碩士畢業(yè)論文范本

1、<p>　　分 類 號： N941.5 密 級： </p><p>　　學校代碼： 10638 學 號： 308070104013 </p><p>　　碩 士 學 位 論 文</p><p>　　GM(1,1)模型的優(yōu)化與一類強化緩

2、沖算子的構造</p><p>　　姓 名 ******* </p><p>　　指 導 教 師 ******* 教授 </p><p>　　培 養(yǎng) 單 位 數(shù)學與信息學院 &

3、lt;/p><p>　　學 科 專 業(yè) 應用數(shù)學 </p><p>　　研 究 方 向 不確定信息系統(tǒng)的預測與決策 </p><p>　　申請學位類別 理學碩士 </p><p>　　論文提交日期

4、 二○一一年四月 </p><p>　　論文答辯日期 二○一一年六月 </p><p>　　西華師范大學學位評定委員會</p><p><b>　　四川·南充</b></p><p><b>　　二○一一年

5、六月</b></p><p>　　Optimization of GM (1, 1) and a Kind of Practical Strengthening Buffer Operator</p><p>　　A Dissertation </p><p>　　Submitted to the Graduate Faculty </p>

6、<p>　　In Partial Fulfillment of the Requirement </p><p>　　For the Degree of Master of Natural Science</p><p><b>　　By</b></p><p>　　SUN Yan-na</p><p>　　

7、Supervised by</p><p>　　Professor WEI Yong</p><p><b>　　Major in </b></p><p>　　Applied Mathematics</p><p><b>　　In</b></p><p>　　Depart

8、ment of Mathematics and Information</p><p>　　China West Normal University</p><p>　　Nanchong, Sichuan Province, China</p><p><b>　　Jun, 2011</b></p><p><b&

9、gt;　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要II</b></p><p>　　AbstractIV</p><p><b>　　第1章 前言1</b></p><p>　　1.1 本課題的目的、意義1</p><p>　　1.2

10、論文的主要內容2</p><p>　　第2章 灰建模及緩沖算子的基礎理論3</p><p>　　2.1 灰建模的基本原理3</p><p>　　2.2 緩沖算子的基本理論4</p><p>　　第3章 灰色GM(1,1)模型及緩沖算子的研究6</p><p>　　3.1 GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀

11、6</p><p>　　3.2 緩沖算子的研究現(xiàn)狀8</p><p>　　第4章 GM（1，1）模型建模方法的改進9</p><p>　　4.1 優(yōu)化灰導數(shù)的等間距GM(1,1)9</p><p>　　4.2 優(yōu)化灰導數(shù)的非等間距GM(1,1)13</p><p>　　第5章 一類新的緩沖算子的構造

12、及緩沖算子新定理19</p><p>　　5.1 一類新的實用強化緩沖算子的構造19</p><p>　　5.2 緩沖算子新定理22</p><p>　　第6章 結論與展望25</p><p>　　6.1 全文總結25</p><p>　　6.2 研究展望26</p><p&g

13、t;<b>　　參考文獻27</b></p><p><b>　　致 謝ⅰ</b></p><p>　　關于學位論文使用授權的聲明ⅱ</p><p>　　關于學位論文原創(chuàng)性的聲明ⅲ</p><p>　　在學期間的科研情況ⅳ</p><p><b>　　摘

14、 要</b></p><p>　　GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)預測理論的基礎與核心[1]，它已被廣泛應用于農業(yè)、工業(yè)、氣象、電力、經濟、社會等領域。它將系統(tǒng)看成一個隨時間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，不需要大量的時間序列數(shù)據(jù)就能夠建立預測模型，其計算簡單已被普遍認同。但是一方面灰色系統(tǒng)理論還存在一些缺陷，其模型精度有待進一步提高，很多學者已在提高精度方面做了很多研究[3-7]。另一方面，由于現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)

15、往往因受到外界很多沖擊因素的干擾而失真，為了排除擾動因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對波動數(shù)據(jù)預測的新領域，他針對級比漸趨穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列，提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進行建模預測的新思路，眾多學者從不同的背景出發(fā)，提出了各種緩沖算子，大大提高了灰色預測建模精度，從而大大拓廣了灰色系統(tǒng)理論的應用范圍。文獻[41]將緩沖算子的構造與函數(shù)結合起來，為緩沖算子的構造開辟了新方向，文獻[49]對緩沖算子公理進行了補充，并構造了變權緩沖算子。

16、</p><p>　　本選題在他們的工作的基礎上，主要研究成果如下：</p><p>　?。?）通過對不用一次累加而直接建模的等間距GM(1,1)模型的灰色微分方程中的灰導數(shù)進行優(yōu)化，提出了用（其中），代替原始灰色微分方程中的灰導數(shù)，同時用代替原始灰色微分方程中的背景值，得到新的灰色微分方程，從而獲得新模型，經過嚴格理論驗證該模型具有指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)重合性。大量的數(shù)據(jù)模擬和模型比較結果

17、表明，優(yōu)化后的模型提高了背景值的準確性以及灰預測模型的擬合精度和預測精度，且該模型既適合于低增長指數(shù)序列建模，也適合于高增長指數(shù)序列建模，同時也適合于非齊指數(shù)序列建模，可見新的建模方法大大提高了模型的模擬精度與預測精度，同時擴大了模型的適用范圍。</p><p>　?。?）基于完全沿用等間距一次累加的原始非等間距模型精度不盡人意，但各種改進非等間距模型一次累加表達式復雜、計算繁瑣這一基本事實，依據(jù)各種非等間距預測

