四元數(shù)及其在圖形圖像處理中的應(yīng)用研究.pdf

1、四元數(shù)理論是愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·盧云·哈密頓爵士于19世紀(jì)40-60年代創(chuàng)立，是復(fù)數(shù)在四維實空間的不可交換延伸，是有限維的實數(shù)結(jié)合除法代數(shù)，是Clifford代數(shù)的一個子代數(shù)。20世紀(jì)60年代末四元數(shù)開始在經(jīng)典力學(xué)中獲得實際應(yīng)用。1985年，Shoemake把四元數(shù)引入計算機圖形學(xué)，從此四元數(shù)在計算機圖形學(xué)、計算機動畫、計算機視覺和機器人等領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。1996年，彩色圖像的四元數(shù)模型被提出，四元數(shù)在彩色圖像上的應(yīng)用研究才開始發(fā)展。<

2、br>　　 本文將四元數(shù)方法與數(shù)字圖像處理尤其是彩色圖像處理的學(xué)科知識相結(jié)合，以四元數(shù)矩陣奇異值分解、四元數(shù)傅立葉變換、四元數(shù)卷積、四元數(shù)球面線性插值、四元數(shù)旋轉(zhuǎn)表示等理論作為主要數(shù)學(xué)工具，輔以其它信號處理方法，如主成分分析、對數(shù)極坐標(biāo)映射、相位相關(guān)、奈奎斯特一香農(nóng)采樣定理等，對彩色圖像處理中的若干問題進行了研究和探討。主要研究工作及成果如下：
　　 1.在四元數(shù)及四元數(shù)矩陣?yán)碚摰幕A(chǔ)上，構(gòu)造了四元數(shù)矩陣的等價實矩陣，并討論了

3、四元數(shù)矩陣奇異值分解(QSVD)與其等價實矩陣奇異值分解的關(guān)系。在彩色圖像的四元數(shù)模型下，利用四元數(shù)矩陣奇異值分解進行彩色圖像分解：X(q)=U(q)∧VH(q)=∑λiui(q)ViH(q)，彩色圖像矩陣X(q)被分解成一系列彩色特征圖像ui(q)viH(q)的線性組合，其中奇異值λi表征彩色圖像的不同分量的幅值(能量)。借助四元數(shù)主成分分析，討論了彩色圖像的壓縮、去噪、增強、邊緣檢測等處理。
　　 2.提出一種基于分塊QSV

4、D和Arnold變換的抗幾何攻擊的魯棒彩色圖像水印方案。因為矩陣的奇異值有穩(wěn)定性、縮放不變性、旋轉(zhuǎn)不變性、平移不變性、對換不變性等優(yōu)良性質(zhì)，所以我們選擇在彩色圖像的QSVD變換域上嵌入和提取水印；為提高QSVD的速度、增大嵌入水印的容量，我們采用分塊QSVD的方法；為增強提出方案的安全性和對裁剪攻擊的魯棒性，我們在水印嵌入前對它進行Arnold置亂預(yù)處理；為提高水印方案對旋轉(zhuǎn)攻擊的魯棒性，我們采用對數(shù)極坐標(biāo)映射(LPM)和相位相關(guān)方法，

5、先求得幾何攻擊的變換參數(shù)，再通過逆變換重新同步嵌入在奇異值中的水印和宿主圖像，之后再進行水印提取操作。實驗結(jié)果表明我們的水印方案對高斯噪聲、JPEG有損壓縮、低通濾波、中值濾波、裁剪、縮放、循環(huán)平移、旋轉(zhuǎn)等圖像攻擊都有很好的魯棒性。
　　 3.利用四元數(shù)對三維轉(zhuǎn)動的方便表述，構(gòu)造四元數(shù)旋轉(zhuǎn)邊緣檢測算子，對彩色圖像進行邊緣檢測。彩色圖像的邊界定義為顏色(包括亮度、色度和飽和度)的不連續(xù)跳變。根據(jù)相同或相近的顏色矢量繞固定軸旋轉(zhuǎn)36

6、0度后可重合或近似重合，相減后為0或近似為0(黑色)：而不同的顏色矢量旋轉(zhuǎn)后不會重合，差不為0的區(qū)別來獲得圖像的邊緣信息。實驗表明，我們提出的四元數(shù)旋轉(zhuǎn)邊緣檢測算子，能更好地保留原始彩色圖像輪廓特征(既包括亮度跳變也包括顏色跳變)，算法簡單易行，檢測效果好。
　　 4.浮雕顯示是指通過一定的處理，使二維平面圖像產(chǎn)生猶如雕刻般的凹凸效果。它能藝術(shù)地再現(xiàn)圖像，在平面上凸現(xiàn)景物及其層次，凝重而富有感染力，給人以強烈的視覺沖擊。我們提出

7、一種利用四元數(shù)旋轉(zhuǎn)邊緣檢測算子進行圖像浮雕顯示的新方法。實驗結(jié)果表明，該方法計算方便，運算速度快，顯示效果類似甚至優(yōu)于廣義模糊算子方法和形態(tài)學(xué)邊緣檢測算子方法，可以快速有效地獲得滿意的浮雕圖像。
　　 5.在四元數(shù)球面線性插值(slerp)基礎(chǔ)上，我們推導(dǎo)了雙球面線性插值(Bi-slerp)公式，并在四元數(shù)上用球面線性插值、雙球面線性插值、雙線性插值、雙三次插值以及Thiele型連分式建立的自適應(yīng)切觸有理插值等方法進行了彩色圖像

8、放大的實驗，對實驗結(jié)果做了比較、分析。Bi-Slerp方法放大效果接近主流的Bilinear插值方法，但因為只用了近鄰的4個點，所以插值精度不如用了4×4=16個鄰點信息的雙三次插值。而Thiele型連分式建立的自適應(yīng)切觸有理插值效果最好，有效地保持了圖像的高頻信息，即邊緣信息和細(xì)節(jié)信息，放大的圖像清晰度高，銳度好。
　　 6.四元數(shù)可方便地表示旋轉(zhuǎn)，但四元數(shù)代數(shù)主要應(yīng)用于三維空間。四維以上的空間，四元數(shù)就失效了。于是我們介紹了