子：．</p><p><b>　　證明： 令 </b></p><p><b>　　則知 </b></p><p>

31、;<b>　　∵ </b></p><p>　　∴ </p><p><b>　　若有： </b></p><p><b>　　也即是有：</b></p><p><b>　　∴ </b></p>

32、<p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例 5 求解齊次方程</p><p><b>　　的積分因子．</b></p><p>　　解：由定理3得方程的積分因子是：</p><p>　　3.3 方程積分因子</p><p>　　定理4 齊次方程：&

33、lt;/p><p>　　則該方程有積分因子：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　證明： 令 </b></p><p>　　則知 </p><p>　　因?yàn)?</p><p>　　

34、所以有 </p><p><b>　　若有 </b></p><p><b>　　則有：</b></p><p><b>　　所以 ．</b></p><p>　　例 6 求解齊次方程</p><p><b>　　的積分

35、因子．</b></p><p>　　解： 方程滿(mǎn)足定理3方程的形式，因此，方程的積分因子為：</p><p><b>　　．</b></p><p>　　3.4 方程積分因子</p><p>　　定理5 若齊次方程的形式為：</p><p>　　則方程的積分因子是：</p&

36、gt;<p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　證明： 令 </b></p><p>　　則知 </p><p>　　因?yàn)?</p><p><b>　　所以有 </b></p><

37、;p>　　若有 </p><p><b>　　即有：</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　所以 方程的積分因子是：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例7

38、求齊次方程的積分因子．</p><p>　　解：方程滿(mǎn)足定理5條件，則知方程的積分因子是：</p><p><b>　　．</b></p><p>　　本章對(duì)積分因子的求解方法進(jìn)行了推廣，總結(jié)出幾類(lèi)特定方程積分因子的固定求法，以便加深對(duì)微分方程積分因子的認(rèn)識(shí)和了解，熟悉一階微分方程求解方法。</p><p><b&

39、gt;　　參考文獻(xiàn):</b></p><p>　　[1] 滕文凱. 積分因子的分組求法[J]. 承德民族師專(zhuān)學(xué)報(bào), 2004, (02) . </p><p>　　[2] 李振東,張永珍. 求積分因子的新方法[J]. 唐山學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, (02) . </p><p>　　[3] 王金誠(chéng). 淺析積分因子的求法[J]. 中國(guó)科技信息, 2007,

40、(20) . </p><p>　　[4] 龔雅玲. 求解微分方程的積分因子法[J]. 南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2007, (01) . </p><p>　　[5] 溫啟軍,張麗靜. 關(guān)于積分因子的討論[J]. 長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, (10) . </p><p>　　[6] 楊淑娥. 一階微分方程的積分因子解法[J]. 彭城職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2000, (01)

41、 </p><p>　　[7] 閻淑芳. 積分因子的存在條件及求法[J]. 邯鄲師專(zhuān)學(xué)報(bào), 2004, (03) </p><p>　　[8] 劉文武. 兩類(lèi)微分方程的積分因子[J]. 黔南民族師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, (06) </p><p>　　[9] 劉絳玉. 關(guān)于一階方程的積分因子法[J]. 茂名學(xué)院學(xué)報(bào), 2000, (01) </p>

42、<p>　　[10] Coddington, E. A. An Introduction to Ordinary Differential Equations [M].</p><p>　　New York: Dover, 1989</p><p>　　[11] Morris Tenebaum， Harry Pollard. Ordinary differential equat

43、ions [M]. Dover Publications, 1963, (01)</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本課題在選題及研究過(guò)程中得到數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院XX老師的悉心指導(dǎo)，使我得以最終完成畢業(yè)論文設(shè)計(jì)，在此先向尊敬的老師表示衷心的感謝。謝謝老師對(duì)畢業(yè)設(shè)計(jì)的完成與說(shuō)明書(shū)的撰寫(xiě)工作給予的關(guān)懷和指導(dǎo)。</p><p&

44、gt;　　感謝數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院各位老師在大學(xué)四年里對(duì)本人的栽培，感謝在大學(xué)四年里幫助過(guò)本人的各位老師，感謝他們一直來(lái)對(duì)本人的支持與鼓勵(lì)。</p><p>　　特別謝謝我的一群同學(xué)和朋友們，一起生活和工作學(xué)習(xí)的美好時(shí)間里，你們給予我的真摯的鼓勵(lì)和無(wú)私的幫助是畢生難忘的。</p><p>　　感謝父母和親人多年來(lái)在生活上無(wú)微不至的照顧和精力上的支撐，我能長(zhǎng)這么大，能夠有機(jī)會(huì)讀書(shū)，真的不知道對(duì)