18、表達式都具有數(shù)據(jù)預測序列是時序指標的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達式，更無需其計算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時優(yōu)化其灰導數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預測精度較高的非等間距灰色預測模型。</p><p>　?。?）文獻[41]將緩沖算子的構造與函數(shù)結合起來，為緩沖算子的構造開辟了新方向，文獻[49]對緩沖算子公理進行了補充，并構造了變權緩沖算子。本選

19、題在他們的工作的基礎上，構造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。</p><p>　　（4）在現(xiàn)有灰色系統(tǒng)緩沖算子公理體系下，本文得到了以下結果：設為一強化（或弱化）緩沖算子，為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為，均為單調函數(shù)，并具有相同的單調性，且滿足，，，其中,則無論為單調增長序列，單調衰減序列還是振蕩序列， 均為強化（或弱化）緩沖算子。 </p>

20、<p>　　關鍵詞：灰色理論；GM（1，1）模型；模型的改進；緩沖算子</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　GM (1, 1) is the foundation and core of grey system prediction theory [1-2]. And it has widely applied in

21、numerous fields, such as agriculture, industry, meteorology, electric power, economy, society and so on. It regards a system as the exponential function which changes with the time variation, and does not need the massiv

22、e time series data to establish the forecast model. The calculating simpleness for GM (1, 1) has been accepted by people. However, on the one hand, there are still some defic</p><p>　　In this paper, on the b

23、asis of their work, the work in this dissertation mainly consists of following parts:</p><p>　　(1) This paper presents a new method to establish the direct model through optimizing the grey derivative, repla

24、cing the derivative by and the background value by, then we get. The new model has been proven strictly to have the property of exponent, coefficient and translation constants superposition. The results of data simulat

25、ion and model comparison show that the improved model in this paper raises the accuracy of background value, the fitting precision and forecasting precision. Moreover, </p><p>　　(2)Based on the truth that th

26、e accuracy of the original non-equidistance model ,which completely adherence to 1-Ago of equidistance sequence ,is not satisfactory, but the 1-Ago expressions in the ways to improve the non-equidistance model are very c

27、omplex and the calculation is very complicated, according to a variety of non-equidistance expressions have the common features that forecast sequence is the homogeneous exponential function about timing indicator, this

28、paper proposes a method to esta</p><p>　　(3) Literature [41] connected the structure of buffer operator with functions, and opened a new direction for the structure of buffer operator .Literature [49] was su

29、pplemented for the buffer operator axioms, and constructed a variable weight buffer operator. This paper, on the basis of their work, constructs a class of buffer operator to integrate these common buffer operators, and

30、make the buffer operator is more general and commonly used, and also more flexible.</p><p>　　(4)Based on the present theories of buffer operators in grey system, the following results are obtained in this pa

31、per: Assume that is a Strengthening (or weakening) Buffer Operator, is a sequence of raw data, is a buffer sequence, are all monotonously functions, and have the same monotonicity,satisfying ，，，, then whenever is a mon

32、otonously increasing sequence, a monotonously decreasing sequence, or a vibration sequence, is a strengthening(or weakening) operator. </p><p>　　Key words: grey system theory; GM (1, 1); improvement of mode

33、l; buffer operators</p><p><b>　　第1章 前言</b></p><p>　　1.1 本課題的目的、意義</p><p>　　由于元素信息不完全，結構信息不完全，邊界信息不完全，運行行為信息不完全等造成的信息部不完全構成了我們“灰”的基本含義。在人們的社會經濟活動、科研活動以及日常生活中經常會遇到信息不完全的情

34、況，隨著科學技術的高速發(fā)展，如何更有效地提高篩選和處理信息的能力，已引起人們的高度重視。在對系統(tǒng)行為的研究過程中，由于內在、外在因素的擾動的存在和人們認識事物水平的局限，使得人們所得到的信息以及對許多事物或系統(tǒng)的認識是不完全的，往往帶有某種不確定性。隨著現(xiàn)代科學技術的不斷發(fā)展和人類社會的進步，人們對不確定性系統(tǒng)的研究也日益深入，出現(xiàn)了一大批從不同角度、不同側面描述和處理各類不確定性信息的理論、方法和成果，如模糊數(shù)學、灰色系統(tǒng)理論、粗糙集

35、理論、未確知數(shù)學等。在自然界和社會科學領域，不確定性問題普遍存在。針對“隨機不確定”現(xiàn)象，及服從某種典型分布的對象，可以用概率統(tǒng)計去解決；而對于“認知不確定”問題，及內涵明確，外延不明確的對象，可以用模糊數(shù)學去研究。然而，對于另外一類不確定性問題，即少數(shù)據(jù)、小樣本、貧信息的不確定性問題，概率統(tǒng)計、模糊數(shù)學就難以解決，灰色系統(tǒng)理論正好解決了這類難題，它的研究對象就是“部分信</p><p>　　1982年，我國學者

36、鄧聚龍教授的兩篇開創(chuàng)性論文“灰色系統(tǒng)的控制問題”和“灰色控制系統(tǒng)”的公開發(fā)表，標志著灰色系統(tǒng)理論這一新興橫斷學科的問世。這一新理論收到國內外學術界和廣大實際工作者的積極關注，許多學者開始以極大的熱情開展理論探索及其在不同領域的應用研究工作。該理論在眾多科學領域中得到許多成功的應用，贏得了國際學術界的肯定和關注。世界上有100多所大學，國內外有很多出版機構，國際權威行檢索機構，許多重要國際會議等都對灰色系統(tǒng)理論給予了肯定，并對世界系統(tǒng)科學

