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文檔簡(jiǎn)介
1、<p><b> 目錄</b></p><p> 摘要……………………………………………………………………………1</p><p> 1.引言…………………………………………………………………………1</p><p> 2.判別曲面是直紋面的幾種方法……………………………………………2</p><p>
2、 2.1根據(jù)直紋面的定義進(jìn)行直接的判別………………………………………2</p><p> 2.2根據(jù)二次曲面的方程的特點(diǎn)直接判別……………………………………2</p><p> 2.3利用二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程判別其是否是直紋面....................3</p><p> 2.4因式分解二次曲面方程判定其直紋性..................
3、..........9</p><p> 2.5利用定理對(duì)二次曲面的直紋性進(jìn)行判定………………………………12</p><p> 結(jié)束語(yǔ)…………………………………………………………………………14</p><p> 參考文獻(xiàn)………………………………………………………………………14</p><p> 致謝.……………………………………
4、……………………………………14</p><p> 判別二次曲面是直紋面的方法</p><p> 摘要:本文就有關(guān)二次曲面是直紋面的幾種常用判定方法加以了總結(jié)和推廣,并對(duì)單葉雙曲面和雙曲拋物面是直紋面加以了證明,而且還對(duì)所運(yùn)用的判定方法分別進(jìn)行了舉例說(shuō)明.從而更有利于理論與實(shí)踐相結(jié)合,進(jìn)一步提高了對(duì)各種知識(shí)的分析理解能力.</p><p> 關(guān)鍵詞:二次曲面;
5、直紋面;單葉雙曲面;雙曲拋物面;方程;因式分解 </p><p> Quadric discriminant methods are ruled surface</p><p> Abstract: This article was the lined surface several commonly used decision method has performed the sum
6、mary and the promotion on the related quadratic surface, and was the lined surface has performed the proof to the single leaf hyperboloid and the hyperbolic paraboloid, moreover also to the decision method which utilized
7、 separately carries on has explained with examples. Thus is more advantageous in the theory and the practice unifies, further enhanced to each kind of knowledge analysis unders</p><p> Keywords:quadric surf
8、ace; Ruled Surface; hyperboloid of one sheet; hyperbolic paraboloid; equation; factorization</p><p><b> 1 引言</b></p><p> 通過(guò)我們已對(duì)二次曲面的學(xué)習(xí)后,不難看出二次曲面的有關(guān)知識(shí)的討論是空間解析幾何中非常重要的內(nèi)容之一,而在二次曲面中的直紋
9、面又是非常重要的一類.直紋面的相關(guān)知識(shí)在我們實(shí)際生活生產(chǎn)中如在建筑行業(yè),機(jī)械加工以及醫(yī)療,光學(xué)等方面的應(yīng)用都是非常廣泛的.總之在我們的日常生活,現(xiàn)代化生產(chǎn),科學(xué)研究等方面對(duì)二次曲面中的直紋面知識(shí)的運(yùn)用都是非常廣泛的.為此,我們非常有必要對(duì)直紋面的相關(guān)知識(shí)加以了解.所謂直紋面是指如果曲面S上有一族單參數(shù)(隨著一個(gè)參數(shù)變化的一族直線)而S的每一點(diǎn)都在這族直線上,S就是我們所說(shuō)的直紋面,這族直線中的每一條直線都稱為直母線.在我們已學(xué)過(guò)的曲面中
