外文翻譯--三自由度并聯(lián)機(jī)器人精度分析 中文版

1、<p>　　三自由度并聯(lián)機(jī)器人的精度分析</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人越來越多的被應(yīng)用于精確度很重要的領(lǐng)域，因而毫無疑問地會(huì)需要測試這些機(jī)器人精確性的方法。那些設(shè)計(jì)精良，制作很好，校正好的并聯(lián)機(jī)器人的精確性主要依靠輸入誤差（傳感器和控制器的誤差）靈巧和其他類似的性能指標(biāo)經(jīng)常被用來直接測試輸入誤差的影響。

2、然而工業(yè)需要的是在一個(gè)既定的額定配置下，有關(guān)最大的方向和位置的輸出誤差的精確知識(shí)。一種能夠用于此目的的區(qū)間分析法已經(jīng)在文獻(xiàn)中提出，但是對于優(yōu)化設(shè)計(jì)的問題并沒有給出運(yùn)動(dòng)學(xué)方面的深刻見解。在此論文里，我將在對三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行詳細(xì)的誤差分析的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)更簡單的，有助于理解誤差放大的方法。</p><p><b>　　1.引言</b></p><p>　　并聯(lián)

3、機(jī)器人越來越多地應(yīng)用于精確定位，而且許多并聯(lián)機(jī)器人被用來做三自由度平面校準(zhǔn)。顯然，在這些工業(yè)實(shí)際應(yīng)用中，精確度是最重要的。因此，工業(yè)很需要能夠簡單快速的計(jì)算一個(gè)給定的機(jī)器人的精確度的方法，以便用其設(shè)計(jì)尋求最大精確度的最佳求解程序。</p><p>　　并聯(lián)機(jī)器人在方向和位置上的誤差取決于以下幾個(gè)因素：</p><p>　　-制造誤差，此種誤差在校對的時(shí)候是能夠考慮到；</p>

4、<p>　　-后座力，選擇適當(dāng)?shù)臋C(jī)械零部件可以消除這種影響；</p><p>　　-潛變，使用更堅(jiān)硬的結(jié)構(gòu)消除這種影響（這種方法將增加慣性，降低操作速度）；</p><p>　　-明顯的接縫出現(xiàn)的失誤，源于編碼器有限的決定以及傳感器錯(cuò)誤和控制器錯(cuò)誤。</p><p>　　因而，正如梅爾萊所指出的，明顯的關(guān)節(jié)處的失誤（輸出誤差）是設(shè)計(jì)精良，制作很好，校正好

5、的并聯(lián)機(jī)器人出錯(cuò)的最重要的誤差來源。</p><p>　　在此論文里，我們將解決計(jì)算并聯(lián)機(jī)器人只存在明顯的關(guān)節(jié)連接的錯(cuò)誤時(shí)，它的精確度的問題。</p><p>　　為了論文總體平衡，“精確度”這個(gè)術(shù)語因而指的是當(dāng)并聯(lián)機(jī)器人只存在明顯的關(guān)節(jié)連接錯(cuò)誤時(shí)在方向和定位上的失誤。</p><p>　　經(jīng)典分析法存在于使得輸入錯(cuò)誤與輸出誤差相一致的一級近似值中：</p&g

6、t;<p><b>　　P=jq</b></p><p>　　當(dāng)q代表的是的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的（輸入）錯(cuò)誤的向量，p為輸出誤差的向量，j為機(jī)器人的雅可比矩陣。然而,這種方法將只提供一種近似的輸出最大誤差。事實(shí)上,正如我們在文章中所論述的,當(dāng)給定驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)和一些不確定的范圍，一般情況下驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量的一個(gè)局部最大位置誤差和一個(gè)局部最大定位誤差不僅僅出現(xiàn)在不同的裝置上，而且這些

7、驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量在不確定的極限范圍內(nèi)是根本不需要的。</p><p>　　一些發(fā)展成熟的性能指標(biāo)已經(jīng)被用來粗略的評價(jià)串聯(lián)和并聯(lián)機(jī)器人的精確度。最近的一篇文獻(xiàn)中研究了大多數(shù)這些性能指標(biāo)并且分析了它們應(yīng)用到并聯(lián)機(jī)器人的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度中所遇到的矛盾。最常見的間接優(yōu)化并聯(lián)機(jī)器人精度的性能指標(biāo)是敏捷指標(biāo)，條件數(shù)和整體的環(huán)境負(fù)荷指標(biāo)。然而,在最近的一項(xiàng)對三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人精度的研究中,論證了敏捷指標(biāo)對機(jī)器人的精度幾乎沒有任

