doe實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)

1、實(shí) 驗(yàn) 設(shè) 計(jì) 基 礎(chǔ),課程安排,第一講：正交試驗(yàn)第二講：方差分析(ANOVA)第三講：正交試驗(yàn)的方差分析第四講：穩(wěn)健設(shè)計(jì)第五講：可靠性設(shè)計(jì),第一講：正交試驗(yàn),第一節(jié)：實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的意義及其發(fā)展過程第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE）,Design of Experiment為什么要進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)？,==> 讓我們先看兩個(gè)例子,例1:,這里有2

2、7個(gè)球， 其中有且只有一個(gè)球質(zhì)量為9克, 其它26個(gè)都為10克。給你一架天平，請找出重為9克的那個(gè)球。請問，你至少要稱幾次？,例2:,這里有9框球(每框100個(gè))， 其中有且只有一框里的球質(zhì)量全為9克, 其它8框里的球都為10克。給你一架天平，請找出里面的球重為9克的那個(gè)框。請問，你至少要稱幾次？,實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì),Design of Experiment為什么要進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)？,==>我們要進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)！,實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的意義:應(yīng)用數(shù)理

3、統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本知識(shí)，討論如何合理地安排試驗(yàn)、取得數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行綜合科學(xué)分析，從而盡快獲得最優(yōu)組合方案。在工程學(xué)領(lǐng)域是改進(jìn)制造過程性能的非常重要的手段。在開發(fā)新工序中亦有著廣泛的應(yīng)用。在工序開發(fā)的早期應(yīng)用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法能得出以下成果：1. 提高產(chǎn)量；2. 減少變異性，與額定值或目標(biāo)值更為一致；3. 減少開發(fā)時(shí)間；4. 減少總成本；,第一節(jié)：實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的意義及其發(fā)展過程,實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)在生產(chǎn)/制造過程中的位置：,生產(chǎn)/ 制造 過程,,,

4、,,,,,,,可控制因素,不可控制因素,,資源,產(chǎn)品,,,,統(tǒng)計(jì)技術(shù)在 生產(chǎn)/制造過程 中的應(yīng)用是對 過程中輸入

5、 的變量 (人,機(jī),料,法,環(huán)) 進(jìn)行有目的地優(yōu)化, 使輸出的結(jié)果更加理想.

6、 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 是其中較為有效的一種工程工具.,通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),通過實(shí)驗(yàn),控制其不良的影響程度,第一節(jié)：進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的意義及其發(fā)展過程,實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的發(fā)展過程:試驗(yàn)設(shè)計(jì)始于20世紀(jì)20年代，其發(fā)展過程大致可分為三個(gè)階段：1. 早期的方差分析法: 20世紀(jì)20年代由英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué) 家、數(shù)學(xué)家費(fèi)歇(R.A.Fisher)提出的，開始主要應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、生物學(xué)、遺傳學(xué)方面，取得了豐碩成果。二戰(zhàn)期間，英、美采用這

7、種方法在工業(yè)生產(chǎn)中取得顯著效果；2. 傳統(tǒng)的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法：以日本的田口玄一為代表；3. 信噪比試驗(yàn)設(shè)計(jì)與三階段設(shè)計(jì)：1957年，田口玄一提出信噪比 設(shè)計(jì)法和產(chǎn)品的三階段設(shè)計(jì)法。他把信噪比設(shè)計(jì)和正交表設(shè)計(jì)、方 差分析相結(jié)合，開辟了更為重要、更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。,為什么要進(jìn)行正交試驗(yàn):在實(shí)際生產(chǎn)中，影響試驗(yàn)的因素往往是多方面的，我們要考察各因素對試驗(yàn)影響的情況。在多因素、多水平試驗(yàn)中，如果對每個(gè)因素的每個(gè)水平

8、都互相搭配進(jìn)行全面試驗(yàn)，需要做的試驗(yàn)次數(shù)就會(huì)很多.比如對3因素7水平的試驗(yàn)，如果3因素的各個(gè)水平都互相搭配進(jìn)行全面試驗(yàn)，就要做73=343次試驗(yàn)，對6因素7水平，進(jìn)行全面試驗(yàn)要做76=117649次試驗(yàn)。這顯然是不經(jīng)濟(jì)的。我們應(yīng)當(dāng)在不影響試驗(yàn)效果的前提下，盡可能地減少試驗(yàn)次數(shù)。正交設(shè)計(jì)就是解決這個(gè)問題的有效方法。正交設(shè)計(jì)的主要工具是正交表。,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,右圖是一個(gè)比較典型的正交表.“L”表示此為正交

