《數字信號處理》課程設計--iir模擬低通濾波器

1、<p><b>　　1 引 言</b></p><p>　　IIR濾波器設計技術依靠現有的模擬濾波器得到數字濾波器，工程實際當中把這些模擬濾波器叫做濾波器原型。在工程實際中應用最廣泛的有兩種模擬濾波器，即巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器。本次課程設計就討論切比雪夫濾波器的特性以及用MATLAB實現的方法。</p><p><b>　　1.1課程設計

2、目的</b></p><p>　　本課程設計主要是使學生增進對MATLAB的認識，加深對數字信號處理理論方面的理解，使學生了解數字信號處理IIR濾波器的設計和掌握用MATLAB實現IIR濾波器的設計方法、過程，為以后的工程設計打下良好基礎。</p><p>　　1.2 課程設計要求</p><p>　　設計程序時，應以理論作為指導，構思設計方案；設計完成

3、后應進行調試，仿真和分析；處理結果和分析結論應該一致，而且應符合理論；獨立完成課程設計并按要求編寫課程設計報告書。</p><p>　　1.3 課程設計內容</p><p>　　進一步學習低通濾波器的原理，在通信系統(tǒng)仿真軟件MATLAB平臺上，設計出IIR模擬低通濾波器，對設計項目進行調試，對程序進行仿真，對結果結合理論進行分析。</p><p>　　2 模擬濾波器

4、的設計</p><p>　　2.1 常見的模擬濾波器</p><p>　　模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它們的理想幅度特性如圖2.1所示。</p><p>　　圖2.1 理想模擬低通濾波器幅度特性</p><p>　　設計濾波器時，總是先設計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉換成希望類型的濾波器。</p&

5、gt;<p>　　2.2 模擬低通濾波器的設計指標</p><p>　　模擬低通濾波器的設計指標有αp, Ωp,αs和Ωs。</p><p><b>　　Ωp；通帶截止頻率</b></p><p><b>　　Ωs：阻帶截止頻率</b></p><p>　　αp：通帶中最大衰減系數&l

6、t;/p><p>　　αs；阻帶最小衰減系數</p><p>　　αp和αs一般用dB數表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：</p><p>　　如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為</p><p>　　以上技術指標用圖2.2所示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因 </p><p>　　

7、圖 2.2 低通濾波器的幅度特性</p><p>　　2.3 用頻率響應的幅度平方函數逼近</p><p>　　模擬濾波器幅度響應常采用“幅度平方函數”表示。</p><p><b>　　(2-1)</b></p><p>　　式中是模擬濾波器的系統(tǒng)函數，它是s的有理函數。是其穩(wěn)態(tài)響應，又稱為濾波器的頻率響應。是濾波器的

8、穩(wěn)態(tài)振幅特性。</p><p>　　從模擬濾波器變換為數字濾波器是從開始的，為此必須由已知的求得。這就要將（2-1）式與s平面的解釋聯系起來。設有一臨界頻率（極點或零點）位于，則必有一相應的臨界頻率落在的位置，即當的臨界頻率是落在位置時，則相應的臨界頻率必落在的位置。應該指出，純虛數的臨界頻率必然是二階的。在s平面上，上述臨界頻率的特性如圖2.3所示。所得到的對稱形式稱為象限對稱。圖中在軸上零點處所表示的數代表零

9、點的階次是二階的。</p><p>　　任何實際的濾波器都是穩(wěn)定的，因此極點必落在s平面的左半平面。所以落于s左半平面的極點都屬于，落于s右半平面的極點都屬于。</p><p>　　零點的分布與濾波器的相位特性有關。如要求最小相位特性，則應選s平面左半平面的零點為的零點；若對相位有特殊要求，則可以以各種不同的組合來分配左半平面和右半平面的零點。</p><p>　　

10、綜上所述，可歸納出由確定的方法是：</p><p>　?。?）根據（2-1）式，代入或到，得到一個s平面的函數；</p><p>　?。?）求出第一步中所得s函數的所有零極點，將左半平面的極點分配給，右半平面的極點分配給，如要求最小相位特性，則應選s平面左半平面的零點為的零點；若對相位沒有特殊要求，則可以各種不同的組合來分配左半平面和右半平面的零點。</p><p>

11、;　?。?）根據具體情況，對比與的低頻或高頻特性就可以確定出增益常數k。</p><p>　　3 切比雪夫型濾波器設計</p><p>　　巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶內還是阻帶內都是頻率的單調函數。因此，當通帶的邊界處滿足指標要求時，通帶內肯定會有裕量。所以，更有效的設計方法應該是將精確度均勻的分布在整個通帶或阻帶內，或者同時分布在兩者之內。這樣就可用較低階數的系統(tǒng)滿足要求。