8、何影響,正如我們所定義的一樣。</p><p>　　很明顯,考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不精確的情況下，提高工業(yè)并聯(lián)機(jī)器人精度的最好方法是將最大位置誤差和最大定位誤差安排在給定的一部分工作空間之外或者在給定的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)里面。</p><p>　　最近提出了一個(gè)通用的方法是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的區(qū)間分析對給定的一部分工作空間以外的輸出誤差的近似值進(jìn)行計(jì)算。顯而易見的，給定的一部分工作空間以外的輸出誤差對機(jī)器人設(shè)計(jì)者

9、來說是最重要的。不過,對于不給定機(jī)器人在工作空間內(nèi)的精度變化的信息和優(yōu)化設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)的問題用這種方法是相對非常困難的。相反,一個(gè)非常簡單的幾何計(jì)算方法用來計(jì)算三自由度并聯(lián)機(jī)器人精度的精確值被描繪出來了。</p><p>　　該方法提出了取代了現(xiàn)有的關(guān)于最大位置誤差映射與最小定位誤差映射的敏捷映射。雖然這種方法包括了當(dāng)下精密并聯(lián)機(jī)器人最有前途的三個(gè)設(shè)計(jì)理念(其中之一是商業(yè)化,另兩個(gè)建成實(shí)驗(yàn)室原型),它并不總是能適用于其

10、他三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人。</p><p>　　本文概括了文獻(xiàn)[5]所提出的方法并遵循一個(gè)讓我們對三自由度并聯(lián)機(jī)器人精度有深刻認(rèn)識(shí)的詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明。</p><p>　　現(xiàn)代研究認(rèn)為只有三桿三自由度并聯(lián)機(jī)器人有移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副，每個(gè)桿子上面都有一個(gè)驅(qū)動(dòng)副，而且在每個(gè)桿子上面最多只有一個(gè)被動(dòng)的移動(dòng)副。這種方法是以兩個(gè)實(shí)際的設(shè)計(jì)為例的：</p><p>　　一個(gè)3-RPR

11、平面并聯(lián)機(jī)器人。這個(gè)機(jī)器人是機(jī)器人PAMINSA的平面投影和那些在法國雷恩國立應(yīng)用科學(xué)學(xué)院已經(jīng)制造好的模型的設(shè)計(jì)參數(shù)。</p><p>　　一個(gè)平面3-RPR機(jī)器人。一個(gè)以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的精密的并聯(lián)機(jī)器人已經(jīng)在德國布倫斯維克科技大學(xué)研究開發(fā)。</p><p>　　這篇文章剩下的內(nèi)容如下所述。第二節(jié)簡略的概括了文章中所用到的一些數(shù)學(xué)原理。第三節(jié)提供了一些分析定位誤差和位置誤差的方法。最后,第四

12、節(jié)包括幾個(gè)數(shù)值例,并在最后一節(jié)給出了結(jié)論。</p><p><b>　　2.數(shù)學(xué)背景</b></p><p>　　現(xiàn)如今主要研究的是分析由驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量有限誤差引起的并聯(lián)機(jī)器人的（局部）最大位置誤差和（局部）最大定位誤差。在一個(gè)閉區(qū)間上，函數(shù)的最大值和,定義為:</p><p><b>　　，</b></p>

13、<p><b>　　，</b></p><p>　　在,和是并聯(lián)機(jī)器人在笛卡爾坐標(biāo)中相應(yīng)的名義（理論）平臺(tái)位姿（方向和位置）,而，和是實(shí)際平臺(tái)坐標(biāo)系。</p><p>　　如果一個(gè)三自由度平面機(jī)器人是完全并聯(lián)的,和是這三個(gè)變量的函數(shù)：機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量（輸入），我們用來表示(）。因此，我們必須求出當(dāng)時(shí)和的最大值，其中和分別是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量相應(yīng)于名義平臺(tái)位姿和