37、界同行進一步了解灰色系統(tǒng)理論起到了積極作用。</p><p>　　經過近30年的發(fā)展，灰色系統(tǒng)理論已形成了以“灰”為研究對象，在“差異信息原理”、“解的非唯一性原理”、“最少信息原理”、“認知根據(jù)原理”、“新信息優(yōu)先原理”、“灰性不滅原理”的基礎之上，建立起了一門新興許可的結構體系。它的主要內容包括以灰色代數(shù)系統(tǒng)、灰色方程、灰色矩陣等為基礎的理論體系，以灰色關聯(lián)空間為依托的分析體系，以灰色序列生成為基礎的方法體系

38、，以灰色模型（GM）為核心的模型體系，以系統(tǒng)分析、評估、建模、預測、決策、控制和優(yōu)化為主體的技術體系 [1-2]。</p><p>　　灰色模型作為灰色系統(tǒng)理論的模型體系的核心，已被廣泛應用于農業(yè)、工業(yè)、氣象、電力、經濟、社會等領域，并獲得了較為合理的研究結論，掌握了事物發(fā)展變化的規(guī)律，并為我們預測事物的發(fā)展趨勢提供了理論依據(jù)。GM（1，1）模型是灰色模型的基礎與核心，將系統(tǒng)看成一個隨時間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，不

39、需要大量的時間序列數(shù)據(jù)就能夠建立預測模型，其計算簡單已被普遍認同。但是灰色系統(tǒng)理論還存在一些缺陷，其模型精度有待進一步提高。另外由于現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)往往因受到外界很多沖擊因素的干擾而失真，為了排除擾動因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對波動數(shù)據(jù)預測的新領域，他提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進行建模預測的新思路?；疑A測模型的應用范圍日趨廣泛，也成為了我們研究貧信息的不確定系統(tǒng)的重要方法，因而對灰色預測模型及緩沖算子的研究具有較為重要的

40、學術意義和較為廣泛的應用價值。</p><p>　　1.2 論文的主要內容</p><p>　　本文共分六章。第一章是前言，介紹了灰色系統(tǒng)的發(fā)展狀況和研究動態(tài)；第二章介紹了灰建模的基本原理和緩沖算子的基本理論；第三章介紹了灰色GM（1，1）模型的研究現(xiàn)狀及緩沖算子的研究現(xiàn)狀；第四章通過對原始GM（1，1）模型的研究和分析，分別對等間距和非等間距的GM(1,1)模型作出了改進和優(yōu)化；第五章通

41、過對現(xiàn)有緩沖算子的分析，構造了一類新的實用強化緩沖算子，并得出了緩沖算子的新定理；最后一章結論主要對前五章的研究成果加以總結，并對未來的研究提出了展望。</p><p>　　第2章 灰建模及緩沖算子的基礎理論</p><p>　　2.1 灰建模的建模機理</p><p>　　研究一個系統(tǒng)，一般應先建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，進而對系統(tǒng)的整體功能、協(xié)調功能以及系統(tǒng)各個因素之間

42、的關聯(lián)關系、因果關系、動態(tài)關系進行具體的量化研究?；翌A測數(shù)據(jù)有以下內涵特點：序列性、少數(shù)據(jù)性、全新息性、時間傳遞性和灰因白果律。</p><p>　　2.1.1 等間距GM(1,1)模型的建模機理</p><p>　　先介紹兩種灰序列生成算子：</p><p>　　累加生成是使灰色過程由灰變白的一種方法，它在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要的地位。</p>

43、<p>　　累減生成是在獲取增量信息時常用的生成，累減生成對累加生成起還原作用。累減生成與累加生成是一對互逆的序列算子。</p><p>　　設為原始數(shù)據(jù)序列，則稱為的一次累加生成算子（記為1-AGO）；稱為的一次累減生成算子（記為1-IAGO）</p><p>　　GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式為，其中為灰導數(shù)，為發(fā)展系數(shù)，為白化背景值（），為灰作用量。若為參數(shù)列，

44、且，，則GM(1,1)模型的最小二乘估計參數(shù)列滿足.</p><p>　　2.1.2 非等間距GM(1,1)模型的建模機理</p><p>　　定義1[1] 設序列，若間距，則稱是非等間距序列。</p><p>　　令為非等間距序列， ，則非等間距GM(1,1)定義型為</p><p><b>　　，其中，</b>&l

45、t;/p><p>　　2.2 緩沖算子的基礎理論</p><p>　　定義1[2] 設為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，若</p><p>　?、?若，，則稱為單調增長序列；</p><p>　　⑵ 若，，則稱為單調衰減序列；</p><p>　?、?若，有，，則稱為振蕩序列。令，，稱為序列的振幅。</p><p&g

46、t;　　定義2[2] 設為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，為作用于的算子，經過作用后記為，稱為序列算子，稱為一階算子作用序列。</p><p>　　序列算子作用可以多次進行。相應地，若都為序列算子，稱為二階算子作用序列，等等。</p><p>　　公理1[2] （不動點公理）設為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，為序列算子，則滿足。</p><p>　　公理2[2]（信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)

47、據(jù)序列中的每一個數(shù)據(jù)，都應充分參與算子作用的全過程。</p><p>　　公理3[2]（解析化、規(guī)范化公理）任意的，，都可以由一個統(tǒng)一的初等解析式表達。</p><p>　　公理4[49] （單調性不變公理）設經序列算子作用后所得數(shù)據(jù)序列為，則序列與序列的單調性必須保持一致。</p><p>　　定義3滿足以上四公理的序列算子稱為緩沖算子，一階、二階、三階……緩沖算

