行列式的計(jì)算與技巧--畢業(yè)論文

1、<p>　　江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文</p><p><b>　　行列式的計(jì)算與技巧</b></p><p>　　The calculation of determinant and the skill </p><p>　　姓 名： * ***

2、</p><p>　　學(xué) 號(hào)： 090*0*0**2 </p><p>　　學(xué) 院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān) 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>

3、;　　指導(dǎo)老師：*** (講師 ) </p><p>　　完成時(shí)間： 2013-3-11 </p><p><b>　　行列式的計(jì)算與技巧</b></p><p><b>　　***</b></p><p>　　【摘要】行列式是

4、代數(shù)的一個(gè)重要的內(nèi)容，也是討論線性方程組的一個(gè)非常有力的工具,在數(shù)學(xué)的許多分支上有著極其廣泛的應(yīng)用。同時(shí)，行列式的計(jì)算非常的靈活多變，有很強(qiáng)的技巧和規(guī)律性。本文則主要討論行列式的一些常用的方法，并堅(jiān)持從實(shí)例出發(fā)，在以上幾種常用方法的基礎(chǔ)上，探討并給出行列式的其他幾種計(jì)算方法 。如：三角形法、升階法、數(shù)學(xué)歸納法、遞推法、提取因子法、范德蒙行列式法、拆行法等等，通過(guò)以上這些方法基本可以解決一般的n階行列式的計(jì)算問(wèn)題。</p>

5、<p>　　【關(guān)鍵詞】 行列式 遞推法 范德蒙行列式 降階法</p><p>　　The calculation of determinant and the skill </p><p><b>　　******</b></p><p>　　【Abstract】Determinant is an import

6、ant content of algebra, and discuss the system of linear equations is a very powerful tool, many branches of mathematics has the extremely widespread application. At the same time, the determinant calculation is very fle

7、xible, strong skills and regularity. This article mainly discuss some commonly used methods of the determinant, and proceed from the instance and on the basis of the above several kinds of commonly used method, and gives

8、 several calculation metho</p><p>　　【Key words】：The determinant, Recursive method, Vandermonde determinant， Order reduction method </p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　1 引言………

9、…………………………………………………………………………………1</p><p>　　2行列式的定義…………………………………………………………………………1</p><p>　　2.1 用定義法計(jì)算行列式…………………………………………………………1</p><p>　　3 行列式的相關(guān)性質(zhì)……………………………………………………………………3</p>

10、;<p>　　3.1利用相關(guān)性質(zhì)得到幾種特殊解法…………………………………………………3</p><p>　　3.1.1對(duì)角線法則計(jì)算行列式……………………………………………………3</p><p>　　3.1.2 三角形法計(jì)算行列式……………………………………………………3</p><p>　　3.1.2.1箭形(或爪形)行列式…………………………

11、………………………4</p><p>　　3.1.3加邊法（升階法）計(jì)算行列式………………………………………………5</p><p>　　3.1.4 分解行列法(又稱(chēng)拆項(xiàng)法)計(jì)算行列式……………………………………6</p><p>　　3.1.5降階法計(jì)算行列式……………………………………………………7</p><p>　　4 遞推法計(jì)算行

12、列式…………………………………………………………………9</p><p>　　5 特征值法計(jì)算行列式…………………………………………………………………10</p><p>　　6 數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算行列式…………………………………………………………………10</p><p>　　7 提取因子法計(jì)算行列式…………………………………………………………………11<

13、/p><p>　　8 利用范德蒙行列式計(jì)算行列式………………………………………………………12</p><p>　　9 利用拉普拉斯展開(kāi)定理計(jì)算行列式…………………………………………………14</p><p>　　10 因式分解法計(jì)算行列式………………………………………………………………15</p><p>　　11 乘法定理法（行列式乘積法

14、）計(jì)算行列式…………………………………………16</p><p>　　12 小結(jié)…………………………………………………………………………………………17</p><p>　　參考文獻(xiàn)………………………………………………………………………………………18</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　行