14、驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量上的誤差。</p><p>　　為了簡化我們的誤差分析,我們可以假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)非常的遠(yuǎn)離(1型和2型)奇點(diǎn)。1型奇點(diǎn)是當(dāng)并聯(lián)機(jī)器人失去一個(gè)泛函數(shù)就失去一個(gè)或更多個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。這些都是內(nèi)部和外部工作空間的界限。因?yàn)檫@個(gè)原因,在有效的工作空間內(nèi)的工業(yè)并聯(lián)機(jī)器人都遠(yuǎn)離這個(gè)奇點(diǎn)。類似的，2型奇點(diǎn)是并聯(lián)機(jī)器人失去一個(gè)泛函數(shù)將會(huì)失去對整個(gè)移動(dòng)平臺(tái)控制的另外一種結(jié)構(gòu)。此外,靠近這些結(jié)構(gòu)時(shí)輸出誤差將會(huì)以指數(shù)的數(shù)量級來

15、增加。因?yàn)檫@些原因工業(yè)并聯(lián)機(jī)器人必須要排除一些奇點(diǎn)。因此只有當(dāng)結(jié)構(gòu)非常的遠(yuǎn)離奇點(diǎn)時(shí)我們將會(huì)完成我們的誤差分析，也就是當(dāng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量在誤差區(qū)間范圍內(nèi)機(jī)器人不能進(jìn)入奇點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)。</p><p>　　當(dāng)我們提出這些實(shí)用性的假設(shè)時(shí)，我們忙于尋找和的最大值難題?？偹苤ㄟ^分析海賽矩陣在給定區(qū)間范圍以外尋找連續(xù)性多變量函數(shù)的最大值，：</p><p>　　利用海賽矩陣,變量的集合為，，如果那么得

16、出一個(gè)的極值而且一定是負(fù)數(shù)。如果存在一個(gè)這樣的點(diǎn)，我們稱之為第一類極值。</p><p>　　從輸入誤差邊界圖（圖1）中可以看出，在對面同意存在一個(gè)的極值，這個(gè)時(shí)候，我們就要對六個(gè)函數(shù)中每兩個(gè)變量的極值進(jìn)行研究，定義為：</p><p>　　如果這些點(diǎn)存在，我們稱之為第二類極值。在輸入誤差邊界框的邊緣上同樣存在的極值。這個(gè)時(shí)候，我們就得研究函數(shù)中十二個(gè)變量的極值：</p>&

17、lt;p>　　如果這些點(diǎn)存在，我們稱之為第三類極值。</p><p>　　最后，在輸入誤差邊界框的八個(gè)棱角上面也存在著的極值。這八個(gè)點(diǎn)被稱為第四類極值。</p><p>　　找出的極值也就相當(dāng)于找出了函數(shù)的極值。在文章的下一部分中，我們將研究函數(shù)的極值。</p><p>　　3.分析定位和位置的誤差</p><p>　　3.1 最大定位

18、誤差</p><p><b>　　的偏導(dǎo)數(shù)為：</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，這個(gè)導(dǎo)數(shù)的值等于零。很明顯可以看出，不論怎么樣，只有當(dāng)時(shí)，極值才存在。</p><p>　　對于三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人來說，的條件相當(dāng)于兩種不同的情形。</p><p>　　——機(jī)器人處在1型奇點(diǎn)。然而，我們已經(jīng)假設(shè)在研究區(qū)間中機(jī)器人是不能

19、進(jìn)入1型奇點(diǎn)的。</p><p>　　——當(dāng)j和k桿固定住，移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)將會(huì)是完全的移動(dòng)。圖2表示為通過轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)將機(jī)器人的移動(dòng)平臺(tái)連接到三個(gè)驅(qū)動(dòng)桿上。在移動(dòng)平臺(tái)上的每個(gè)桿子都給一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)中心表示為P。當(dāng)制動(dòng)器1和2是固定的，而制動(dòng)器3是運(yùn)動(dòng)的，那么桿轉(zhuǎn)動(dòng)的交點(diǎn)代表了移動(dòng)平臺(tái)的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)中心。</p><p>　　因此，如果，矢量，定義為，代表僅僅只有制動(dòng)器3工作時(shí)平臺(tái)的瞬時(shí)位移