48、子作用序列稱為一階、二階、三階……緩沖序列。</p><p>　　定義4[2] 設為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，為緩沖算子，若滿足下列兩個條件，則稱緩沖算子為強化緩沖算子。</p><p>　?、?當為單調增長（單調衰減）序列時，緩沖序列比系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的增長率（衰減率）加快；</p><p>　?、?當為振蕩序列時，緩沖序列比系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的振幅大。</p>

49、<p>　　定理1[2] 設為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，緩沖序列記為，那么</p><p>　?、?當為單調增長序列時，為強化緩沖算子，；</p><p>　?、?當為單調衰減序列時，為強化緩沖算子，；</p><p>　?、?當為振蕩序列時，為強化緩沖算子則，。</p><p>　　從上述定理可以看出，單調增長序列在強化算子作用下，數(shù)

50、據(jù)萎縮；單調衰減序列在強化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。</p><p>　　第3章 灰色GM(1,1)模型及緩沖算子的研究</p><p>　　GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀</p><p>　　3.1.1 等間距GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀</p><p>　　鄧聚龍教授最先提出GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式為，其中為灰導數(shù)，為發(fā)展

51、系數(shù)，為白化背景值（），為灰作用量。若為參數(shù)列，且，，則GM(1,1)模型的最小二乘估計參數(shù)列滿足.經過眾多學者的分析和研究，GM(1,1)建模步驟中存在以下幾個問題：</p><p>　　第一，利用灰色微分方程求發(fā)展系數(shù)a,灰作用量b時，最小二乘法指標函數(shù)不一定最合理，不一定是最優(yōu)的方法，可以尋求更合理的方法來處理參數(shù)列。</p><p>　　第二，利用白化微分方程求含a,b的響應式，灰

52、色、白化微分方程本來不統(tǒng)一。</p><p>　　第三 : 利用初始條件求響應式中的待定系數(shù)，時間操之過急, 選擇單一。</p><p>　　第四：灰色微分方程中導函數(shù)、原函數(shù)是近似,可以通過數(shù)學方法使得方程中的原函數(shù)與導函數(shù)更匹配。</p><p>　　根據(jù)以上幾個問題，很多學者做了研究，改進 GM(1,1)模型的建模方法主要有以下幾種：(1)求參數(shù)列的方法；

53、(2)改白化微分方程、改灰色微分方程、同時改白化和灰色微分方程、去白化微分方程，通過這些方法來實現(xiàn)灰色、白化微分方程的統(tǒng)一；(3) 對模型的初始條件進行改進; （4）對背景值的改進，優(yōu)化灰導數(shù)，或同時優(yōu)化這兩者，使得方程中的原函數(shù)與導函數(shù)更匹配。</p><p>　　陳友軍等人分析了最小二乘法指標函數(shù)的不一定合理性，并提出了用關聯(lián)度最大作指標函數(shù)來求參數(shù)列a，b。對微分方程的改進上也有很多學者作了研究，這里主要介

54、紹下(3)，(4)兩種改進途徑的研究現(xiàn)狀。 </p><p>　　(1)初始條件的改進</p><p>　　通過對模型產生誤差的原因分析，有學者認為將作為初始條件是不合理的，并有不少學者在這方面做了很多研究工作，對模型的初始條件的改進方法主要有以下兩類：①根據(jù)灰色理論的新信息優(yōu)先原理，將最后一項即最新的數(shù)據(jù)作為灰色微分模型的初始條件[24]，在此基礎上，另有學者提出了

55、以任一項數(shù)據(jù)作為初始條件（即將m從1到n取值，對每一個值用GM（1，1）模型進行一次預測，找出平均相對誤差最?。ɑ蛟谄渌u價標準下）的模型對應的m，令m對應的為初始條件）[26]，②根據(jù)最小二乘法理論，有學者提出用模擬（預測）值與原始數(shù)據(jù)的誤差平方和最小來確定初始條件，通過對模型的初始條件的改進，大大地降低了預測誤差。</p><p>　　(2)對背景值的改進</p><p>　　經過不少

56、學者的研究分析，原始灰色GM（1，1）模型中背景值與灰導數(shù)不完全匹配，背景值的構造是產生誤差的主要原因，因此，不少學者對模型的背景值的改進進行了研究，主要有以下改進方法：①運用指數(shù)平滑法將原背景值優(yōu)化為：[18-26]，②羅黨等人做了更進一步的改進，對一階線性微分方程兩邊進行積分，將原背景值優(yōu)化為：= [3]。通過對模型背景值的改進，使得新模型不僅適用于低增長序列同時適用于高增長序列，而且模擬精度也大大提高了。</p>&

57、lt;p>　　(3)對灰導數(shù)的改進</p><p>　　GM（1，1）模型的灰微分方程的基本形式是，是鄧聚龍教授在白化微分方程的基礎上，將離散點列在點的導數(shù)用差分形式來處理（即：），將背景值用來代替而得到的。然而，這樣的近似處理，使得GM（1，1）模型的模擬誤差較大，因此，很多學者對灰導數(shù)進行了研究和優(yōu)化：</p><p>　　文獻[5] 不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和

58、向后差商的優(yōu)化加權平均值作為灰導數(shù)白化值建立GM (1, 1) 的方法，并證明了該法具有線性變換一致性。</p><p>　　3.1.2 非等間距GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀</p><p>　　GM (1 ,1) 模型模擬和預測精度主要取決于參數(shù)a 和b ,而參數(shù)a 和b 的值又依賴于背景值的構造,因此,背景值成為直接影響GM(1 ,1) 模型模擬和預測精度的關鍵，而一次累加的定義直接