12、這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數來達到。</p><p>　　切比雪夫濾波器的振幅特性就具有這種等波紋特性。它有兩種類型：振幅特性在通帶內是等波紋的，在阻帶內是單調的稱為切比雪夫I型濾波器；振幅特性在通帶內是單調的，在阻帶內是等波紋的稱為切比雪夫II型濾波器。采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途。圖3.1和圖3.2分別畫出了N為奇數、偶數時的切比雪夫I、II型濾波器的頻率特性。</p>&

13、lt;p>　　3.1 切比雪夫I型濾波器的基本特點</p><p>　　現在介紹切比雪夫I型濾波器的設計，切比雪夫歸一化濾波器的幅度平方函數為 </p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　為小于1的正數，表示通帶

14、內振幅波動的程度。越大，波動也越大。為對截止頻率的歸一化頻率，為截止頻率，也是濾波器的通帶帶寬（注：切比雪夫濾波器的通帶帶寬并不一定是3dB帶寬）。是N階切比雪夫多項式，定義為</p><p><b>　　（3-2）</b></p><p>　　其中為反余弦函數；為雙曲余弦函數；為反雙曲余弦函數；它們的定義如（3-3）式和（3-4）式所示</p><

15、;p><b>　　（3-3）</b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　?。?-2）式可展開為多項式的形式如表5-2所示： </p><p>　　由表3-1可歸納出各階切比雪夫多項式的遞推公式為</p><p><b>　?。?-5）</b

16、></p><p>　　圖3-3示出了N=0，4，5時切比雪夫多項式的特性。由圖3-3可見：</p><p>　　1. 切比雪夫多項式的零值在的間隔內。</p><p>　　2. 當x<1時，，且具有等波紋幅度特性。</p><p>　　3. 在的區(qū)間外，是雙曲余弦函數，隨著x而單調增加。</p><p>

17、　　再看函數，是小于1的實數，的值在之內，將在0至之間改變。而的函數值在之內，將在1至之間改變。然后將取倒數，即可得（3-1）式的切比雪夫I型濾波器幅度平方函數。</p><p>　　根據以上所述，在，在接近1處振蕩，其最大值為1，最小值為。在此范圍之外，隨著增大，，則很快接近于零。圖3-1畫出了切比雪夫I型濾波器振幅特性曲線，從中可以看出：振幅特性的起伏為1～，因，所以在時，，即切比雪夫I型濾波器的截止頻率并不

18、對應3dB的衰減。</p><p>　　3.2 切比雪夫I型濾波器設計方法</p><p>　　由（3-1）式可知，要確定切比雪夫濾波器的幅度平方函數，需要確定三個參數：及N。下面研究如何確定這三個參數，具體步驟如下：</p><p>　　（1）預先給定帶通截止頻率；</p><p><b>　　（2）確定。</b>&l

19、t;/p><p><b>　　通帶波紋表示成：</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　給定通帶波紋值分貝數后，可求得。</p><p>　?。?）由阻帶的邊界條件確定階數N.</p><p>　　設，為事先給定的邊界條件，即在阻帶中的頻率點處，要求

20、濾波器頻響衰減達到以上。</p><p><b>　　即 ，</b></p><p><b>　　由此得 </b></p><p><b>　　因此， </b></p><p><b>　　, =</b></p><p&g

21、t;　　因此，要求阻帶邊界頻率出衰減越大，也越大。參數，，給定后，查閱有關模擬濾波器手冊，就可以求得系統(tǒng)函數</p><p>　　4 模擬濾波器MATLAB實現</p><p>　　已知濾波器的技術要求，利用cheblord函數和cheby1函數可以設計一個切比雪夫1型低通濾波器。</p><p>　　MATLAB提供的cheblord函數格式[N，wc]=cheb

22、lord(wp,ws,Ap,As,`s`)</p><p>　　cheby1函數格式：[num,den]=cheby1(N,Ap,wc,`s`)</p><p>　　MATLAB函數cheblord返回參數N表示CB I型濾波器的階數，wc(rad/s)等于wp。參數N、wc的取值可使cheby1設計出的CB I型濾波器在通帶剛好滿足設計指標。</p><p>　　

23、cheby1函數利用參數N、wc和Ap確定CB I型濾波器系統(tǒng)函數的分子多項式（num）和分母多項式（den）。代入相關參數wp=200Hz,ws=300Hz,Rp=1,As=16。</p><p><b>　　源程序如下：</b></p><p>　　wp=200*2*pi;ws=300*2*pi;Rp=1,As=16;</p><p>　　

