二維FIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)理論與二維優(yōu)化設(shè)計(jì)算法研究.pdf

1、二維數(shù)字濾波器做為一種典型的多維數(shù)字系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于圖像處理，聲納信號(hào)處理，雷達(dá)信號(hào)處理，地球物理信號(hào)處理等諸多方面。隨著現(xiàn)代電子設(shè)備所處理數(shù)據(jù)量的快速增加，高效而精確地設(shè)計(jì)各種（尤其是高階）二維數(shù)字濾波器在多維數(shù)字信號(hào)處理研究領(lǐng)域具有十分重要意義。與一維濾波器設(shè)計(jì)只涉及一元函數(shù)逼近不同，二維濾波器設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上是二元函數(shù)逼近問(wèn)題，由于二元函數(shù)逼近理論尚沒(méi)有一元函數(shù)逼近理論完善、成熟，一些有效的一維濾波器設(shè)計(jì)算法并不能擴(kuò)展到二維濾波器設(shè)

2、計(jì)中。即使能夠擴(kuò)展，擴(kuò)展算法在設(shè)計(jì)二維濾波器時(shí)也會(huì)出現(xiàn)數(shù)值困難，這是由于二維濾波器設(shè)計(jì)中所需處理數(shù)據(jù)遠(yuǎn)多于一維情況。以上這些都造成了二維濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題要比一維濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題復(fù)雜得多。
　　 高計(jì)算復(fù)雜性一直是二維濾波器設(shè)計(jì)中遇到的主要困難。近期，一些學(xué)者提出了二維優(yōu)化算法來(lái)設(shè)計(jì)二維濾波器，與傳統(tǒng)算法中把二維濾波器參數(shù)排成向量形式不同，這些二維算法處理數(shù)據(jù)時(shí)保持二維濾波器參數(shù)的原始矩陣形式，這有效提高了計(jì)算效率并節(jié)省了存儲(chǔ)空間。但

3、是，這些維算法還存在這樣或那樣的缺點(diǎn)，應(yīng)用受到限制。不過(guò)這些二維算法高效性表明如何充分利用二維濾波器參數(shù)成矩陣形式這一特性，將是發(fā)展高效穩(wěn)定的二維濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)的關(guān)鍵。本論文主要研究二維線性相位FIR數(shù)字濾波器的二維優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，旨在更加高效而精確地設(shè)計(jì)各種二維數(shù)字濾波器。
　　 論文首先把二維線性相位FIR數(shù)字濾波器由一般到特殊分成三類(lèi):復(fù)二維線性相位FIR濾波器，中心（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器和矩形（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器

4、。其中，矩形（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器是中心（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器的一種特殊形式，而中心（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器則是復(fù)二維線性相位FIR濾波器的一種特殊形式。為了更好地描述所提出的算法，分別推導(dǎo)出這三類(lèi)線性相位濾波器的相頻特性和幅頻特性函數(shù)，把其幅頻特性表達(dá)成待求參數(shù)矩陣的函數(shù)，并給出了這些待求參數(shù)矩陣與濾波器的單位脈沖響應(yīng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
　　 在二維濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)中，加權(quán)最小二乘(WLS)設(shè)計(jì)指標(biāo)由于其簡(jiǎn)單性和較好的設(shè)

5、計(jì)效果而被廣泛使用。另外，許多濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題，如:Minimax設(shè)計(jì)，最小lp范數(shù)設(shè)計(jì)，約束濾波器設(shè)計(jì)等都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為一系列WLS設(shè)計(jì)子問(wèn)題求解。故而，快速而穩(wěn)定的二維濾波器WLS設(shè)計(jì)算法對(duì)進(jìn)一步研究二維濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題十分重要。論文首先研究了矩形（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器的WLS優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。推導(dǎo)出此設(shè)計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)性條件，以矩陣方程形式表達(dá)。首先針對(duì)四加權(quán)WLS設(shè)計(jì)問(wèn)題，依據(jù)最優(yōu)性條件，提出一種矩陣迭代算法和一種矩陣對(duì)角化設(shè)計(jì)算法，并

6、證明了矩陣迭代算法的收斂性。而矩陣對(duì)角化設(shè)計(jì)算法的解是矩陣迭代算法的收斂極限。設(shè)計(jì)實(shí)例表明這兩種算法不僅計(jì)算非常精確，更重要的是效率非常高，甚至接近無(wú)加權(quán)最小二乘方法。論文接著把矩陣對(duì)角化設(shè)計(jì)算法與迭代重加權(quán)最小二乘(IRLS)技術(shù)相結(jié)合，得到一種四加權(quán)二維IRLS算法，它通過(guò)迭代地調(diào)整各頻帶上的加權(quán)值來(lái)削減最大幅值逼近誤差，同時(shí)，此算法計(jì)算效率也很高。
　　 進(jìn)一步，論文研究了任意加權(quán)情況下的矩形（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器WL