59、影響背景值的構造。學者對非等間距GM (1 ,1) 模型的研究主要是對序列一次累加的定義的改進：</p><p>　?。?）在文獻[38]中累加定義給出，實際上這里的可以理解為是將非等間距插值（以便利用等間距思路來處理非等間距問題），但它在插值的時候沒有考慮值的逐漸變化，而是采用了值的突變，這樣就給模型帶來了一定的誤差，也在一定程度上影響了灰色系統(tǒng)理論的應用。</p><p>　?。?）文

60、獻[38]中的可以理解為是將非等間距插值（以便利用等間距思路來處理非等間距問題），但由于它在插值的時候沒有考慮值的逐漸變化，而是采用了值的突變，這樣就給模型帶來了一定的誤差，也在一定程度上影響了灰色系統(tǒng)理論的應用，文獻[27]通過考慮值的逐漸變化來給出新的累加定義：</p><p>　　（3）當原始數(shù)據(jù)經過一次累加后，如果還不接近指數(shù)形式，我們應當進行數(shù)據(jù)處理，使其接近指數(shù)形式，這樣才可能得到好的模擬效果，又因為

61、我們用指數(shù)形式進行模擬，文獻[28]提出用對原始數(shù)據(jù)進行插值，得到了新的一次累加定義</p><p>　　3.2 緩沖算子的研究現(xiàn)狀</p><p>　　由于現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)往往因受到外界很多沖擊因素的干擾而失真，為了排除擾動因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對波動數(shù)據(jù)預測的新領域，他針對級比漸趨穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列，提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進行建模預測的新思路，眾多學者從不同的背景出發(fā)

62、，提出了各種緩沖算子，大大提高了灰色預測建模精度，從而大大拓廣了灰色系統(tǒng)理論的應用范圍。文獻[43]將緩沖算子的構造與函數(shù)結合起來，為緩沖算子的構造開辟了新方向，文獻[49]對緩沖算子公理進行了補充，并構造了變權緩沖算子。本文在他們的工作的基礎上，構造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。</p><p>　　第4章 GM（1，1）模型建模方法的改進</p&g

63、t;<p>　　在本章里，作者對GM(1,1)模型進行了深入研究，根據(jù)GM（1，1）模型的原理，找出影響模型精度及其適應性的關鍵因素，并對其進行優(yōu)化，提高了模型的精度，擴大了模型的適用范圍，實例表明新模型具有較滿意的模擬和預測效果，具有重要的理論價值和實際價值。</p><p>　　4.1優(yōu)化灰導數(shù)的等間距GM(1,1)</p><p>　　雖然文獻[3]、[4]、[7]從優(yōu)

64、化背景值的角度進行改進，使得白化微分方程與灰色微分方程更加匹配，大大提高了模型的精度，文獻[5]不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和向后差商的優(yōu)化加權平均值作為灰導數(shù)白化值建立GM (1, 1) 的方法，但是根據(jù)GM（1，1）模型的原理，它將系統(tǒng)看成一個隨時間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，本文通過對不用一次累加而直接建模的灰色微分方程中的灰導數(shù)進行優(yōu)化，從而優(yōu)化了GM(1 ,1) 模型,數(shù)據(jù)模擬和模型比較表明,與原GM (1,1) 模型

65、和文獻[7]中提出的優(yōu)化模型相比,本文優(yōu)化后的模型模擬精度有所提高，具有較高的理論價值和應用價值。</p><p>　　4.1.1 對灰導數(shù)的優(yōu)化</p><p>　　定理 1 設原始數(shù)據(jù)序列，的1-IAGO序列為，若滿足指數(shù)形式=+，則與具有相同的指數(shù)。</p><p>　　證明：若滿足指數(shù)形式=+，則</p><p><b>　

66、　==+（+）</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　令,則=</b></p><p>　　若滿足齊次指數(shù)形式=,</p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　=+，&

67、lt;/b></p><p>　　即與具有相同的指數(shù)。證畢！</p><p>　　上述定理說明離散指數(shù)函數(shù)與其經一次累減生成的離散指數(shù)函數(shù)具有相同的指數(shù)。根據(jù)GM（1，1）模型的原理，它將系統(tǒng)看成一個隨時間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，</p><p>　　定理2 設原始數(shù)據(jù)序列, 則</p><p>　　1）若滿足非齊次指數(shù)形式，即=+，則，

68、 。令，寫成離散形式有；</p><p>　　2）若近似滿足指數(shù)形式，即+，令， 。令，寫成離散形式有。</p><p>　　4.1.2利用優(yōu)化的灰導數(shù)建模</p><p><b>　　灰色微分方程為</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p><

69、;b>　　將代入(1)，有</b></p><p><b>　　整理得，</b></p><p><b>　　記，，則有</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　(2)式的最小二乘估計參數(shù)序列為，其中，</p>&

70、lt;p>　　，。令，則，由此可得①式的最小二乘估計參數(shù)序列為。</p><p>　　白化微分方程的時間響應函數(shù)為</p><p>　　灰色微分方程的時間響應式為</p><p><b>　　， </b></p><p>　　定理 3 當原始序列為=嚴格滿足指數(shù)函數(shù)形式的時候，由新灰色微分方程，其中, 和白化微分方

71、程（其中如2.2所述），組成的新GM(1,1)模型得到的模擬序列的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)與具有重合性。</p><p>　　證明：設原始序列為，則，則存在常數(shù)和,使灰色微分方程成立。因此</p><p>　　即當原始序列滿足指數(shù)函數(shù)形式的時候，新GM(1,1)模型得到的模擬序列的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)與的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)具有重合性。證畢！</p><p>　　4.1