20、。為了使平臺(tái)做完全的移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)桿和必須是平行的（圖3所示）。當(dāng)這種結(jié)構(gòu)在我們所研究的區(qū)間內(nèi)，則與之相對應(yīng)的定位誤差為局部的極值。</p><p>　　因此，只有當(dāng)//，//時(shí)第二類極值才存在。然而，這個(gè)就相當(dāng)于以前發(fā)生過的不可能的情況。</p><p>　　當(dāng)//時(shí)，則第三類極值存在。如果這種結(jié)構(gòu)是可能的，那么就要去測試以確定它的性質(zhì)。</p><p>　　最后，第

21、四類極值是一直存在的，也必須一直用來做測試。</p><p>　　因此，在對定位誤差的分析中，只有第三或者第四類極值才有可能出現(xiàn)。即使是對結(jié)構(gòu)最簡單的三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人來說，計(jì)算分析第三類最大值也是非常困難的。由于在能感應(yīng)到機(jī)器人結(jié)構(gòu)中可能有兩個(gè)平行的旋轉(zhuǎn)桿的工作空間范圍內(nèi)，可能存在一個(gè)定位角局部的最大值（而不是最小值），因此，我們堅(jiān)信進(jìn)行實(shí)驗(yàn)最好的方法是將輸入誤差邊界框的邊緣進(jìn)行離散（圖1），在每一個(gè)離散點(diǎn)

22、計(jì)算，并且保留最大值。顯然，這種離散是有那么點(diǎn)耗費(fèi)時(shí)間的而且不是太精確，但是我們的這種方法相比于簡單的敏捷圖依然得出了非常有意義的結(jié)果。然而要注意的是在大部分情況下這種結(jié)構(gòu)將不會(huì)發(fā)生。在這種情況下，必須有人能夠在輸入誤差邊界框的每個(gè)棱角上計(jì)算出并保留最大值。這樣得出的定位誤差才是精確的。</p><p><b>　　3.2最大位置誤差</b></p><p><

23、b>　　的偏導(dǎo)數(shù)為：</b></p><p>　　如果當(dāng)，正交于或者時(shí)，這個(gè)導(dǎo)數(shù)的值為零。很明顯可以看出，條件相當(dāng)于全局的最小值，因此將被忽略。對于三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人來說，的條件相當(dāng)于兩種不同的情形。</p><p>　　——機(jī)器人處在1型奇點(diǎn)。然而，我們已經(jīng)假設(shè)在研究區(qū)間中機(jī)器人是不能進(jìn)入1型奇點(diǎn)的。</p><p>　　——當(dāng)j和k桿固定住

24、，移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)將會(huì)是完全的移動(dòng)。如果平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)時(shí)完全的轉(zhuǎn)動(dòng)的，那就意味著桿和的交點(diǎn)與點(diǎn)相重合（圖5）。當(dāng)這種結(jié)構(gòu)在我們所研究的區(qū)間內(nèi)，則與之相對應(yīng)的定位誤差為局部的極值。</p><p>　　接下來，我們將要用幾何的方法來說明的全局的最大值僅僅存在于輸入誤差邊界框的邊緣上（包括各個(gè)頂點(diǎn)）。事實(shí)上，找出這個(gè)最大值就等同于發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)離名義上的移動(dòng)平臺(tái)位置中心無常區(qū)域中的點(diǎn)。通過去除相應(yīng)的區(qū)間中的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量獲得這個(gè)無常

25、的區(qū)域上機(jī)器人基本的最大工作空間(也就是平臺(tái)中心可達(dá)到的所有位置），。顯然，我們所尋找的點(diǎn)將會(huì)最大工作空間的邊界上。</p><p>　　文獻(xiàn)10中介紹了用幾何算法來計(jì)算這個(gè)邊界，但在這里我們不會(huì)去詳細(xì)的討論它。我們只需要提到相對應(yīng)這段邊界曲線組成的這種結(jié)構(gòu)至少有一條邊在1類奇點(diǎn)上（這是排除在我們研究范圍以外的）或者在驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)極限內(nèi)（依然被我們認(rèn)為沒有極限的被動(dòng)關(guān)節(jié)）。這一段只有一個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)在一個(gè)限制的直線段（在