10、的柱面,錐面,特別二次曲面中的橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面都是直紋面.</p><p> 在我們所學(xué)過(guò)的二次曲面的類型是非常多的,其中有些二次曲面是直紋面而有些又不是直紋面,那么在如此眾多的二次曲面中我們?nèi)绾螌?duì)其直紋性進(jìn)行快速而又準(zhǔn)確的判定呢?下面我就有關(guān)二次曲面是否是直紋面的判定方法加以總結(jié)和簡(jiǎn)單的推廣,并結(jié)合相關(guān)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明.</p><p> 2 判別曲面是直紋面的方法<
11、/p><p> 2.1根據(jù)直紋面的定義進(jìn)行直接的判別</p><p> 直紋面是由一族直線所構(gòu)成的曲面.簡(jiǎn)單地說(shuō)也就是將某一條直線進(jìn)行一定方向的移動(dòng)后所形成的一個(gè)軌跡,將這個(gè)軌跡看成是一個(gè)曲面,那么這個(gè)曲面也就是我們常提到的直紋面了.像我們平??吹降钠矫?,柱面,錐面等都可以直接看作是其中某一條直線經(jīng)過(guò)移動(dòng)后所形成的軌跡,將這個(gè)軌跡看成一個(gè)曲面,從而很自然由直紋面的定義就可以知道,這樣的曲面
12、就是直紋面.在中學(xué)時(shí)代就學(xué)過(guò)的平面我們可以將其看成是一條直線沿某一個(gè)固定方向進(jìn)行平行移動(dòng)后所形成的軌跡;由平行于某一個(gè)方向且與一條空間定曲線相交的一族平行直線所組成的曲面,叫做柱面.定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線,平行直線族中的每一條都叫做柱面的直母線.定方向是直母線的方向,也叫柱面方向.很顯然,柱面由它的準(zhǔn)線和母線方向所確定,它是直母線沿著準(zhǔn)線平行移動(dòng)所形成的軌跡,也可以看作準(zhǔn)線沿著柱面方向平行移動(dòng)所形成的軌跡;對(duì)于錐面,它是指過(guò)定點(diǎn)且與一條(
13、不過(guò)定方向的)定曲線相交的一族直線組成的曲面.從以上的平面,柱面,錐面的定義可以看出它們都可以看成是一條直線經(jīng)過(guò)移動(dòng)后所形成的軌跡,是完全符合直紋面的定義的.因此,要是我們遇到可以直接判斷出所給的二次曲面是平面,柱面,錐面等,我們就可以直接</p><p> 2.2 根據(jù)二次曲面的方程的特點(diǎn)直接判別</p><p> 在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們把由三元二次方程</p><
14、;p><b> .</b></p><p> 所表示的曲面稱為二次曲面.這里和是不全為零的實(shí)數(shù),根據(jù)二次曲面的特點(diǎn)我們可以得到關(guān)于二次曲面是直紋面的兩個(gè)結(jié)論.</p><p> 定理1 若方程中缺少一個(gè)變量,則它表示母線平行于與所缺變量同名的坐標(biāo)軸的柱面.在空間坐標(biāo)系中,曲面的方程如不含某個(gè)坐標(biāo)表示母線平行于這個(gè)坐標(biāo)軸的柱面.如:</p>&
15、lt;p> , , .</p><p> 分別表示母線平行于OZ軸,OX軸,OY軸的柱面.因此是直紋面.</p><p> 定理2 在取定的空間坐標(biāo)系下,x,y,z的n次齊次方程的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面.</p><p> 證明 設(shè).是一個(gè)n次齊次方程,則由齊次方程的定義有:</p><p><b>
16、; .</b></p><p> 將t=0代入上式得說(shuō)明原點(diǎn)在在方程的圖象上設(shè)非原點(diǎn)滿足則直線的方程為:</p><p><b> ,,.</b></p><p><b> 代入.得:</b></p><p><b> .</b></p>&
17、lt;p> 說(shuō)明直線上的每一點(diǎn)均落在方程的圖象上,從而方程.的圖象是由經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一族直線組成的.即它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面.</p><p> 推論1 若方程是關(guān)于,, 的齊次方程則此方程所表示的曲面是以(a,b,c)為頂點(diǎn)的錐面,因而是直紋面.</p><p> 例1 判定下列曲面是直紋面.</p><p> (1)+xy-+x+1=0.