9、表, “8”表示試驗(yàn)次數(shù), “2”表示兩水平, “7”表示試驗(yàn)最多可以有7個(gè)因素 (包括單個(gè)因素及其交互作用).,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,正交表:,正交表的表示方法:一般的正交表記為Ln(mk)，n是表的行數(shù)， 也就是要安排的試驗(yàn)數(shù);k 是表中的列數(shù)，表示因素的個(gè)數(shù)；m 是各因素的水平數(shù)；常見的正交表:2水平的有 L4(23), L8(27), L12(211)

10、, L16(215)等；3水平的有 L9(34), L27(313)等；4水平的有 L15(45);5水平的有 L25(56);,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,正交表的兩條重要性質(zhì):1) 每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)中，每列中不同的 數(shù)字是1，2，3，它們各出現(xiàn)3次；,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,2) 在任意兩列中，將同一行的兩個(gè) 數(shù)字看成一個(gè)有序數(shù)對，則每一數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是

11、相等的，如L9(34)中有序數(shù)對共有9個(gè): (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), 它們各出現(xiàn)一次。所以，用正交表來安排試驗(yàn)時(shí)，各因素的各種水平的搭配是均衡的，這是正交表的優(yōu)點(diǎn)。,例1：(單指標(biāo)的分析方法)某煉鐵廠為提高鐵水溫度，需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案經(jīng)初步分析，主要有3個(gè)因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度， 每個(gè)因素

12、都 考慮3個(gè)水平，具體情況見表。問對這3個(gè)因素的3個(gè)水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度?,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,解：如果每個(gè)因素的每個(gè)水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗(yàn)，必須做試驗(yàn)33=27次?，F(xiàn)在我們使用L9(34)正交表來安排試驗(yàn)。,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,我們按選定的9個(gè)試驗(yàn)進(jìn)行試驗(yàn)，并將每次試驗(yàn)測得的鐵水溫度記錄下來：為了便于分析計(jì)算，我們把這些溫度值和正交表列在一起組成一個(gè)新表。另外，由于鐵水

13、溫度數(shù)值較大，我們把每一個(gè)鐵水溫度的值都減去1350，得到9個(gè)較小的數(shù)，這樣使計(jì)算簡單。,第三節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,分析表,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,解釋：K1這一行的3個(gè)數(shù)分別是因素A, B, C的第1水平所在的試驗(yàn)中對應(yīng)的鐵水溫度之和;K2這一行的3個(gè)數(shù)分別是因素A, B, C的第2水平所在的試驗(yàn)中對應(yīng)的鐵水溫度之和;K3這一行的3個(gè)數(shù)分別是因素A, B, C的第3水平所在的試驗(yàn)中對應(yīng)的鐵水溫度之和;k1,

14、 k2, k3這3行的3 個(gè)數(shù)，分別是K1, K2, K3這3行中的3個(gè)數(shù)的平均值；極差是同一列中， k1, k2, k33個(gè)數(shù)中的最大者減去最小者所得的差。極差越大，說明這個(gè)因素的水平改變時(shí)對試驗(yàn)指標(biāo)的影響越大。極差最大的那一列，就是那個(gè)因素的水平改變時(shí)對試驗(yàn)指標(biāo)的影響最大，那個(gè)因素就是我們要考慮的主要因素.通過分析可以得出：各因素對試驗(yàn)指標(biāo)(鐵水溫度)的影響按大小次序應(yīng)當(dāng)是C (底焦高度) A (焦比) B (風(fēng)壓)；最

15、好的方案應(yīng)當(dāng)是C2A3B2。與此結(jié)果比較接近的是第9號(hào)試驗(yàn)。為了最終確定上面找出的試驗(yàn)方案是不是最好的，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，并同第9號(hào)試驗(yàn)相比，取效果最佳的方案。,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,例2：(多指標(biāo)的分析方法---- 綜合平衡法)為提高某產(chǎn)品質(zhì)量，要對生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)。要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度 和裂紋度，前2個(gè)指標(biāo)越大越好，第3個(gè)指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方中有3個(gè)重要因

16、素：水分、粒度和堿度。它們各有3個(gè)水平。試進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,解：我們選用正交表L9(34)來安排試驗(yàn)。,第三節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,A水分,B粒度,C堿度,k3,k3,k3,k3,k3,k3,k3,k3,k3,k1,k1,k1,k1,k1,k1,k1,k1,k1,k2,k2,k2,分析：1) 粒度B對抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講，極差都是最大的，說明它是影響最大的因素，而且以取8