26、第一類中是移動(dòng)關(guān)節(jié)）或一個(gè)圓弧半徑取決于桿的長度與平臺(tái)的尺寸（在第二類中是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)）。</p><p>　　在誤差分析中，機(jī)器人的區(qū)間間隔相對應(yīng)外形尺寸是非常小的，所以給不確定的區(qū)域一個(gè)名義上的結(jié)構(gòu)。那就意味著在實(shí)踐當(dāng)中，一個(gè)屬于邊界不確定區(qū)域的圓弧半徑將會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于最大位置誤差。因此，對于這樣一個(gè)大半徑的小圓弧，離名義上的位置最遠(yuǎn)的點(diǎn)將在兩末端之一的圓弧上。因此這個(gè)點(diǎn)在極限內(nèi)將至少對應(yīng)兩個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量。</

27、p><p>　　因此，感謝這個(gè)幾何分析，我們將能夠證明最大位置誤差不會(huì)出現(xiàn)在其他地方而是在輸入誤差邊界框的邊緣上。下一步更深入的分析將會(huì)得到保證，在某一精度條件下，最大位置誤差僅僅出現(xiàn)在輸入誤差邊界框的八個(gè)棱角的某一個(gè)上面。</p><p>　　對于桿j和k（），有第三種最大的條件在區(qū)間上[]是：</p><p><b>　　（a）；</b><

28、;/p><p><b>　?。╞）正交與。</b></p><p>　　條件（a）已經(jīng)討論過了。這樣一種結(jié)構(gòu)必須要檢查去判斷它是否符合全局最大值。但是，要分析識(shí)別這種結(jié)構(gòu)是相當(dāng)困難的。因此，我們再一次的確信最好的著手點(diǎn)是在一種讓你感覺到機(jī)器人可能處在兩腿壓力相交于移動(dòng)平臺(tái)中心的結(jié)構(gòu)的區(qū)域活動(dòng)空間，把輸入邊界框的邊緣進(jìn)行離散，在每一個(gè)離散點(diǎn)上計(jì)算，并保留最大值。但是注意，這

29、種結(jié)構(gòu)在大多數(shù)情況下顯然是不存在的。對于這種情況，我們必須只考慮條件（b）。</p><p>　　條件（b）是更加復(fù)雜的分析。的偏導(dǎo)數(shù)代表的機(jī)器人建立雅克比</p><p>　　陣最初的兩個(gè)要素。如果矢量的方向在研究區(qū)間內(nèi)接近一個(gè)常量（但是要遠(yuǎn)離第二類奇點(diǎn)），那么就可以說在這個(gè)區(qū)間內(nèi)當(dāng)桿j和k是固定的，機(jī)器的位移近似的為一條直線。這個(gè)我們可以近似的通過計(jì)算矢量在輸入誤差邊界框的每個(gè)棱角來驗(yàn)

30、證。如果矢量的方向的變化量沒有達(dá)到給定值（比如），那我們就可以認(rèn)為在研究區(qū)間內(nèi)沒有發(fā)生變化。</p><p>　　令正交于點(diǎn)B（圖6）。矢量u定義為在B點(diǎn)允許移動(dòng)位移的方向。如果我們描繪一條線穿過B點(diǎn)，它的方向根據(jù)矢量u來確定，只有當(dāng)驅(qū)動(dòng)器在運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)候這條線定義為平臺(tái)位移的軌跡在B點(diǎn)周圍。如果我們描繪出兩個(gè)點(diǎn)A和C在這條直線上在B點(diǎn)周圍，當(dāng)它的驅(qū)動(dòng)桿指向的的正方向，矢量u的方向就確定了位移的方向。因此，當(dāng)驅(qū)動(dòng)桿運(yùn)