72、.3數(shù)據(jù)模擬與精度比較</p><p>　　例1 以標準指數(shù)列取不同的發(fā)展系數(shù)生成不同原始數(shù)據(jù)，我們分別以文獻[4]的模型M1、文獻[7]的M2和本文的新GM(1,1)模型M3進行數(shù)據(jù)擬合并比較其精度。</p><p>　　我們分別取，得, 可得1，以表1的數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)，用本文新的GM(1,1)模型建模，并求出其平均絕對誤差和平均相對誤差。并與文獻[7]的結論進行比較，得出表2</

73、p><p>　　由表2可以看出無論是從模型平均相對誤差還是平均絕對誤差來看，本文的新GM(1,1)都大大優(yōu)于其他模型。其實根本沒有模型誤差，只有因近似計算帶來的計算誤差。</p><p><b>　　表1: 原始數(shù)據(jù)</b></p><p>　　表2 : 三種優(yōu)化GM(1,1)模型的模擬誤差</p><p>　?。ㄗⅲ篗1,

74、 M2模型誤差來自文獻[7]）</p><p>　　例2 : 原始數(shù)據(jù)序列{ 2.7180,7.3883,20.0835,54.5925,148.3978,403.3870,1096.5} .這是一個高增長的序列，我們分別以文獻[4]的模型M1、文獻[7]的M2和本文的新GM(1,1)模型M3進行數(shù)據(jù)擬合并比較其精度。以前5個數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)進行模擬，以后2個數(shù)據(jù)作為預測效果檢驗，用本文新的GM(1,1)模型建模，

75、并求出其相對誤差。并與文獻[7]的結論進行比較，得出表3，以原始數(shù)據(jù)建立模型可得</p><p><b>　　, ,</b></p><p>　　表3 模擬和預測精度表</p><p>　?。ㄗⅲ篗1為文獻[4]建立的模型，M2為文獻[7]建立的模型，M3為本文的新模型）</p><p>　　由表3可以看出本文的新GM

76、(1,1)模型保持了較高的精度。相比而言，本文的新GM(1,1)模型無論是從模擬精度還是預測精度來看，都比文獻[7]高, 其模擬及預測精度幾乎達到100%.</p><p><b>　　4.1.4 總結</b></p><p>　　本文通過對GM(1,1)模型的灰導數(shù)進行優(yōu)化分析，提出了通過優(yōu)化灰導數(shù)的一種直接建模法，得出新的GM(1,1)模型。經過嚴格理論驗證該模型

77、具有指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)重合性，而且經過標準指數(shù)序列和非標準指數(shù)序列的數(shù)據(jù)的模擬、預測驗證，優(yōu)化后的模型提高了灰微分方程和白化微分方程的吻合性以及灰預測模型的擬合精度和預測精度，并在保持原GM(1,1)模型計算簡單等優(yōu)點的基礎上，拓廣了其適應范圍，該模型既適合用于低增長指數(shù)序列建模，也適合用于高增長指數(shù)序列建模，同時也適合于非齊指數(shù)序列建模!因此具有較高的理論價值和應用價值。</p><p>　　4.2優(yōu)化灰導數(shù)

78、的非等間距GM(1,1)</p><p>　　文獻[22,34,35]通過將序列的間距作為乘子而生成原始數(shù)據(jù)序列的一次累加序列，改進了非等間距GM(1 ,1)模型預測模型;文獻[38]通過對一次累加生成序列開m次方,用背景值取代中心值,得到了一類基于中心逼近化的非等間距GM(1 ,1)模型預測模型。文獻[39，40]提出了非等間距GM (1 ,1) 模型的背景值的改進方法,用齊次（非齊次）指數(shù)函數(shù)來擬合一次累加生

79、成序列,提出了一種背景值構造的方法,獲得了較高的預測精度。但各種改進非等間距模型一次累加表達式復雜、計算繁瑣,本文依據(jù)各種非等間距預測表達式都具有數(shù)據(jù)預測序列是時序指標的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達式，更無需其計算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時優(yōu)化其灰導數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預測精度較高的非等間距灰色預測模型,并應用實例表明本文提出方法的有效性。</p>

80、<p>　　4.2.1對灰導數(shù)的優(yōu)化</p><p>　　定義1[1] 設序列，若間距，則稱是非等間距序列。</p><p>　　由于原始數(shù)據(jù)序列是接近指數(shù)形式的非等間距序列，設=，曲線過兩點，，則有：</p><p><b>　　（1），（2）</b></p><p><b>　　由(2)/(1

81、)得</b></p><p>　　定理1設原始數(shù)據(jù)序列, 則</p><p>　　1）若滿足齊次指數(shù)形式，即，則， 。令，寫成離散形式有；</p><p>　　2）若近似滿足指數(shù)形式，即，令，。令，寫成離散形式有。</p><p>　　4.2.2初始條件的確定</p><p>　　白化微分方程的連續(xù)解為：（

82、其中為待定系數(shù)）。為了達到最佳的擬合效果，根據(jù)原值序列擬合誤差平方和最小來確定最佳系數(shù)：</p><p>　　顯然S是關于的函數(shù)，為求S最小時的值，令即可。</p><p><b>　　可得</b></p><p>　　4.2.3利用優(yōu)化的灰導數(shù)建模</p><p><b>　　灰色微分方程為</b>

83、;</p><p><b>　　①</b></p><p>　?、偈降淖钚《斯烙媴?shù)序列為，其中，</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　白化微分方程的時間響應函數(shù)為</p><p>　　灰色微分方程的時間響應式為</p><p&