17、為最好；對裂紋度來講，粒度的極差不是最大，不是影響最大的因素，而且也以取8為最好；2) 堿度C對三個(gè)指標(biāo)的極差都不是最大的，是次要的因素。對抗壓強(qiáng)度和裂紋度來講，堿度取1.1最好；對落下強(qiáng)度，取1.3最好，但取1.1也不是太差，綜合考慮堿度取1.1；3) 水分A對裂紋度來講是最大的因素，以取9為最好；但對抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講，水分的極差都是最小的，是影響最小的因素。綜合考慮水分取9；最后較好的試驗(yàn)方案是B3C1A2

18、,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,例3：(多指標(biāo)的分析方法---- 綜合評(píng)分法)某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗(yàn)兩下指標(biāo)：核酸統(tǒng)一純度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個(gè)，各有3個(gè)水平。試通過試驗(yàn)分析找出較好的方案解：這是4因素3水平的試驗(yàn)，可以選用正交表L9(34)。試驗(yàn)結(jié)果如表。,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,總分 = 4 x 純度 + 1 x 回收率,分

19、析：1) 根據(jù)綜合評(píng)分的結(jié)果，直觀上第1號(hào)試驗(yàn)的分?jǐn)?shù)最高，應(yīng)進(jìn)一步分析它是不是最好的試驗(yàn)方案；2) 通過直觀分析法可以得知，最好的試驗(yàn)方案是A1B3C2D1。A，D 兩個(gè)因素的極差都很大，是對試驗(yàn)影響較大的兩個(gè)因素；3) 分析出來的最好方案，在已經(jīng)做過的9個(gè)試驗(yàn)中是沒有的?？梢园催@個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看能不能得出比第一號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案；綜合評(píng)分法是將多指標(biāo)的問題，通過加權(quán)計(jì)算總分的方法化

20、成一個(gè)指標(biāo)的問題，使對結(jié)果的分析計(jì)算都比較方便、簡單。,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)的步驟：1) 明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定要考核的試驗(yàn)指標(biāo)；2) 根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?，確定要考察的因素和各因素的水平；要通過對實(shí)際問題的具體分析選出主要因素，略去次要因素；3) 選用合適的正交表，安排試驗(yàn)計(jì)劃；4) 根據(jù)安排的計(jì)劃進(jìn)行試驗(yàn)，測定各試驗(yàn)指標(biāo)；5) 對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算分析，得出合理的結(jié)論；6)若最佳組合方案在試驗(yàn)中未出

21、現(xiàn)，如果條件允許，應(yīng)安排一次驗(yàn)證試驗(yàn)，進(jìn)行確認(rèn)。,第二節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法,混合水平正交表及其用法:混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。譬如：L8(41 x 24)就是一種混合水平的正交表。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),例4：(直接利用混合水平正交表)某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn)，共有4個(gè)因素：A(品種)、B(氮肥量)、C(氮、磷、鉀比例)、D(規(guī)格)。因素A是4水平的，另外3個(gè)因素是2水平的。試驗(yàn)指標(biāo)

22、是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),解：分析結(jié)果見下表。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),例5：(擬水平法)今有一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好，這個(gè)試驗(yàn)有4個(gè)因素，其中因素C是2水平的，其余3個(gè)因素都是3水平的，試安排試驗(yàn)。解：我們從第1、第2兩個(gè)水平中選一個(gè)水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫虛擬水平。一般應(yīng)根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取一個(gè)較好的水平。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),分析結(jié)

23、果見下表。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),總結(jié)：擬水平法是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問題的方法。在沒有合適的混合水平的正交表可用時(shí)，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗(yàn)的方法。它不僅可以對一個(gè)因素虛擬水平，也可以對多個(gè)因素虛擬水平。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),什么是交互作用：在多因素試驗(yàn)中，各因素不僅各自獨(dú)立地在起作用，而且各因素還經(jīng)常聯(lián)合起來起作用。也就是說，不僅各個(gè)因素的水平改變

24、時(shí)對試驗(yàn)指標(biāo)有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對試驗(yàn)指標(biāo)也有影響。這后一種影響就叫做因素的交互作用。因素A和因素B的交互作用記為A X B.,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),單個(gè)因子的影響與其交互作用的影響比較,,30 m,50Kg 磷,25 m,,50Kg 鉀,20kg 磷30kg 鉀,,40 m,交互作用 = 總效果 - (20kg 磷的效果 + 30kg 鉀的效果),,,,交互作用表（以正交表L8(27)為例）：用正交表安排