31、動(dòng)的時(shí)候它就一次通過A、B、C三點(diǎn)。</p><p>　　這就可以確定的標(biāo)出A點(diǎn)和C點(diǎn)在上的結(jié)果了。在A點(diǎn)為負(fù)數(shù)，在B點(diǎn)為正數(shù)。這就可以看出B點(diǎn)是的局部最小值。因此這種結(jié)構(gòu)不能代表第三類最大值。</p><p>　　當(dāng)然，也存在我們經(jīng)驗(yàn)法則例外的情況，但是那些都是針對某些特定的機(jī)構(gòu)而極少出現(xiàn)的。比如三自由度并聯(lián)機(jī)器人就是這種情況。當(dāng)兩個(gè)制動(dòng)器都關(guān)閉的時(shí)候，通過曲線描述平臺(tái)中心將是一個(gè)橢圓。

32、因此，如果我們在它的端點(diǎn)取一條線段，斜率是基本不會(huì)變化的，這條線段明顯的接近這條直線。然而，如果考慮到三自由度并聯(lián)機(jī)器人，這條曲線就是6次方的。理論上，可能存在這樣的線段在端點(diǎn)的斜率是幾乎一致的，但這條線段并不是線性的。但是我們考慮到這種情形是幾乎不可能發(fā)生的，而且即使它們發(fā)生了也是在某一特定情況下而不是在工作空間內(nèi)。所以為了簡單起見，在我們研究時(shí)忽略這種極小的可能性。</p><p><b>　　3.

33、3結(jié)論</b></p><p>　　總而言之，我們提出的方案對很多實(shí)際的三自由度并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)是很容易去簡單而又快速地實(shí)現(xiàn)。對于大多數(shù)的設(shè)計(jì)，在每個(gè)名義上的結(jié)構(gòu)我們都要計(jì)算8套關(guān)節(jié)變量的直接運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，既不能用分析也不能用精確數(shù)值的方法（因?yàn)槲覀冞h(yuǎn)離奇點(diǎn)）。因此，為了計(jì)算給定名以上結(jié)構(gòu)的三自由度并聯(lián)機(jī)器人的局部最大定位誤差和局部最大位置誤差，我們至少也要計(jì)算12n個(gè)直接的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)（運(yùn)用圖11中給出的方法）

34、，n指的是輸入誤差邊界框的每個(gè)邊緣上離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)。前面已經(jīng)提到，這樣的離散化是相當(dāng)耗費(fèi)時(shí)間的而且可能導(dǎo)致計(jì)算精度不夠高。然而，相對簡單的分析可以顯示，對于機(jī)器人設(shè)計(jì)只有輸入誤差邊界框的八個(gè)頂點(diǎn)需要驗(yàn)證。也就是說，為了計(jì)算最大定位誤差，這是沒有兩個(gè)壓力可以平行的條件下而導(dǎo)致局部最大值，為了計(jì)算最大位置誤差，這是沒有兩個(gè)壓力在平臺(tái)中心相交的情況下且矢量的方向變化是非常微小的。</p><p><b>　　4

35、.實(shí)例</b></p><p>　　4.1三自由度3-RPR平面并聯(lián)機(jī)器人</p><p>　　在這部分中，我們將研究三自由度3-RPR平面并聯(lián)機(jī)器人的精度（圖7）。這個(gè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)如下：</p><p>　　--制動(dòng)器裝在底部位于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)；</p><p>　　--三角形和等邊三角形；</p><p>　

36、　--O點(diǎn)位于三角形的幾何中心；</p><p><b>　　-- ；</b></p><p>　　--驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的誤差界限。</p><p>　　這個(gè)機(jī)器人的第二類奇點(diǎn)是總所周知的[12-14]。當(dāng)機(jī)器人是這種結(jié)構(gòu)的時(shí)間出現(xiàn)：</p><p><b>　　--旋轉(zhuǎn)角；</b></p>

37、<p>　　--平臺(tái)中心P位于以O(shè)為中心半徑為的圓上；</p><p>　　當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)此機(jī)器人出現(xiàn)第一類奇點(diǎn)。這三個(gè)第一類奇點(diǎn)位于第二類奇點(diǎn)的圓上。</p><p>　　因此我們建議分析以O(shè)為圓心半徑為0.245m兩個(gè)不同的定位角分別為0°和10°時(shí)的可用工作區(qū)。這個(gè)工作區(qū)遠(yuǎn)離奇點(diǎn)（第二類奇點(diǎn)的圓在0°和10°時(shí)的半徑分別為0.25m和

