三角級數(shù)中若干收斂性問題的研究.pdf

1、收斂性問題是Fourier級數(shù)中的核心問題之一.自從上世紀Lusin猜想的證明開始，關(guān)于函數(shù)滿足一定可積條件下的Fourier級數(shù)的收斂性問題得到長足的發(fā)展.而從系數(shù)數(shù)列所滿足的單調(diào)條件來分別考慮Fourier級數(shù)或者三角級數(shù)的一致收斂性以及平均收斂性的工作起源于英國學(xué)者Chaundy和Jolliffe在1916年的工作及Young在1913年的工作，由此產(chǎn)生了大量優(yōu)秀的成果.從最開始的遞減條件到最終本質(zhì)上不能減弱的MVBV條件.我們的

2、主要工作就是研究若干經(jīng)典Fourier問題在單調(diào)性上的推廣，內(nèi)容包含四個方面:一是Besov類的嵌入關(guān)系;二是一個重要三角不等式的若干推廣;三是在MVBV條件下Fourier級數(shù)的矩陣強逼近的嵌入性質(zhì);四是一類二元正弦積分的一致收斂性.
　　全文共分為五章:第一章，首先介紹本文所涉及的基本定義以及記號，然后介紹了若干單調(diào)性條件的定義，最后以一致收斂性和L1收斂性為例介紹在這些單調(diào)性條件上的已有研究結(jié)果.
　　在第二章中，我們

3、首次給出在兩類分組單調(diào)性條件（GBV條件和MVBV條件）下關(guān)于Besov類的嵌入性質(zhì):首先討論了兩個Besov類的相互嵌入關(guān)系，其次Lp空間中k-階光滑模的一個等價估計，優(yōu)于文[71]的結(jié)果，最后給出具有Fourier展開的Lp可積函數(shù)屬于Besov類的所應(yīng)具備的條件.
　　在第三章中，我們根據(jù)三角級數(shù)和三角積分的關(guān)系，推廣了Fourier分析中一個重要的三角不等式，建立相對應(yīng)的三角積分不等式，并得到了在MVBV條件下的推廣，同時

4、還通過舉例說明MVBV條件是保證三角積分不等式成立本質(zhì)上不可再減弱的單調(diào)性條件，最后還建立三角不等式與三角積分不等式在二元單調(diào)性條件和極限MVBV條件上的推廣.
　　在第四章中，我們給出了在MVBV條件下和β（β＞0）階光滑模下關(guān)于Fourier級數(shù)矩陣強逼近的嵌入性質(zhì).
　　在第五章中，首次提出了兩個新的二元函數(shù)類:SBVDF1(IR2)和SBVDF2(IR2+)，同時定義了二元正弦積分的形式微分和形式積分，發(fā)現(xiàn)MVBVD

5、F(IR2+)仍能保持形式微分或形式積分的正則一致收斂性，但對于SBVDF1(IR2+)和SBVDF2（IR2+），該性質(zhì)不一定成立，這和一維情形有差異，同時得到了SBVDF2（IR2+）和MVBVDF(IR+2)的關(guān)系，最后還發(fā)現(xiàn)了SBVDF2（IR2+）只能使得正則一致收斂性的充分性成立，這是由于極值和積分在二元情形下不可交換的原因造成的，因此只能在SBVDF1（IR2+）的情況下討論其必要性，這一點和一維情形也有相同.最后一小節(jié)，