25、有交互作用的試驗(yàn)時(shí)，我們把兩個(gè)因素的交互作用當(dāng)成一個(gè)新的因素來看，讓它占有一列，叫交互作用列。,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),例6：(水平數(shù)相同)我們用一個(gè)3因素2水平的有交互作用的例子來說明某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于3個(gè)因素A，B，C，每個(gè)因素都有兩個(gè)水平。每兩個(gè)因素之間都有交互作用，試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。具體如下：,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),解：這是3因素2水平的試驗(yàn)。3個(gè)因素A, B, C要占3列，它們之間的

26、交互作用A x B, B x C, A x C 又占3列?？捎谜槐鞮8(27).,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),分析：從極差大小看，影響最大的因素是C，以2水平為好；其次是AxB，以2水平為好，第3是因素A，以1水平為好，第4是因素B以1水平為好。列出A和B進(jìn)行組合的幾種效果表：從此表可知，A和B的最佳組合為A1B2。AxC 和 BxC的極差很小，對試驗(yàn)的影響很小，忽略不計(jì)。綜合分析，最好的方案應(yīng)是A1B2C

27、2，這與試驗(yàn)4相吻合。,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),作 業(yè) 要 求,1. 按照正交試驗(yàn)(直觀分析法)的原理，解決你實(shí)際工作中的一個(gè)問題，并總結(jié)成實(shí)驗(yàn)分析報(bào)告。2. 補(bǔ)充作業(yè)(另附),第一節(jié)：問題的提出第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,第二講：方差分析（ANOVA）,第一節(jié)：問題的提出,先看一個(gè)例子：考察溫度對某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗(yàn)，測得結(jié)果如下

28、：要分析溫度的變化對得率的影響,總平均得率=89.6%,第一節(jié)：問題的提出,從平均得率來看，溫度對得率的影響?1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試驗(yàn)過程中各種偶然性因素的干擾及測量誤差等所致，這一類誤差統(tǒng)稱為試驗(yàn)誤差；2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗(yàn)中的傾向有所差別。如 65oC 與 70oC相比較，第一次65oC比70oC 好，而后二次70oC比65oC 好。產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗(yàn)

29、誤差的干擾。由于試驗(yàn)誤差的存在，對于不同溫度下得率的差異自然要提出疑問，這差異是試驗(yàn)誤差造成的，還是溫度的影響呢?,第一節(jié)：問題的提出,1) 由于溫度的不同引起得率的差異叫做條件變差； 例中的全部15個(gè)數(shù)據(jù)，參差不齊，它們的差異叫做總變差(或總離差)。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗(yàn)誤差，一是條件變差。2) 方差分析解決這類問題的思想是：a. 由數(shù)據(jù)的總變差中分出試驗(yàn)誤差和條件變差，并賦予它們的數(shù)量表示；b. 用條件變差

30、和試驗(yàn)誤差在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說明條件的變化對指標(biāo)影響不大；反之，則說明條件的變化影響是很大的，不可忽視；c. 選擇較好的工藝條件或確定進(jìn)一步試驗(yàn)的方向；,第一節(jié)：問題的提出,變差的數(shù)量表示：有n個(gè)參差不齊的數(shù)據(jù) x1, x2, …, xn, 它們之間的差異稱為變差。如何給變差一個(gè)數(shù)量表示呢?1) 一個(gè)最直觀的想法是用這n個(gè)數(shù)中最大值與最小值之差，即極差來表達(dá)，用R記之；2) 變差平方和，以S記之。S

31、是每個(gè)數(shù)據(jù)離平均值有多遠(yuǎn)的一個(gè)測度，它越大表示數(shù)據(jù)間的差異越大。,其中,第一節(jié)：問題的提出,對變差平方和的進(jìn)一步討論：例：測得某高爐的六爐鐵水含碳量為: 4.59，4.44，4.53，4.52，4.72，4.55，求其變差平方和。,第一節(jié)：問題的提出,對變差平方和的進(jìn)一步討論(2)：我們看到S的計(jì)算是比較麻煩的，原因是計(jì)算x時(shí)有效位數(shù)增加了因而計(jì)算平方時(shí)工作量就大大增加。另外，在計(jì)算x時(shí)由于除不盡而四舍五入，在計(jì)算S時(shí)，累計(jì)

32、誤差較大。為此常用以下公式:,對于前面的例子,,,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出：例2：在上例的基礎(chǔ)上在同樣的工藝條件下又測了四爐鐵水，它們是：4.60, 4.42, 4.68, 4.54, 加上原來的六爐共十爐，求其變方和。,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(2)：平均數(shù)與過去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。我們要設(shè)法消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少給平方和帶來的影響。一個(gè)直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推