38、0.2521m）。</p><p>　　這個(gè)機(jī)器人的直接運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是很容易獲得的且有兩個(gè)明顯的解決方案，因?yàn)轵?qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量不會(huì)一起奇點(diǎn)。我們要研究這里的三種不同情況：</p><p>　　兩個(gè)壓力并聯(lián)的結(jié)構(gòu)。這種情況不是定位誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，壓力垂直于移動(dòng)關(guān)節(jié)的方向并且通過點(diǎn)。因此，這種情況出現(xiàn)是當(dāng)兩個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)的方向是并聯(lián)的（圖8a）。對于這種結(jié)構(gòu)，要使定位的平

39、臺(tái)保持不變只有當(dāng)受操控的關(guān)節(jié)移動(dòng)。因此，這種結(jié)構(gòu)是定位誤差的局部最小值。</p><p>　　兩個(gè)壓力相交于平臺(tái)中心的結(jié)構(gòu)。這種情況不是位置誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，很容易驗(yàn)證這種結(jié)構(gòu)只出現(xiàn)在研究工作空間以外（圖8b）。</p><p>　　矢量的方向是不斷變化的結(jié)構(gòu)。圖9a和b表示了矢量的方向在研究區(qū)間里的變化量?？梢钥闯鲞@種變化在研究區(qū)間里是非常微小的（小于0.6

40、）。</p><p>　　因此，只有8套驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量對機(jī)器人最大定位誤差和最大位置誤差的給定名義上的姿勢進(jìn)行測試。對其中的每一套，都可能有兩個(gè)平臺(tái)姿勢得到分析，且對相對應(yīng)的定位誤差和位置誤差接近名義上的姿勢的解決方案的計(jì)算。兩個(gè)位置等高線的結(jié)果在圖10和圖11中所表示出來。</p><p>　　正如我們所預(yù)期的，機(jī)器人在遠(yuǎn)離奇點(diǎn)的工作空間的中心是更加準(zhǔn)確的。越靠近機(jī)器人奇點(diǎn)的圓準(zhǔn)確性就越低

41、。但要注意的是總有一種實(shí)質(zhì)性的位置誤差，在工作空間中心的定位誤差幾乎為零。</p><p>　　4.2三自由度3-PRR平面并聯(lián)機(jī)器人</p><p>　　在這部分中，我們將研究三自由度3-PRR平面并聯(lián)機(jī)器人的精度（圖12)。這款機(jī)器人的設(shè)計(jì)如下：</p><p>　　--制動(dòng)器安裝在移動(dòng)關(guān)節(jié)的底部；</p><p>　　--O點(diǎn)位于三角形

42、的幾何中心；</p><p>　　--三角形和等邊三角形且移動(dòng)關(guān)節(jié)的輔助線相切于以O(shè)為圓心為半徑的圓；</p><p><b>　　--；</b></p><p>　　--制動(dòng)器的行程為0.76m；</p><p>　　--驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量的誤差范圍是。</p><p>　　該機(jī)器人允許6個(gè)直接運(yùn)動(dòng)點(diǎn)

43、的分析和不能被解決的分析。當(dāng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量保留它們的間隔時(shí)，我們只需要解決達(dá)到名義上的姿勢，而最好的辦法是用一種迭代數(shù)值方法如牛頓方法。該方法只需要計(jì)算機(jī)器人的雅克比矩陣，而這是很容易實(shí)現(xiàn)的。在我們的誤差分析中，我們總是先對名義上的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算并改變驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量在一個(gè)非常小的區(qū)間長度。此外，我們將用這種方法計(jì)算足夠遠(yuǎn)離奇點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。因此，正如這個(gè)例子所驗(yàn)證的，這種計(jì)算方法收斂很快（通常精度達(dá)到m和度只需做兩步的迭代計(jì)算）。</p>

44、;<p>　　這種機(jī)器人奇異點(diǎn)已經(jīng)被研究，但其對應(yīng)的曲線是相當(dāng)復(fù)雜的。然而幸運(yùn)的是，很容易找到一個(gè)在工作空間內(nèi)沒有奇異點(diǎn)的工作模型的設(shè)計(jì)（給定一個(gè)逆向運(yùn)動(dòng)方法）。我們所研究的機(jī)器人的工作空間相當(dāng)于一個(gè)內(nèi)接于以O(shè)為圓心，半徑為0.3的等邊三角形。三角形的一條邊平行于x軸。我們所研究的工作空間的定向角為0°和10°。這其中沒有第二類奇點(diǎn)。</p><p>　　我們必須研究以下三種不同