18、 (2) +xy+-yz-y=0.</p><p> 解 (1)因?yàn)椋?)中缺少變量z,因而我們可以由定理1知道:它表示一個(gè)平行 z軸的柱面,而柱面可以看成是由直線移動(dòng)所形成的曲面,也就是由直紋面的定義就可以看出(1)是直紋面. </p><p> ?。?)將上面可以看成x,y,z+1的齊二次方程: </p><p><b> .<
19、/b></p><p> 由定理2和推論1可以知道它表示一個(gè)以(0,0,1)為頂點(diǎn)的錐面,所以它是直紋面.</p><p> 2.3 利用二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程判別其是否是直紋面</p><p> 對(duì)于非退化的二次曲面,只有柱面,錐面,單葉雙曲面,拋物雙曲面是直紋面因此我們對(duì)二次曲面是否是直紋面的判定時(shí),我們可以通過(guò)二次曲面的化簡(jiǎn).首先將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方
20、程,然后判定它是否是直紋面.下面就空間解析幾何二次曲面方程的化簡(jiǎn),運(yùn)用正交變換法和單葉雙曲面以及雙曲拋物面是否是直紋面等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行說(shuō)明.在空間中由三元二次方程:</p><p> . 所表示的曲面叫二次曲面.利用坐標(biāo)變換通過(guò)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,我們就可以將二次曲面方程寫(xiě)成以下十七種標(biāo)準(zhǔn)方程的形式之一:</p><p> (1)++=1(橢球面); (2)++=1(虛橢
21、球面);</p><p> ?。?)++=0 (虛二次錐面); (4)+=1 (單葉雙曲面);</p><p> (5)+=1 (雙曲雙曲面); (6)+=0(二次錐面);</p><p> ?。?)+=2z(橢圓拋物面); (8) =2z (雙曲拋物面);</p><p> ?。?)+=1(橢圓柱面);
22、 (10)+=1(虛橢圓柱面);</p><p> ?。?1)+=0(一對(duì)共軛平面); (12)=1(雙曲柱面);</p><p> ?。?3)=0(一對(duì)相交平面); (14)=2py (拋物柱面);</p><p> ?。?5)(一對(duì)平行平面); (16)(一對(duì)共軛虛平面);</p><p> (1
23、7)=0 (一對(duì)重合平面).</p><p> 這就說(shuō)明:二次曲面的各種可能的情況共有以上的十七種標(biāo)準(zhǔn)形式.因此,我們可以說(shuō)三元二次所可能確定的本質(zhì)上不同的十七種.曲面中除了虛的軌跡與分解為平面(方程(2),(3),(10),(11),(13),(15),(16),(17))以外,對(duì)于下面的六種曲面:?jiǎn)稳~雙曲面(方程(4)),二次錐面(方程(6)),雙曲拋物面(方程(8)),橢圓柱面(方程(9)),雙曲柱面(方
24、程(12)),拋物柱面(方程(14)).可以看出,這六種曲面中的每一個(gè)曲面都可以由一族直線構(gòu)成.因此,這些二次曲面都是直紋面.</p><p> 接著我們來(lái)討論下如何運(yùn)用正交變換法對(duì)二次曲面進(jìn)行化簡(jiǎn).設(shè)一般二次曲面的方程為:</p><p> .(其中二次系數(shù)不全為零,全部系數(shù)均為實(shí)數(shù) i,j=1,2,3,4).方程的左端顯然不是二次型,只有二次部分才是.這樣直接尋找一個(gè)正交變換,既可
25、以消去交叉項(xiàng)又能消去一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)是比較困難的.只有作旨在消去交叉項(xiàng)的,正交變換后使新方程左端僅含平方項(xiàng),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),再利用配方,又作一次正交變換來(lái)化簡(jiǎn)二次曲面的方程是可行的,與坐標(biāo)變換比較起來(lái)更簡(jiǎn)捷得多.其具體的化簡(jiǎn)方法,我們可以通過(guò)如下的一個(gè)非中心型二次曲面的例子來(lái)說(shuō)明.</p><p> 例2 化簡(jiǎn)二次曲面方程并對(duì)其是否是直紋面作出判斷.</p><p> .