33、知這不是一個(gè)最好的辦法，而應(yīng)把項(xiàng)數(shù)加以修正，這個(gè)修正的數(shù)就叫做自由度。,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(3)：設(shè)有n個(gè)數(shù)y1, y2, … , yn, 它們的平方和 的自由度是多少呢? 這就看{yi} 之間有沒有線性約束關(guān)系，如果有m個(gè)(0<m<n)線性約束方程 a11y1+a12y2+… +a1nyn = 0 a21y1+a22y2+… +a2nyn = 0

34、 … am1y1+am2y2+… +amnyn = 0并且這m個(gè)方程相互獨(dú)立，即方程系數(shù)矩陣的秩等于m, 則S的自由度是n - m.,,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(4)：根據(jù)這個(gè)定義，如令yi = xi - x (i=1, 2, … , n)則顯然 {yi}之間有一個(gè)線性約束關(guān)系，即即m = 1, a11 = a12 = … = a1n = 1所以變差平方和的自由度 = n - m = n

35、- 1,,第一節(jié)：問題的提出,均方的概念：平均平方和(簡稱均方)等于變差平方和除以相應(yīng)的自由度f.平均平方和以MS表示，它的開方叫做均方差對例1、MS = 0.043483/5 = 0.0086966, 均方差為0.09326對例2、MS = 0.07949/9 = 0.0088322，均方差為0.09398我們看到六爐和十爐的MS是很相近的，這與工藝條件相同是吻合的，說明用MS反映波動(dòng)的大小是更為合理的。,假設(shè)：單因素

36、A有a個(gè)水平A1，A2, … … , Aa，在水平Ai (i=1, 2, … … , a)下，進(jìn)行ni次獨(dú)立試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表：我們假定在各個(gè)水平Ai下的樣本來自具有相同方差σ2，均值分別為μi的正態(tài)總體Xi~N(μi , σ2 )，其中μi , σ2均為未知，并且不同水平Ai下的樣本之間相互獨(dú)立。,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,總離差平方和的分解:記在水平Ai 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為

37、總離差平方和為將ST改寫并分解得,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,總離差平方和的分解(2):上面展開式中的第三項(xiàng)為0若記 SA= SE=則有： ST = SA + SEST表示全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)與總平均值之間的差異SA表示在Ai水平下的樣本均值與總平均值之間的差異, 是組間差SE表示在Ai水平下的樣本均值與樣本值之間的差異, 是組內(nèi)差， 它是由

38、隨機(jī)誤差引起的。,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,自由度的概念:在實(shí)際計(jì)算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動(dòng)程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來反映波動(dòng)的大小還是不夠的。我們要設(shè)法消去數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少給平方和帶來的影響。為此引入了自由度的概念。一個(gè)直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，但應(yīng)把項(xiàng)數(shù)加以修正，這個(gè)修正的數(shù)就叫自由度。ST的自由度為 ( n - 1);SA的自由度為 ( a - 1);SE的自由度為

39、( n - a);均方:MSA = SA/ (a-1); MSE = SE/ (n-a),第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,F檢驗(yàn)法：統(tǒng)計(jì)量 F = MSA/MSE ~ F (a - 1, n - a) ，對于給出的α，查出Fα(a - 1, n - a)的值， 由樣本計(jì)算出SA和SE， 從而算出F值。從而有如下判斷：若F > Fα (a - 1, n - a)，則說明試驗(yàn)條件的變化對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；

40、若F < Fα(a - 1, n - a)，則說明試驗(yàn)條件的變化對試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響；為了方便計(jì)算，我們采用下面的簡便計(jì)算公式：記 i= 1, 2, … … , a, 則有,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,方差分析表:,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,例1：(單因素的方差分析)人造纖維的抗拉強(qiáng)度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是有疑問的?，F(xiàn)確定棉花百分比的5個(gè)水平:

41、 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。每個(gè)水平中測5個(gè)抗拉強(qiáng)度的值，列于下表。問：抗拉強(qiáng)度是否受摻入棉花百分比的影響(α＝0.01)?,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,解: a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, … … , 5), n = 25ST, SA, SE的自由度分別為24，4，20,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,解(2):已給出α=0.01，查表得Fα(a-1, n-

42、a)=F0.01(4,20)= 4.43這里F=14.76>4.43=F0.01(4, 20)說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強(qiáng)度有影響。,,第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析,無交互作用的方差分析:設(shè)兩因素A，B，A有a個(gè)水平A1，A2, … … , Aa，B有b個(gè)水平，B1，B2, … …, Bb, 在每一個(gè)組合水平(Ai, Bj)下，進(jìn)行一次無重復(fù)試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表：設(shè)Xij~N(μij , σ2