45、的情況：</p><p>　　兩個(gè)壓力并聯(lián)的結(jié)構(gòu)。這種情況不是定位誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，瞬時(shí)壓力沿著直線。因此這種情況出現(xiàn)是當(dāng)兩個(gè)桿平行的時(shí)候（圖13）。第二種類型結(jié)構(gòu)存在。圖13a表示相當(dāng)于局部最小定位誤差時(shí)的結(jié)構(gòu)。對這種平行四邊形的兩條邊和平臺(tái)的定位保持不變的結(jié)構(gòu)，第三個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)單獨(dú)運(yùn)轉(zhuǎn)。圖13b表示相當(dāng)于局部最大定位誤差時(shí)的結(jié)構(gòu)。在這種結(jié)構(gòu)中，如果第三根桿推動(dòng)移動(dòng)平臺(tái)往任意方向移動(dòng)

46、，那么它就相當(dāng)于是轉(zhuǎn)動(dòng)了。然而在我們的例子中，很容易去驗(yàn)證在我們研究的工作空間內(nèi)是不會(huì)出現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)的。</p><p>　　(b)兩個(gè)壓力相交于平臺(tái)中心的結(jié)構(gòu)。這種情況不是位置誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，很容易驗(yàn)證這種結(jié)構(gòu)不會(huì)出現(xiàn)在研究工作空間之內(nèi)。</p><p>　　(c)矢量的方向是不斷變化的結(jié)構(gòu)。圖14a和b表示了矢量的方向在研究區(qū)間里的變化量?？梢钥闯鲞@種變化

47、在研究區(qū)間里是非常微小的（小于0.1）。前面已經(jīng)提到，這個(gè)并不能保證最大位置誤差在輸入誤差邊界框的任意一個(gè)頂點(diǎn)上面出現(xiàn)。因此，目前我們已經(jīng)驗(yàn)證了在邊界框邊緣上的實(shí)例（通過對每條邊進(jìn)行20次離散）。就連一個(gè)位置誤差不在8個(gè)頂點(diǎn)的任意一個(gè)上面的名義上的結(jié)構(gòu)都沒有發(fā)現(xiàn)。所以在這個(gè)例子當(dāng)中我們的假設(shè)就成立的。</p><p>　　因此，對于這個(gè)機(jī)器人也一樣，也是只有八套驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量對局部最大定位誤差和局部最大位置誤差的計(jì)

48、算進(jìn)行測試。兩個(gè)位置等高線的結(jié)果在圖15和圖16中所表示出來。</p><p>　　可以看出，這個(gè)并聯(lián)機(jī)器人的最大定位誤差和最大位置誤差值接近一個(gè)常數(shù)，大約為11到17之間，僅僅略大于輸入誤差的范圍。這個(gè)可以用機(jī)器人在研究工作空間內(nèi)遠(yuǎn)離第二類奇點(diǎn)來解釋。并且在工作空間內(nèi)它所產(chǎn)生的定位誤差是一個(gè)幾乎為零的常數(shù)。因此正如參考文獻(xiàn)8的作者所驗(yàn)證的那樣，這款并聯(lián)機(jī)器人是進(jìn)行精確定位的最佳候選人。</p>&

49、lt;p><b>　　5 結(jié)論</b></p><p>　　這篇論文對三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人的局部最大定位和位置誤差進(jìn)行了詳細(xì)的研究。研究證明，當(dāng)距離奇異點(diǎn)足夠遠(yuǎn)，且至少兩個(gè)輸入出現(xiàn)一個(gè)最大誤差，局部最大定位和位置誤差才會(huì)出現(xiàn)。然而，當(dāng)僅有兩個(gè)輸入就處于最大誤差時(shí)， 一個(gè)簡單的程序，對于一個(gè)給定的設(shè)計(jì)，建議評估是否會(huì)出現(xiàn)輸出誤差。多虧了此次的詳細(xì)研究，提出了一個(gè)簡單的方法來計(jì)算給定的名