7、S設(shè)計(jì)問(wèn)題。還是依據(jù)最優(yōu)性條件，推導(dǎo)出三種矩陣迭代算法:矩陣迭代算法Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，和一種廣義共軛梯度算法。在三種矩陣迭代算法中算法Ⅰ是基本算法，算法Ⅱ、Ⅲ是對(duì)算法Ⅰ的改進(jìn)。用線性算子理論證明了矩陣迭代算法Ⅰ和Ⅱ的收斂性，而矩陣迭代算法Ⅲ在某些情況下可能不收斂。設(shè)計(jì)低階濾波器時(shí)三種矩陣迭代算法設(shè)計(jì)效率相差不大，但當(dāng)設(shè)計(jì)高階濾波器時(shí)，一般來(lái)說(shuō)算法Ⅱ，Ⅲ收斂更快。所提出的廣義共軛梯度算法是傳統(tǒng)共軛梯度算法在Hilbert內(nèi)積空間中的擴(kuò)展算法，它

8、以矩陣為變量，并用Hilbert空間內(nèi)積下的正交性代替?zhèn)鹘y(tǒng)共軛梯度算法中的共軛性。論文中用Hilbert空間內(nèi)積理論證明了它可以在有限步內(nèi)收斂。一般而言，廣義共軛梯度算法在設(shè)計(jì)精度、設(shè)計(jì)時(shí)間等方面要優(yōu)于三種矩陣迭代算法。這些算法都有各自的特點(diǎn)，論文通過(guò)計(jì)算復(fù)雜性分析和設(shè)計(jì)實(shí)例對(duì)各算法進(jìn)行了詳細(xì)分析，并和現(xiàn)有算法進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明，本文所提出的算法在設(shè)計(jì)時(shí)間，設(shè)計(jì)精度和數(shù)值穩(wěn)定性上比現(xiàn)有算法有很大提高。
　　 進(jìn)而，論文研究了

9、任意加權(quán)情況下中心（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器的WLS優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。首先建立此優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，其目標(biāo)函數(shù)中包含兩個(gè)矩陣變量。令目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，求出此優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件，它是由包含兩個(gè)矩陣變量的兩個(gè)矩陣方程構(gòu)成。根據(jù)最優(yōu)性條件，把矩形（反）對(duì)稱(chēng)情況的矩陣迭代算法Ⅰ和Ⅱ進(jìn)行適當(dāng)?shù)男薷?，擴(kuò)展到中心（反）對(duì)稱(chēng)濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題，并用線性算子理論證明擴(kuò)展算法收斂。再通過(guò)在兩個(gè)矩陣空間的Cartesian乘積空間上定義適當(dāng)?shù)膬?nèi)積，把矩形（反

10、）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器設(shè)計(jì)的廣義共軛梯度算法擴(kuò)展到中心（反）對(duì)稱(chēng)濾波器設(shè)計(jì)中，并用Hilbert空間內(nèi)積理論證明擴(kuò)展算法在有限步內(nèi)收斂。仿真實(shí)例表明所得這些擴(kuò)展算法能夠非常有效且精確地設(shè)計(jì)中心（反）對(duì)稱(chēng)二維FIR濾波器，優(yōu)于現(xiàn)有其他算法。
　　 接下來(lái)論文對(duì)復(fù)二維線性相位FIR濾波器任意加權(quán)情況的WLS優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。此優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)中包含了四個(gè)矩陣變量，從而求出的最優(yōu)性條件是四個(gè)矩陣方程聯(lián)立的矩陣方程組，方

11、程組中包含四個(gè)矩陣變量。在四個(gè)矩陣空間的Cartesian乘積空間上定義適當(dāng)?shù)膬?nèi)積，并根據(jù)此內(nèi)積定義把此前的廣義共軛梯度算法擴(kuò)展到復(fù)二維線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)中，最后仍用Hilbert空間內(nèi)積理論證明算法在有限步內(nèi)收斂。仿真實(shí)例說(shuō)明所得算法能夠非常有效且精確的設(shè)計(jì)復(fù)二維線性相位FIR濾波器。
　　 論文最后研究了二維線性相位FIR數(shù)字濾波器在最小lp范數(shù)指標(biāo)下的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。最小lp范數(shù)指標(biāo)能夠有效的消除吉布斯效應(yīng)，而且可以用

12、來(lái)逼近Minimax設(shè)計(jì)。論文提出了一種基于任意加權(quán)WLS技術(shù)的二維IRLS算法用于設(shè)計(jì)最小lp范數(shù)指標(biāo)下的二維線性相位FIR濾波器，包括矩形（反）對(duì)稱(chēng)、中心（反）對(duì)稱(chēng)和復(fù)二維線性相位FIR濾波器。這種二維IRLS算法是把經(jīng)典IRLS技術(shù)與本論文提出的廣義共軛梯度算法有效結(jié)合，并做適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，使之更適用于最小lp范數(shù)二維濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題。本論文廣義共軛梯度算法的高效性保證了新二維IRLS算法能夠快速收斂，最后的仿真結(jié)果也充分證實(shí)了這一點(diǎn)。