15、列式是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)工具，是線性代數(shù)的重要研究對(duì)象，無(wú)論是在高精尖端科學(xué)領(lǐng)域，還是在日常工業(yè)生產(chǎn)、工程施工或經(jīng)濟(jì)管理中都有著廣泛的應(yīng)用。因此，高等數(shù)學(xué)把行列式列為基本而重要的內(nèi)容之一，并把行列式的計(jì)算作為線性代數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)，可能由于一些學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，加之行列式的類(lèi)型又很多，學(xué)習(xí)中有一定的難度。本文主要從行列式的的定義和性質(zhì)入手，以具體實(shí)例為依據(jù)，對(duì)行列式的各種計(jì)算方法如定義法、化三角形法、拆行（列）法、降階法、升階法（加邊法）進(jìn)

16、行總結(jié)、歸納和比較，得出怎樣特征的行列式最適合怎樣的方法來(lái)，以達(dá)到最簡(jiǎn)單的計(jì)算</p><p><b>　　2 行列式的定義：</b></p><p>　　n階行列式：設(shè)有個(gè)數(shù)，排成n行n列的數(shù)表</p><p><b>　　= </b></p><p>　　做出表中位于不同行不同列的

17、n個(gè)數(shù)的乘積，并冠以符號(hào)得到形如的項(xiàng)，其中為自然數(shù)1,2,…,n 的一個(gè)排列，t為這個(gè)排列的逆序數(shù)，由于這樣的排列共有 n!個(gè)，所有這n!項(xiàng)的代數(shù)和∑ 稱(chēng)為n 階行列式</p><p><b>　　2.1 定義法</b></p><p>　　n 階行列式的定義展開(kāi)式中包含n！項(xiàng)，n=5時(shí)，已經(jīng)包含120項(xiàng)。所以利用行列式定義進(jìn)行運(yùn)算基本不現(xiàn)實(shí)。只有一種情況考慮利用定義

18、算行列式，就是行列式中0比較多，這樣可以大大減少行列式展開(kāi)的項(xiàng)數(shù)。．</p><p>　　例 2.11 計(jì)算 n 級(jí)行列式</p><p><b>　　D =</b></p><p>　　解： </p>

19、<p>　　例2.12 計(jì)算n階行列式=</p><p><b>　　解：利用行列式定義</b></p><p>　　= ， 其中t為排列的逆序數(shù)，故t=0+1+2+=所以=</p><p>　　例2.13 計(jì)算n階行列式</p><p>　　解：按行列式的定義，行列式展開(kāi)后每一項(xiàng)都是n個(gè)元素相乘，且這n

20、個(gè)元素要位于中不同的行與不同的列，因此只有一個(gè)非零項(xiàng)，這一項(xiàng)列標(biāo)為自然順序，行標(biāo)排成的排列n,1,2,3,…故=n!</p><p>　　3 行列式計(jì)算的相關(guān)性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)1.矩陣的行列式與其轉(zhuǎn)置矩陣的行列式相等。</p><p>　　行列式定義中可以按第一列可展開(kāi)計(jì)算,當(dāng)然,行列式也可按第一行展開(kāi)。</p><p>　　性質(zhì)

21、2.交換行列式的兩行,等于以(-1)乘行列式。</p><p>　　性質(zhì)3.若行列式有兩行(列)相同,則行列式等于0。</p><p>　　性質(zhì)4.以乘行列式的一行,等于乘行列式。</p><p>　　推論1.若行列式某行元素都是0,則行列式等于0。</p><p>　　性質(zhì)5.行列式具有分行相加性。</p><p>

22、　　性質(zhì)6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不變。</p><p>　　由性質(zhì)4和性質(zhì)3又可得到:</p><p>　　推論2.若一個(gè)行列式的任兩行成比例,則行列式值為0。</p><p>　　3.1 利用相關(guān)性質(zhì)得到幾種特殊解法</p><p>　　3.11 對(duì)角線法則</p><p>　　此法則適用于計(jì)算低階行

23、列式的值：如二階和三階行列式。具體方法：按照對(duì)角線法則展開(kāi)</p><p><b>　　例 3.111</b></p><p>　　=- 1×3- (- 2)×2=1（主對(duì)角線上的元素為-1和3，輔對(duì)角線上的元素為-2和2）</p><p><b>　　例3.112</b></p><