26、 (1)</p><p> 解 將(1)中的x,y,z分別換成,,得:</p><p> . (2)</p><p><b> 其中二次型為,</b></p><p><b> . (3)</b></p><p> 由二次曲面的方程可以得到A的
27、系數(shù)矩陣為:</p><p><b> A= , </b></p><p> 其中A的特征方程為:</p><p><b> ,</b></p><p><b> 特征根為: ,.</b></p><p><b> 對(duì)于
28、,</b></p><p><b> 解齊次方程組:</b></p><p><b> .</b></p><p> 它的系數(shù)矩陣的秩為1,故只需解一個(gè)方程:</p><p> . </p><p><b> 容易得:<
29、;/b></p><p><b> .</b></p><p><b> 單位化后分別為:</b></p><p><b> .</b></p><p><b> 對(duì)于.解齊次方程組</b></p><p><b
30、> .</b></p><p> 它的系數(shù)矩陣的秩為2,解得.單位化后為 ,顯然:</p><p><b> (4)</b></p><p><b> 不難驗(yàn)證:</b></p><p><b> , 通過(guò)正交變換得</b></p>&
31、lt;p><b> (5)</b></p><p><b> 即 : .</b></p><p> 原二次型(3)變?yōu)?. (6)</p><p> 將(5)代入(6)得到</p><p><b> ,
32、</b></p><p><b> 即為 </b></p><p><b> .</b></p><p><b> 再作變換:</b></p><p><b> ,</b></p><p><b&g
33、t; 即正交變換:</b></p><p><b> .</b></p><p> 后得由曲面的規(guī)范方程為.則它所表示的是拋物柱面,即為直紋面.</p><p> 其次我們來(lái)討論下單葉雙曲面和雙曲拋物面的直紋性.</p><p> 我們知道一個(gè)二次曲面是柱面或錐面,它一定是直紋二次曲面.例如,當(dāng)二次
34、方程.的左邊只有二次項(xiàng),沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng).則它是一個(gè)錐面(稱為二次曲面)即是直紋面.又若中有一個(gè)變量沒(méi)有出現(xiàn),則它是一個(gè)柱面(稱為二次曲面),也是直紋面.如果有:</p><p><b> .</b></p><p> 記 為平面(i=1,2)則二次曲面是和 的并集,它或是兩張相交平面(當(dāng) 和 相交時(shí))或是兩張平行平面(當(dāng) 和 平行而不重合時(shí))或是一張
35、平面(當(dāng) 和 重合時(shí)).無(wú)論何種情況,它都是直紋面.</p><p> 對(duì)于單葉雙曲面.在二次曲面中的單葉雙曲面方程為在二次曲面中的單葉雙</p><p><b> 曲面方程為:</b></p><p> . (1)這里是3個(gè)正常數(shù).</p><p> 定理3 單葉雙曲面為直紋面.</p><
36、;p> 證明 . (1) </p><p> 其中均為非零實(shí)數(shù),設(shè)曲面(1)上存在的直線的方程為</p><p> ,. (2)</p><p> 由(2)式代入(1)可得到</p><p><b> .</b></p><p
37、><b> 即</b></p><p><b> .</b></p><p> 因?yàn)閷?duì)于任意的上式均成立,所以有</p><p> . (3)</p><p> 由(3)中最后一個(gè)等式可以知道不能同時(shí)為0不妨設(shè).由(3)式中第二個(gè)等式可以得到:</p>
38、<p><b> .</b></p><p> 又因?yàn)闉閷?shí)數(shù)上式有實(shí)數(shù)解的條件為: </p><p><b> ,</b></p><p><b> 經(jīng)整理可以得到:</b></p><
39、;p><b> .</b></p><p> 由于A,B,C為非零實(shí)數(shù),所以有ABC0.</p><p> 因?yàn)锳,B,C不能全為負(fù),只能兩正一負(fù),所以在橢圓面和雙曲面中只有單葉雙曲面是直紋面.</p><p><b> 對(duì)于雙曲拋物面:</b></p><p> .