43、 )，各xij相互獨(dú)立。,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,總離差平方和的分解:記在水平Ai 下的樣本均值為記在水平Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將ST改寫并分解得記為ST = SA (效應(yīng)平方和)+ SB (效應(yīng)平方和)+ SE (誤差平方和),第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,自由度:ST的自由度為 ( ab - 1);SA的自由度為 ( a - 1);SB的自由度為 ( b - 1);

44、SE的自由度為 ( a - 1)(b-1);均方:,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,F檢驗(yàn)法:統(tǒng)計(jì)量對于給出的α，查出Fα(a - 1, (a - 1)(b-1)), Fα(b - 1, (a - 1)(b-1))的值， 由樣本計(jì)算出F1, F2值。從而有如下判斷：若F 1> Fα (a - 1, (a-1)(b-1))，則說明因素A的變化對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若F2 > Fα (b - 1, (a-1)(

45、b-1))，則說明因素B的變化對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；為了方便計(jì)算，我們采用下面的簡便計(jì)算公式：,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,方差分析表:,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,例2：(雙因素?zé)o交互作用的方差分析)使用4種燃料，3種推進(jìn)器作火箭射程試驗(yàn)，每一種組合情況做一次試驗(yàn)，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料(Ai)與各種推進(jìn)器(Bj)對火箭射程有無顯著影響(α=0.05),第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,解:這里a=4, b

46、=3, ab=12,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,解(2):給出的α=0.05, 查出F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) = 5.14因?yàn)镕1=0.43<4.76, F2=0.92<5.14故不同的燃料、不同的推進(jìn)器對火箭射程均無顯著影響。,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,有交互作用的方差分析(分析過程略):自由度:ST的自由度為 ( abn - 1); （ n為重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)）S

47、A的自由度為 ( a - 1);SB的自由度為 ( b - 1);SAxB的自由度為(a-1)(b-1):SE的自由度為 ab(n-1);均方:,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,有交互作用的方差分析(2):簡化公式,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,有交互作用的方差分析(3):方差分析表,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,第一節(jié)：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析第四節(jié)：擬水

48、平法的方差分析第五節(jié)：重復(fù)試驗(yàn)的方差分析,第三講：正交試驗(yàn)的方差分析,計(jì)算離差的平方和:設(shè)用正交表安排m個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為n, 試驗(yàn)的結(jié)果分別為x1, x2, … … , xn. 假定每個(gè)因素有na個(gè)水平，每個(gè)水平做a次試驗(yàn)，則n = ana.1) 總離差的平方和ST記記為 其中ST反映了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，說明各次試驗(yàn)的結(jié)果之間的差異越大。試驗(yàn)結(jié)果之所

49、以有差異，一是由因素水平的變化所引起的，二是因?yàn)橛性囼?yàn)誤差。,第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟,2) 各因素離差的平方和下面以計(jì)算因素A的離差的平方和SA為例來說明。設(shè)因素A安排在正交表的某列，可看作單因素試驗(yàn)。用xij表示因素A的第i個(gè)水平的第j個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果(i = 1, 2, …, na; j = 1, 2, …, a)，則有由單因素的方差分析記為 其中Ki 表示因素的第i 個(gè)

50、水平a次試驗(yàn)結(jié)果的和。SA反映了因素A的水平變化時(shí)所引起的試驗(yàn)結(jié)果的差異，即因素A對試驗(yàn)結(jié)果的影響。用同樣的方法可以計(jì)算其它因素的離差平方和。對于兩因素的交互作用，我們把它當(dāng)作一個(gè)新的因素。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2,第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟,3) 試驗(yàn)誤差的離差的平方和SE設(shè)S因+交為所有因素以及要考慮的交互作用

51、的離差的平方和，因?yàn)?ST = S因+交 + SE, 所以 SE = ST - S因+交計(jì)算自由度:試驗(yàn)的總自由度 f總 = 試驗(yàn)總次數(shù) - 1 = n - 1各因素的自由度 f因 = 因素的水平數(shù) - 1 = na - 1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積fAxB = fA X fB試驗(yàn)誤差的自由度fE = f總 - f因+交,第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟,計(jì)算平均離差平方和(均方):在計(jì)算各因

52、素離差平方和時(shí)，我們知道，它們都是若干項(xiàng)平方的和, 它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此不能確切反映各因素的情況。為了消除項(xiàng)數(shù)的影響，我們計(jì)算它們的平均離差的平方和。因素的平均離差平方和 = (因素離差的平方和)/因素的自由度 = S因/f因試驗(yàn)誤差的平均離差平方和 = (試驗(yàn)誤差的離差的平方和)/試驗(yàn)誤差的自由度 = SE / fE求F比:將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出F值。這個(gè)比值的大小反