84、gt;<b>　　， </b></p><p>　　定理 2 當原始序列為嚴格滿足指數(shù)函數(shù)形式的時候，由新灰色微分方程，其中, 和白化微分方程，組成的新GM(1,1)模型得到的模擬序列的指數(shù)，系數(shù)與具有重合性。</p><p>　　證明：設原始序列為，則，則存在常數(shù)和,使灰色微分方程成立。因此</p><p>　　即當原始序列滿足指數(shù)函數(shù)形式的

85、時候，新GM(1,1)模型得到的模擬序列的指數(shù)，系數(shù)與的指數(shù)，系數(shù)具有重合性。證畢！</p><p>　　4.2.4數(shù)據(jù)模擬與精度比較</p><p>　　例1[2] 表1：原始數(shù)據(jù)表</p><p>　　本例以原始的非等間距GM（1，1）模型為原模型，以文獻[2]的模型為模型[2]，記本文模型為新模型，得表2：</p

86、><p>　　表2：模型的模擬效果和相對誤差表</p><p>　　由例1可以看出本文的新模型不僅簡化了模型的表達式，運算簡便，且大大提高了精度。</p><p>　　例2 [25] P.G 福雷斯研究了許多材料的長壽命對稱循環(huán)下溫度對疲勞強度的影響。表3是鈦合金疲勞強度隨溫度變化的實驗數(shù)據(jù),這是一個非等間距序列。本文應用文獻[25]的數(shù)據(jù),用本文提出的方法對其建立模型

87、并進行精度比較得表4。</p><p>　　表3 　鈦合金疲勞強度隨溫度變化關系</p><p>　　表4：模型的模擬效果和相對誤差表</p><p>　　由表4可以看出，無論是從最大相對誤差還是平均相對誤差來看，本文的模型都要優(yōu)于文獻[11]的模型，而且本文簡化了模型的表達式。</p><p><b>　　4.2.5總結</

88、b></p><p>　　本文依據(jù)各種非等間距預測表達式都具有數(shù)據(jù)預測序列是時序指標的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達式，更無需其計算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時優(yōu)化其灰導數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預測精度較高的非等間距灰色預測模型。經過嚴格理論驗證該模型具有指數(shù)，系數(shù)重合性，而且經過標準指數(shù)序列和非標準指數(shù)序列的數(shù)據(jù)的模擬、預測驗證，優(yōu)化后

89、的模型提高了灰微分方程和白化微分方程的吻合性以及灰預測模型的擬合精度和預測精度。不用一次累加而直接用原始數(shù)據(jù)建模，既簡化了計算，又提高了精度，具有較高的理論價值和應用價值。</p><p>　　第5章 一類新的緩沖算子的構造及緩沖算子新定理</p><p>　　5.1 一類新的實用強化緩沖算子的構造</p><p>　　由于現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)往往因受到外界很多沖擊

90、因素的干擾而失真，為了排除擾動因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對波動數(shù)據(jù)預測的新領域，他提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進行建模預測的新思路，眾多學者從不同的背景出發(fā)，提出了各種緩沖算子，大大提高了灰色預測建模精度，從而大大拓廣了灰色系統(tǒng)理論的應用范圍。文獻[41]將緩沖算子的構造與函數(shù)結合起來，為緩沖算子的構造開辟了新方向，文獻[49]對緩沖算子公理進行了補充，并構造了變權緩沖算子。本文在他們的工作的基礎上，構造了一類緩沖算子，整合

91、了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。</p><p>　　5.1.1一類新的緩沖算子的構造</p><p>　　定理5.1.1 設 為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，，，其緩沖序列為，其中， 且均為單調函數(shù)，并具有相同的單調性，且滿足，則無論為單調增長序列，單調衰減序列還是振蕩序列，均為強化緩沖算子。</p><p>　　證明：顯然滿足緩沖算子四公

92、理，故為緩沖算子。</p><p>　　設均為單調遞增函數(shù)，</p><p>　?。?）當為單調增長序列時，則</p><p>　　，因為，為單調遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因為所以</b></p><

93、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以</p><p>　　，即對單調增長序列為強化緩沖算子。</p><p>　?。?）當為單調衰減序列，則，因為，為單調遞增函數(shù)，所以</p><p>&l

94、t;b>　　，</b></p><p><b>　　因為所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以</p><p>　　，即對單調增長序列

95、為強化緩沖算子。</p><p>　?。?）當為振蕩序列時，設</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為，為單調遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p>

96、<p><b>　　因為所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>

97、　　即對振蕩序列為強化緩沖算子。</p><p>　　同理可證，當均為單調遞減函數(shù)時，無論為單調增長序列，單調衰減序列還是振蕩序列，均為強化緩沖算子。</p><p><b>　　5.1.2 應用</b></p><p>　　定理5.1.2取定理5.1.1中的，即 ， 且 則當為單調遞增函數(shù)時，無論為單調增長序列，單調衰減序列還是振蕩序列，均為

98、強化緩沖算子。</p><p>　　定理5.1.3 當取定理5.1.2中的則為單調遞增函數(shù)時，是強化緩沖算子。</p><p>　　定理5.1.4 當取定理5.1.1中的取作的反函數(shù)，為嚴格單調函數(shù)，即是強化緩沖算子，這便是文獻[41]中的定理2.</p><p>　　定理5.1.5當取定理5.1.1中的取作的反函數(shù)，為嚴格單調函數(shù)，則為單調增長序列或單調衰減序列時