40、 (4)</p><p> 其中A,B為非零實(shí)數(shù),若其上存在直線,則由式: </p><p><b> , .</b></p><p> 代入(4)式可以得到:</p><p><b> .</b></p><p> 由于上式對(duì)于任意t都成立,所
41、以有:</p><p> . (5) </p><p> 由(5)式 中第二個(gè)式子可知,m不能同時(shí)為0,否則會(huì)為0.又由(5)式中的第一個(gè)式子可知必須異號(hào).</p><p> 由上可知,在拋物面中只有雙曲拋物面是直紋曲面.</p><p> 2.4 因式分解二次曲面方程判定其直紋性</p><p&
42、gt; 在空間解析幾何教材中,在標(biāo)準(zhǔn)方程形式下證明了單葉雙曲面和雙曲拋物面都是直紋面,并給出了直母線族的方程,那么這種方法可以推廣到一般的二次曲面方程中去,從而去判別一個(gè)二次曲面是否為直紋面.若是直紋面還可以得到它的直母線方程.</p><p> 定理4 非退化的二次曲若能分解成</p><p> . (1)</p><p> 其中 的次數(shù)小
43、于等于1.則是直紋面,并且它的直母線可以表示為:</p><p> ,(w,u不全為零). (2)</p><p> 或 , (t,v不全為零). (3)</p><p> 其中是使上式有意義的參數(shù).</p><p> 推論2 若(1)(2)表示相同的直線族,則此曲面是柱面或錐面.當(dāng)直母線族的方向向量與
44、參數(shù)無(wú)關(guān)時(shí),此時(shí)的曲面一定是柱面,當(dāng)通過(guò)一定點(diǎn)時(shí),它一定是錐面.</p><p> 例3.判斷下列曲面的類型.</p><p><b> . .</b></p><p> 解 (1)因?yàn)槭牵?)的形式,故是直紋面.</p><p> 又因?yàn)楣适剑?2 )與式(3 )相同.所以可以逐步判斷出它是柱面或是錐
45、面.</p><p> 下面我們通過(guò)推論中所講的方向向量確定其是柱面還是錐面.</p><p><b> 直線族:</b></p><p><b> .</b></p><p> 的方向向量是 所以可以判斷出它是錐面.</p><p><b> ?。?)因?yàn)?/p>
46、方程:</b></p><p><b> .</b></p><p><b> 可以改為:</b></p><p><b> .</b></p><p> 故它表示為一個(gè)柱面或錐面,而直母線族:</p><p><b>
47、.</b></p><p><b> 的方向向量:</b></p><p> , , . </p><p> 所以它表示為一個(gè)柱面.</p><p> 對(duì)于直紋面中的柱面和錐面還可以討論其特殊性.</p><p> 例4 證明:表示為一個(gè)圓錐面.</p>
48、<p> 證明 因?yàn)榉匠淌顷P(guān)于的齊二次方程,所以它表示一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面.要證明它表示為圓錐面.只須證明它的直母線與固定方向成定角,為此求出它的直母線族方程為:</p><p><b> .</b></p><p><b> 其中方向向量為:</b></p><p> , , </
49、p><p><b> .</b></p><p> 取三條直母線,方向向量和.(這里) 令 </p><p><b> 解得 . </b></p><p><b
50、> 令</b></p><p><b> 而 .</b></p><p> (其中為直母線族與定方向所成的角),從而:</p><p><b> 45°</b></p><p> 知道直母線族于定方向是成定角.故其方程表示為一個(gè)圓錐面.</p>&
51、lt;p> 2.5利用定理對(duì)二次曲面的直紋性進(jìn)行判定</p><p><b> 設(shè)有二次曲面</b></p><p> . (1)</p><p><b> 記.</b></p><p> . </p&g