24、;p>　　=0×0×0+b×2c×a+3b×c×(-a)-0×(-a)×a-2c×c×0</p><p>　　-3b×b×0=-abc</p><p><b>　　3.12 三角形法</b></p><p>　　這是計(jì)算

25、行列式的一種基本方法。它是把一個(gè)行列式通過(guò)行列式的性質(zhì),設(shè)法把它們化為三角形行列式,然后利用三角行列式求其值。</p><p>　　例3.121計(jì)算行列式</p><p>　　解：注意到行列式各行(列)的元素之和相等，都為</p><p>　　行列式從最后一行開(kāi)始，依次加到第一行：</p><p><b>　　=</b>

26、</p><p>　　3.1.2.1 箭形(或爪形)行列式</p><p><b>　　例3.11</b></p><p>　　結(jié)論：對(duì)于形如 、 、 、所謂箭形(或爪形)行列式,可以直接利用行列式的性質(zhì)化為三角或次三角形行列式來(lái)計(jì)算。</p><p>　　3.13 加邊法（升階法）</p>

27、<p>　　要求：1） 保持原行列式的值不變；</p><p>　　2） 新行列式的值容易計(jì)算根據(jù)需要以及特點(diǎn)選取所加的行和列，加邊法除了適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（列）的元素分別為 n-1 個(gè)元素的倍數(shù)的情況。</p><p><b>　　例3.131</b></p><p>　　3.14 分解行列法(又

28、稱(chēng)拆項(xiàng)法)</p><p>　　拆分法就是根據(jù)行列式的性質(zhì)把行列式拆成兩個(gè)或若干個(gè)行列式的和，而拆出來(lái)的行列式可以利用已知的方法去求解。</p><p>　　例 3.141 計(jì)算 n 階行列式</p><p>　?。寒?dāng)n=2時(shí)，=。當(dāng)n≥3時(shí)，=0</p><p><b>　　例3.142</b></p>

29、<p>　　3.15 降階法計(jì)算行列式 </p><p>　　降階法是通過(guò)利用行列式的相關(guān)性質(zhì)降低行列式的階數(shù)后計(jì)算，典型步驟如下：</p><p>　　利用行（列）初等變換：1）交換兩行；2)某行（列）乘以K倍；3）某行（列）的K倍加到另一行（列）上去。</p><p>　　看行和，如果行（列）和相等，則均可以加到某一列（行），然后提取出一個(gè)數(shù)。

30、</p><p>　　逐行（列）相加（減）</p><p>　　找遞推公式，同時(shí)注意對(duì)稱(chēng)性。</p><p>　　按拉普拉斯定理展開(kāi)。</p><p>　　一個(gè)復(fù)雜的行列式往往是以上步驟的聯(lián)合使用。</p><p>　　例3.151計(jì)算行列式</p><p>　　例3.152計(jì)算行列式</

31、p><p>　　例3.153計(jì)算行列式</p><p>　　4 遞推法計(jì)算行列式</p><p>　　遞推法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式子，這種關(guān)系式稱(chēng)為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法我

32、們稱(chēng)之為遞推法。一般三對(duì)角行列式的計(jì)算就是利用遞推法計(jì)算的</p><p><b>　　例4.1</b></p><p>　　證明：將 按第 1 列展開(kāi)得</p><p>　　由此的遞推公式利用此遞推公式可得</p><p>　　例4.2計(jì)算n階行列式</p><p><b>　　解：&

33、lt;/b></p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　由于和對(duì)稱(chēng)性，不難得到 （2）</p><p>　　聯(lián)立(l),(2)解之,得</p><p><b>　　5 特征值法</b></p><p>　　設(shè)是 n 級(jí)矩陣 A 的全部特征值，則有

34、公式，。故只要能求出矩陣 A 的全部特征值，那么就可計(jì)算出 A 的行列式</p><p><b>　　例5.1</b></p><p>　　如果是n級(jí)矩陣A的全部特征值，證明: A可逆的當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零。證明：因?yàn)?，則A是可逆的</p><p>　　例5.2已知I-A的特征根之模長(zhǎng)均小于1，求證0< < </p>