53、映了各因素對試驗(yàn)結(jié)果影響程度的大小。,第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟,對因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn):給出檢驗(yàn)水平α，從F分布表中查出臨界值Fα(f因，fE)。將在“求 F 比”中算出的F值與該臨界值比較，若F> Fα(f因，fE)，說明該因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。,第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,例1 (無交互作用):磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件

54、的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項(xiàng)指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗(yàn)找出好的條件，以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。根據(jù)工程技術(shù)人員的經(jīng)驗(yàn)，取試驗(yàn)因素和相應(yīng)水平如下表：,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,解：(選用正交表L9(34)表頭設(shè)計(jì)：試驗(yàn)計(jì)劃與試驗(yàn)結(jié)果：,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,詳細(xì)計(jì)算如下：,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,列方差分析表如下：最佳條

55、件的選擇：對顯著因子應(yīng)取最好的水平，對不顯著因子的水平可以任意選?。辉趯?shí)際中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇，上面的例子中對因子A與B應(yīng)選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,驗(yàn)證試驗(yàn)：對A2B2C1進(jìn)行三次試驗(yàn)，結(jié)果為：234，240，220，平均值為231.3. 此結(jié)果是滿意的,例2(有交互作用):為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮3個(gè)因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度

56、。每個(gè)因素都取3個(gè)水平，具體數(shù)值見表?？紤]因素之間的所有一級(jí)交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,解：(選用正交表L27(313)根據(jù)前面的公式作如下計(jì)算：,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,由此得出類似地最后計(jì)算總平方和，得出,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,用公式計(jì)算自由度：再用公式計(jì)算平均離差的平方和，然后計(jì)算F值，再與F分布表中查出的相應(yīng)的臨界值

57、Fα(f因，fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。通常，若F> F0.01(f因，fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個(gè)星號(hào)表示；若F F0.05(f因，fE)，則稱該因素的影響是顯著的，用一個(gè)星號(hào)表示；若F<F0.05(f因，fE)，就稱該因素的影響是不顯著的，不用星號(hào)表示。,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,方差分析表：因?yàn)镾AXC和SBXC都很小，和誤差項(xiàng)合并，作為誤差項(xiàng)。通過F值與臨界值比較

58、看出，因素A,B,C和交互作用AXB對試驗(yàn)的影響都是顯著的，從F值的大小看，因素C最顯著，以下依次為A，B，AXB,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,方差分析(2)：由于這里的試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取各因素中K的最大值所對應(yīng)的水平。因素A應(yīng)取第1水平，因素B應(yīng)取第3水平，因素C應(yīng)取第3水平。交互作用AXB也是顯著的，但由于AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把A和B的各種組合的試驗(yàn)結(jié)果對照起來分析

59、。從表中看出，當(dāng)A取第1水平、B取第3水平時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果為13.17，是所有結(jié)果中的最大值，因此取A1B3。于是，最優(yōu)方案就取A1B3C3.,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計(jì)的方差分析相同，只要在計(jì)算時(shí)注意到各水平數(shù)的差別就行了?，F(xiàn)以L8(4X24)混合型正交表為例：總離差平方和為因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：4水平因素：,第三節(jié)：混合型正交設(shè)

60、計(jì)的方差分析,例4:某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為便于校直冷拉，需要進(jìn)行一次退火熱處理,以降低合金的硬度。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi),硬度越低越好。試驗(yàn)的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)?？疾斓闹笜?biāo)是洛氏硬度(HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有3個(gè)： 退火溫度A，保溫時(shí)間B，冷卻介質(zhì)C。,第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析,解：,第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析,方差分析表：從F值和臨界值的比較看出，各因

61、素均無顯著影響，相對來說，B的影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素B，把因素A，C都并入誤差。這樣一來，SE就變成SA + SC + S4 + S5 = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.250，再列方差分析表。,第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析,方差分析表(2)：臨界值 F0.05(1，6) = 5.99, F0.01(1, 6) = 13.75從F值和臨界值的比較來看，因素B

62、就是顯著性因素了。因素影響從大到小的順序?yàn)锽CA，選定的最優(yōu)方案應(yīng)為A2B2C1,第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析,例5:鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時(shí)間，先安排酸洗試驗(yàn)?？疾熘笜?biāo)是酸洗時(shí)間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時(shí)間越短越好。要考慮的因素及其水平如表：選取正交表L9(34)，將因素C虛擬1個(gè)水平。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第2水平并安排在第1列。,第四節(jié)：擬