52、t;<p> 則有如下的二次曲面直紋性判定定理:</p><p> 定理5 給定二次曲面(方程為(1))對(duì)于上任意一點(diǎn)如果</p><p> 方程. (2)</p><p> 有非零實(shí)數(shù)解m:n:p則是直紋面,并且為在過(guò)點(diǎn)M處的直母線方向.</p><p> 證明 要證明是直紋面,只須證明對(duì)于上任意一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)
53、M總有直線落在上,為此,過(guò)點(diǎn)M的直線為L(zhǎng),其方程為:</p><p> . (3)</p><p> 于是(1)的參數(shù)方程為:</p><p> , (t為參數(shù)). (4)</p><p> 今假設(shè)整條直線L落在,故對(duì)一切t的取值(4)應(yīng)滿足(1),將(4)
54、代入(1)整理即得關(guān)于t的恒等式:</p><p><b> .</b></p><p> 而 M點(diǎn)在上,所以有恒等式:</p><p><b> .(5)</b></p><p> ?。?)恒成立的的充要條件是方程組(2)成立.因此,若(2)有非零實(shí)數(shù)解m:n:p,則總有直線(3)
55、落在上,即知是直紋面,并且(3)為的直母線.</p><p><b> 例5 判定曲面</b></p><p> .是否是直紋面,其中a,b,c為不全為零的常數(shù).</p><p><b> 解 將的方程展開(kāi)為</b></p><p><b> ,</b></p&g
56、t;<p><b> .</b></p><p><b> ,</b></p><p><b> ,</b></p><p><b> 從而 </b></p><p><b> =.</b></
57、p><p><b> 又 ,</b></p><p> 利用定理5中的(2)得方程組:</p><p><b> .</b></p><p> 解之得:cn-bp=ap-am=bm-an=0</p><p> 即m:n:p=a:b:c 因此由定理知是直紋面,并且由于過(guò)上
58、任意一點(diǎn)處的直母線方向?yàn)槌O蛄?,還可以進(jìn)一步知道是柱面.</p><p><b> 結(jié)束語(yǔ)</b></p><p> 本文在空間解析幾何中的二次曲面的相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)上,就直紋面的定義,常見(jiàn)的直紋面,利用二次曲面方程的特點(diǎn),二次曲面方程的化簡(jiǎn),將二次曲面方程利用因式分解以及利用定理等手段來(lái)對(duì)二次曲面的直紋性做出了判別.對(duì)于相應(yīng)的判別方法都加以舉出實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明.<
59、/p><p><b> 致謝</b></p><p> 在我畢業(yè)論文開(kāi)題、調(diào)查、研究和撰寫(xiě)過(guò)程中,***副教授給予了我耐心,細(xì)致和全面的幫助.在此我特向*老師表示感謝!</p><p><b> 參考文獻(xiàn)</b></p><p> [1]蔣大為 .空間解析幾何及其應(yīng)用 [M] . 科學(xué)出版社 .
60、 2004.7.</p><p> [2]梅向明 ,黃敬之.微分幾何 [M] . 高等教育出版社. 2003.12..</p><p> [3]黃宣國(guó) .空間解析幾何 [M] .復(fù)旦大學(xué)出版社 . 2004.8.</p><p> [4]龍承生.解析幾何 [M] .北京大學(xué)出版社. 2004.1.</p><p> [5]李養(yǎng)成. 空
61、間解析幾何[M].科學(xué)出版社 .2007.8.</p><p> [6]譚水木.二次曲面直紋性的判定[J]. 許昌師專學(xué)報(bào). 1996--6 . </p><p> [7]陳紹菱.空間解析幾何習(xí)題試析[M].北京師范大學(xué)出版社. 2004.11. </p><p> [8]黃艷紅.二次曲面的討論[J].刑臺(tái)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) . 2004.2.</p>
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