24、%濾波器設計參數，對于給定Hz應乘以2 </p><p>　　[N,Wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s');</p><p>　　%求得濾波器的最小階數和截止頻率</p><p>　　[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn,'s');%設計模擬ChebyshevI型濾波器</p><p>

25、　　w=linspace(1,500,200)*2*pi;%設置繪制頻率響應的頻率點</p><p>　　H=freqs(b,a,w);%計算給定頻率點的復數頻率響應</p><p>　　magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H));%計算幅頻響應和相頻響應</p><p>　　subplot(3,1,1);plot(w/(2*pi),magH

26、);</p><p>　　xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度');</p><p>　　title('切比雪夫1型低通濾波器');</p><p>　　subplot(3,1,2);plot(w/(2*pi),20*log10(magH));%以頻率為橫坐標繪制幅頻響應</p><

27、p>　　xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅 /dB');</p><p>　　subplot(3,1,3);plot(w/(2*pi),phaH);</p><p>　　xlabel('頻率/Hz');ylabel('相位');</p><p>　　關于這個濾波器的相關波形如下圖

28、：</p><p><b>　　圖4.1 幅度相應</b></p><p><b>　　圖4.2 幅度</b></p><p><b>　　圖4.3 相位相應</b></p><p>　　由以上圖形可知，所設計的切比雪夫I型低通濾波器基本能滿足課程設計的要求。</p>

29、;<p><b>　　5 心得體會</b></p><p>　　在這次課程設計中，通過查找相關書籍和相關資料，使得自己增長了不少相關知識。了解到了濾波器分為兩大類，確定信號濾波器和隨機信號濾波器。通常我們用濾波器是來降低噪聲，估計信號的，不過濾波器也可以用來處理一些其它的問題，如圖象壓縮等。濾波器本質上是一個輸入輸出系統(tǒng)，可以是線性的，也可以是非線性的。確定信號濾波器是指在濾波

30、器設計時沒有用到統(tǒng)計理論，不考慮信號與噪聲的統(tǒng)計特性。象常見的低通，高通，帶通濾波器等都屬于確定信號濾波器，它們針對確定的信號來進行處理。這三種頻域濾波器設計的原理是根據噪聲與有用信號的頻率分布是基本分開的，通過確定一個頻率開關值，將噪聲的頻率去掉，再進行傅立葉反變換就得到有用信號。上面所提到的低通，高通，帶通濾波器僅適用于有用信號與干擾信號在頻譜上具有分離特性的場合，實際中有另外一些情況，比如干擾是由于信號本身的回聲所引起的，這時回聲

31、干擾除了振幅和相位的差別外，基本上跟原信號是一樣的，因此頻率濾波器無法消除這種干擾。但是我們可以遵循廣泛適用的最小平方準則設計最小平方濾波器，來達到消除干擾的目的。</p><p>　　通過這次課程設計，加強了自己掌握和理解書本知識的能力，培養(yǎng)了自己的實際動手能力與綜合設計能力，并提高了自己的技術素質?；具_到了了解信號處理課程設計的任務，明確了濾波器設計的基本原則，掌握了濾波器設計的基本方法與任務。加深了自己對

32、數字信號處理這門課程的理解。同時也對MATLAB軟件有了更深的了解，熟悉了編程的相關函數。希望自己在以后的學習生活中不斷加強自我學習的能力，努力完善自己。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　1 程佩青.數字信號處理教程.北京：清華大學出版社.2007年2月</p><p>　　2 劉泉，闕大順.數字信號處理原理與

33、實現.北京：電子工業(yè)出版社.2005年8月</p><p>　　3 羅軍輝.MATLAB7.0在數字信號處理中的應用.北京：機械工業(yè)出版社.2005年7月</p><p>　　4 孫祥，徐流美.MTLAB7.0基礎教程.北京：清華大學出版社.2006年2月 </p><p>　　5 聶祥飛，王寶海，譚澤富. MATLAB程序設計及其在信號處理中的應用.成都：西南交

34、通大學出版社，2005年7月</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　首先要感謝學校給我們提供這次課程設計的機會，讓我得到鍛煉的機會。尤其要感謝指導老師對我們的的指導，平時上課他認真敬業(yè)給我們傳授知識，不論是理論知識還是動手能力都給我們以很大的幫助，為今后的進一步學習打下了基礎。還要感謝指導老師在百忙中為我們課程設計答辯解疑，通過課設我們受益良多