35、;<p>　　證明：首先A沒(méi)有零特征根，否則存在可逆矩陣P,使得</p><p>　　6 數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算行列式</p><p>　　數(shù)學(xué)歸納法多用于證明題．用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算 n階行列式，需要對(duì)同結(jié)構(gòu)的低階行列式進(jìn)行計(jì)算，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并得出一般性結(jié)論，然后再用歸納法證明其正確性,利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行行列式計(jì)算主要是利用不完全歸納法尋找行列式的猜想值，再進(jìn)行驗(yàn)證．</p>

36、;<p>　　例 6.1計(jì)算 2n 階行列式</p><p>　　于是，我們可以猜想是不是有這樣一種關(guān)系存在，即然后用歸納法證明如下：</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，顯然成立。</b></p><p><b>　　假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)

37、，將</b></p><p>　　由歸納假設(shè)可得猜想成立，即</p><p><b>　　例6.2計(jì)算行列式</b></p><p>　　解：由于因而猜想現(xiàn)在用現(xiàn)在用第二數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。當(dāng) n = 1 時(shí)結(jié)論成立。歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)都成立，再證明 n 時(shí)對(duì)于 按照最后一行展開(kāi)得：</p><p>　　7 提取因

38、子法計(jì)算行列式 </p><p>　　若行列式滿(mǎn)足下列條件之一,則可應(yīng)用該方法:</p><p>　　(1)有一行(列)元素相同,稱(chēng)為“a,a,a,·,a型”;</p><p>　　(2)有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素之和或差相等,稱(chēng)為“鄰和型”;</p><p>　　(3)各行(列)元素之和相等,稱(chēng)為“全和型”.滿(mǎn)足條件(1)的行列式可

39、直接提取公因式a,變?yōu)椤?,1,…,1型”,進(jìn)而化為“1,0,…0型”,于是應(yīng)用按行(列)展開(kāi)定理,使行列式降‘階.滿(mǎn)足條件(2)和(3)的行列式都可根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M(mǎn)足條件(1)的行列式,間接使用提取公因式法.</p><p>　　例7.1計(jì)算行列式：</p><p>　　解：按該行列式的各行元素之和都等于屬于“全和型”，所以 例7．2計(jì)算行列式</p><

40、p><b>　　A=</b></p><p>　　解: 從觀察看出行列式每一行的和相同，因此將第二、第三、第四列都加到第一列上去便可以提出一個(gè)因子（x+y+z）。又將第二行乘以1，第三、第四行乘以 - 1 都加到第一行上，便可提出公因子（x- y- z）。類(lèi)似地有因子（x- y+z），（x+y-z）。因此，行列式A的值為 為了決定 k 的值，可令x=1,y=z=0 代 入，求 出 k=

41、1，因此</p><p>　　8 利用范德蒙行列式計(jì)算行列式</p><p>　　德蒙行列式是一類(lèi)比較特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式來(lái)計(jì)算某些行列式時(shí)，要求行列式必須有范德蒙行列式的特點(diǎn)，或者類(lèi)似于范德蒙行列式的特點(diǎn)，這樣便可以將所給的行列式化為范德蒙行列式，然后再借用公式計(jì)算出結(jié)果。</p><p>　　范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：行列式中第1行的元素全為1，第2

42、行元素是n個(gè)數(shù)，第3行元素是這n個(gè)數(shù)的平方，…，第n行元素是這n個(gè)數(shù)的（n-1）次方</p><p><b>　　例8.1計(jì)算行列式</b></p><p>　　解：因?yàn)?，可以在可在第一行提出，第二行提?，第三行提出 ，第四行提出，則</p><p>　　例8.2計(jì)算n階范德蒙行列式</p><p>　　解：雖然它不是

43、范德蒙行列式，但是我們通過(guò)對(duì)范德蒙行列式的學(xué)習(xí)可以自己構(gòu)造N+1階范德蒙行列式來(lái)間接的求出其值。構(gòu)造n=1階范德蒙行列式，得到</p><p>　　將按第n+1列展開(kāi)得</p><p><b>　　其中，的系數(shù)為</b></p><p>　　又根據(jù)范德蒙行列式的結(jié)果知</p><p>　　由上式渴求的的系數(shù)為</p