99、，是強化緩沖算子，這便是文獻[41]中的定理3.</p><p>　　推論5.1.1當定理5.1.3中的時</p><p>　　是強化緩沖算子,這便是文獻[47]中的定理4.</p><p>　　推論5.1.2當取定理5.1.1中的時，則為單調增長序列或單調衰減序列時， 是強化緩沖算子,這便是文獻[47]中的定理5.</p><p>　　推論

100、5.1.3 取定理5.1.2中的，則是強化緩沖算子。這便是文獻[49]中的定理4.</p><p>　　5.1.3 結 語</p><p>　　本文將緩沖算子的構造與函數(shù)聯(lián)系起來，構造了一類新的實用強化緩沖算子。由于只要求函數(shù)為單調（遞增或遞減）而非嚴格單調函數(shù)，這樣的函數(shù)隨手可得，一次可以構造一大類緩沖算子，為解決擾動數(shù)據(jù)序列的建模提供了很多選擇，有一定的實用價值。</p&g

101、t;<p>　　5.2 緩沖算子新定理</p><p>　　定理5.2.1設為一強化緩沖算子，為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為，均為單調函數(shù)，并具有相同的單調性，且滿足，，，其中,則無論為單調增長序列，單調衰減序列還是振蕩序列， 均為強化緩沖算子。</p><p>　　證明：顯然滿足緩沖算子公理2和公理3。</p><p>　　設 均為單調遞增函

102、數(shù)，</p><p>　?。?）當為單調增長序列時，則</p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為為一強化緩沖算子，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><

103、;b>　　且</b></p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　（公理4），</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　即且（公理1）</b></p><p>　　故對單

104、調增長序列為強化緩沖算子。</p><p>　?。?）當為單調衰減序列，則，</p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為為一強化緩沖算子，所以</p><p><b>　　，</b></p>&

105、lt;p><b>　　且</b></p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　（公理4），</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　即且（公理1）</b></p><

106、;p>　　故對單調衰減序列為強化緩沖算子。</p><p>　?。?）當為振蕩序列時，設</p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　同理于（1），（2）的證明，滿足公理1和公理4，故為緩沖算子。</p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以也為振蕩序列，且</p><p&g

107、t;<b>　　， </b></p><p>　　因為為一強化緩沖算子，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為為單調遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即，<

108、/b></p><p>　　故對振蕩序列為強化緩沖算子。</p><p>　　同理可證，當均為單調遞減函數(shù)時，無論為單調增長序列，單調衰減序列還是振蕩序列，均為強化緩沖算子。</p><p>　　定理5.2.2 設為一弱化緩沖算子，為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為，均為單調函數(shù)，并具有相同的單調性，且滿足，，，其中則無論為單調增長序列，單調衰減序列還是振蕩

109、序列， 均為弱化緩沖算子。</p><p>　　上述性質的證明過程與性質1的證明類似, 略。</p><p>　　作者將緩沖算子的構造與函數(shù)聯(lián)系起來，構造了一類新的實用緩沖算子。由于只要求函數(shù)為單調（遞增或遞減），這樣的函數(shù)隨手可得，已有的任何一個緩沖算子（無論強化還是弱化）都可以得到一大類緩沖算子，為解決擾動數(shù)據(jù)序列的建模提供了很多選擇，有一定的實用價值。</p><

110、p>　　第6章 結論與展望</p><p><b>　　6.1 全文總結</b></p><p>　　本選題研究的對象是GM(1,1)預測和緩沖算子的構造。通過對GM(1,1)模型的優(yōu)化，拓廣其應用范圍,同時提高了精度。通過分析現(xiàn)有緩沖算子的不足，構建一類強化緩沖算子,擴大了此類強化緩沖算子的范圍，并研究了緩沖算子的新定理，為沖擊擾動序列建模的數(shù)據(jù)處理提供了更

111、多的選擇。</p><p><b>　　主要做了以下工作：</b></p><p>　?。?）通過對不用一次累加而直接建模的等間距GM(1,1)模型的灰色微分方程中的灰導數(shù)進行優(yōu)化，提出了用（其中），代替原始灰色微分方程中的灰導數(shù)，同時用代替原始灰色微分方程中的背景值，得到新的灰色微分方程，從而獲得新模型，經過嚴格理論驗證該模型具有指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)重合性。大量的數(shù)

112、據(jù)模擬和模型比較結果表明，優(yōu)化后的模型提高了背景值的準確性以及灰預測模型的擬合精度和預測精度，且該模型既適合于低增長指數(shù)序列建模，也適合于高增長指數(shù)序列建模，同時也適合于非齊指數(shù)序列建模，可見新的建模方法大大提高了模型的模擬精度與預測精度，同時擴大了模型的適用范圍。</p><p>　?。?）基于完全沿用等間距一次累加的原始非等間距模型精度不盡人意，但各種改進非等間距模型一次累加表達式復雜、計算繁瑣這一基本事實，

113、依據(jù)各種非等間距預測表達式都具有數(shù)據(jù)預測序列是時序指標的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達式，更無需其計算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時優(yōu)化其灰導數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預測精度較高的非等間距灰色預測模型。</p><p>　?。?）文獻[41]將緩沖算子的構造與函數(shù)結合起來，為緩沖算子的構造開辟了新方向，文獻[49]對緩沖算子公理進行了補充，并構造

114、了變權緩沖算子。本選題在他們的工作的基礎上，構造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。</p><p>　?。?）在現(xiàn)有灰色系統(tǒng)緩沖算子公理體系下，本文得到了以下結果：設為一強化（或弱化）緩沖算子，為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為，均為單調函數(shù)，并具有相同的單調性，且滿足，，，其中,則無論為單調增長序列，單調衰減序列還是振蕩序列， 均為強化（或弱化）緩沖算子。 &