63、水平法的方差分析,解：虛擬水平的因素C的第1水平重復(fù)3次，第二水平重復(fù)6次。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：,第四節(jié)：擬水平法的方差分析,方差分析表：從F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，因素D的影響大些。我們把影響最小的因素B并入誤差，使得新的誤差平方和為SE‘= SE + SB，再列方差分析表,第四節(jié)：擬水平法的方差分析,方差分析表(2)：

64、由此看出，因素D有顯著影響，因素A，B均無顯著影響。因素重要性的順序?yàn)镈CAB，最優(yōu)方案為A3B1C2D3.,第四節(jié)：擬水平法的方差分析,第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計(jì)第二節(jié)：產(chǎn)品的三階段設(shè)計(jì)第三節(jié)：信噪比,第四講：穩(wěn)健設(shè)計(jì),穩(wěn)健性：穩(wěn)健性(robustness), 也叫魯棒性，是指因素狀況發(fā)生微小變差對因變量影響的不敏感性。換句話說，產(chǎn)品性能與某個(gè)因素有關(guān)，因素狀態(tài)變化時(shí)，產(chǎn)品的性能也隨之變化。如果因素狀態(tài)的變化對產(chǎn)品性能的

65、影響不大，我們就說產(chǎn)品性能對該因素的變化是不敏感的，又稱是穩(wěn)健性的，或說產(chǎn)品性能對該因素的變化具有穩(wěn)健性。如使產(chǎn)品性能對所用材質(zhì)變差不靈敏，就能在一些情況下使用較低廉的或低等級(jí)的材料；使產(chǎn)品對制造尺寸變差不靈敏，可以提高產(chǎn)品的可制造性、降低制造費(fèi)用；使產(chǎn)品對使用環(huán)境變化不靈敏，就能保證產(chǎn)品使用的可靠性和降低操作費(fèi)用；,第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計(jì),穩(wěn)健設(shè)計(jì)：在實(shí)際問題中存在不少誤差因素，它們影響著產(chǎn)品質(zhì)量。對這些誤差因素可以

66、采取兩種辦法：1) 消除這些因素: 實(shí)際上往往很難做到，有的情況下，即使能做到,也要花費(fèi)很大力氣和很高的費(fèi)用，這是不值得的；2) 盡量降低誤差因素的作用，使產(chǎn)品性能因誤差因素變化而變化的敏感性最小。根據(jù)這種指導(dǎo)思想，對產(chǎn)品的性能、質(zhì)量和成本綜合考慮，選擇出最佳設(shè)計(jì)，既提高了產(chǎn)品質(zhì)量，又降低了成本，這種設(shè)計(jì)方法叫做穩(wěn)健設(shè)計(jì)；穩(wěn)健設(shè)計(jì)是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，它的兩個(gè)主要工具是信噪比和正交表，用信噪比作為特征數(shù)衡量質(zhì)量，用正交表

67、安排試驗(yàn)。,第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計(jì),何謂三階段設(shè)計(jì)：三階段設(shè)計(jì)就是在專業(yè)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，用正交設(shè)計(jì)方法選擇最佳參數(shù)組合和最合理的容差范圍，盡量用價(jià)格低廉的、低等級(jí)的零部件來組裝整機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。三階段設(shè)計(jì)由以下三個(gè)階段組成：1) 系統(tǒng)設(shè)計(jì) (system design)2) 參數(shù)設(shè)計(jì) (parameter design)3) 容差設(shè)計(jì) (tolerance design)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)質(zhì)量由設(shè)計(jì)人員的專業(yè)技術(shù)水平和應(yīng)

68、用這些專業(yè)知識(shí)的能力所決定。三階段設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是參數(shù)設(shè)計(jì)和容差設(shè)計(jì)。,第二節(jié)：產(chǎn)品的三階段設(shè)計(jì),參數(shù)設(shè)計(jì)：在系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，對影響產(chǎn)品輸出特性值的各項(xiàng)參數(shù)及其水平，運(yùn)用DOE方法，找出使輸出特性值波動(dòng)最小的最佳參數(shù)水平組合的一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，零部件、元器件全部采用優(yōu)質(zhì)品，裝出的整機(jī)不一定就是優(yōu)質(zhì)品，這是因?yàn)檎麢C(jī)質(zhì)量不僅與元器件、零部件本身的質(zhì)量有關(guān)，更主要的是取決于參數(shù)水平的組合。參數(shù)設(shè)計(jì)就是要找出參數(shù)水平的