44、><p><b>　　，故有</b></p><p>　　結(jié)論:當(dāng)所求的行列式與范德蒙行列式類(lèi)似時(shí),可通過(guò)添加一些行(或列)或拆分某些行(或列)達(dá)到可以利用范德蒙行列式來(lái)計(jì)算的目的</p><p>　　9 利用拉普拉斯展開(kāi)定理計(jì)算行列式</p><p>　　拉普拉斯展開(kāi)定理是行列式按一行或一列展開(kāi)定理的推廣．在應(yīng)用拉普拉斯定

45、理時(shí)，為了計(jì)算上的方便，一般先利用行列式的性質(zhì)對(duì)原行列式進(jìn)行變形，再按含零多的 k 行或 k 列展開(kāi)．</p><p>　　例 9.1 計(jì)算行列式</p><p>　　解：觀察可以發(fā)現(xiàn)如果從第 3 行開(kāi)始每一行都減去第 2 行，再?gòu)牡?3 列開(kāi)始每一列都加到第 2 列，可使行列式中更多的元素為零．則按變換得</p><p>　　再由拉普拉斯定理可得</p>

46、;<p><b>　　例9.2計(jì)算行列式</b></p><p>　　解：利用拉普拉斯展開(kāi)定理按第1列和第2n列展開(kāi)得</p><p>　　對(duì)于2（n-1）階行列式按類(lèi)似方法可得</p><p><b>　　依次類(lèi)推，得</b></p><p>　　10 因式分解法計(jì)算行列式</

47、p><p>　　所謂因式分解法，是當(dāng)行列式D=0時(shí)，求出方程的根，然后利用因式分解的思想，將行列式轉(zhuǎn)化為各因子的乘積的形式，再進(jìn)一步求解，這樣能大大減少計(jì)算量。該方法主要運(yùn)用于主對(duì)角線上含有x多項(xiàng)式的題型。</p><p>　　解：根據(jù)行列式的定義法，我們知道此行列式展開(kāi)應(yīng)該為x的四次多項(xiàng)式，分析：當(dāng)x=±1，±2時(shí)，顯然D=0，所以假設(shè)其中，A為待定常數(shù)當(dāng)x=0時(shí)，計(jì)算出

48、D=-12又根據(jù)上面的假設(shè)的結(jié)果</p><p><b>　　從而A=-3</b></p><p><b>　　∴ </b></p><p>　　例 10.1 計(jì)算行列式</p><p>　　解: 注意 x =1 時(shí) 所以，同理 x －2，…，x － ( n －1) 均為的因式又 x － i 與

49、x － j( i≠j) 各不相同，所以，但的展開(kāi)式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為1。所以</p><p>　　11 乘法定理法行列式乘積法</p><p>　　在行列式中，如果每個(gè)元素都可分解為乘積之和的形式，那么該行列式就可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)矩陣乘積的行列式，只要分解的這兩個(gè)矩陣的行列式比較容易計(jì)算，則可由公式計(jì)算出原行列式的值</p><p>　　例 11.1 求下列行列式<

50、/p><p>　　例11.2 計(jì)算行列式</p><p><b>　　解：同上題可得</b></p><p><b>　　所以當(dāng)n>2, </b></p><p><b>　　n=2時(shí),， </b></p><p><b>　　n=1時(shí)，&

51、lt;/b></p><p><b>　　小結(jié)：</b></p><p>　　通過(guò)以上對(duì)行列式的計(jì)算方法的一一列舉,我們知道關(guān)于行列式不同的題目可能會(huì)用到不同的計(jì)算方法,至于采用哪種方法計(jì)算則要視具體的題目而定.但是即使同樣的題目有時(shí)卻可以用不同的方法來(lái)計(jì)算?？傊?，行列式的計(jì)算方法具有多樣性以及靈活性，在計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對(duì)具體問(wèn)題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活

52、選用適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算行列式總的原則是：充分利用所求行列式的特點(diǎn)、行列式的性質(zhì)及上述常用的方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。有時(shí)可以用上面介紹的其中一種方法求出行列式的值，有時(shí)可以綜合運(yùn)用多種方法更簡(jiǎn)便的求出行列式的值，然而一般需要用到兩種或兩種以上的技巧才能解決.總之，大家在今后的學(xué)習(xí)中要多練習(xí)，多總結(jié)，以便能更好地掌握行列式的計(jì)算方法</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p&g

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