力學(xué)課的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備一

1、附錄A 矢量概述,矢量概念自然界中有一類量既有大小、又有方向，這類量稱為矢量（向量）。標(biāo)量：只有數(shù)值大小的量。,例子：標(biāo)量：距離，速率，質(zhì)量，密度，體積，溫度，電阻，功，能量，熱量，功率，勢(shì)能，電勢(shì)能等矢量：位移，速度，加速度，力，動(dòng)量，力矩，電磁場(chǎng)強(qiáng)度等等,表示方法： ， ，a（黑體），（a，b，c）,矢量沒有固定的空間位置,矢量的模： ， , a單位矢量：大小為一的矢量

2、 /,,,大小,力的合成：矢量的加法/減法矢量加法(幾何方法)矢量的分解與合成(分析方法),矢量的運(yùn)算,矢量的加法矢量：a,ba+b=r,矢量的相加必須是同一類量相加,已知兩矢量： 、 ，求 擴(kuò)展：多邊形法則,I,II,,交換律 a+b=b+a 結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c),矢量的負(fù)值：等值反向b的負(fù)值：-b減法：a-b=a+(-b),矢量的減法,矢量

3、的分解與合成,在給定坐標(biāo)系中，矢量可以分解為,在不同的坐標(biāo)系中，一個(gè)矢量可以有許多組分量。確定了坐標(biāo)系，一個(gè)矢量的分量才能唯一地確定。,空間直角坐標(biāo)系右手系,矢量線性運(yùn)算的坐標(biāo)式假設(shè)兩個(gè)矢量a=axi+ayj+azk=(ax,ay,az)b=bxi+byj+bzk=(bx,by,bz)則，a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx,ay+by,az+bz)a-b =(ax-

4、bx,ay-by,az-bz),矢量的代數(shù)運(yùn)算的解析分析,解：以東為x軸，北為y軸建立直角坐標(biāo)系則v1=80i v2=120j v=v1+v2=80i+120j求其模，得到速率大小為144km/s利用正切求夾角tgg=120/80=1.5?g=56°,矢量的模、方向角及其在軸上的投影,矢量的模：矢量的數(shù)值大小|a|=方向角、方向余弦與矢量在坐標(biāo)軸上的投影矢

5、量a=axi+ayj+azk=(ax,ay,az)方向角a，b，g方向余弦cos a =ax/|a|，cos b = ay/|a|，cos g =ax/|a|且它們滿足 cos 2a+ cos 2b+ cos 2g=1,例子,已知兩點(diǎn)坐標(biāo)A（2,2, ）和B（1,3,0），求矢量 的模、方向余弦和方位角解： =（1-2,3-2,0- ）=（-1,1, - ） cos a

6、 =-1/2，cos b = 1/2，cos g =- /2 a =2p/3，b = p/3，g =3p/4,矢量的三種乘法：數(shù)乘、點(diǎn)乘和叉乘,矢量乘以標(biāo)量（數(shù)乘）：標(biāo)量k與矢量 的乘積定義為一個(gè)新的矢量，它的大小等于 的大小的k倍。如果k是正的，則新矢量與 方向相同；如果k是負(fù)的，則方向相反。設(shè)有矢量a與實(shí)數(shù)l，規(guī)定l與a的乘積是一個(gè)矢量，記為la，該矢量的模為|la|=|l|· |a|可以證明

7、數(shù)乘矢量滿足下列運(yùn)算律:結(jié)合律： l (ma)=(lm ) a分配律： (l+m)a=la+ma,例子:,不同類的矢量乘法運(yùn)算—產(chǎn)生新的物理量,兩個(gè)矢量 和 的標(biāo)積（點(diǎn)乘）寫作 ，定義為： 其中A為矢量 的大小，B為矢量 的大小， 為兩矢量間的夾角。,,譬如：f?s=w,矢量的向量積,定義：設(shè)矢量c是由兩個(gè)矢量a和b按以下規(guī)定確定：|c|=|a||b|sinα，α是a與b之間

8、的夾角c的方向垂直于a與b決定的平面，c的指向按右手規(guī)則確定，即右手四指以不超過p的角度，從a轉(zhuǎn)向b時(shí)，拇指的指向就是c的指向。則稱矢量c是a與b的向量積（叉乘，叉積，外積），記為c=a×b,a,b,c,|a×b|,例子： f×r=L,a,例：兩個(gè)矢量位于x -y平面內(nèi)；矢量A大小為1.5并與x軸成30?角；矢量B大小為2.0并與x軸成100?角，求A×B。,|A ?B|＝AB sinq ＝

9、(1. 5 ? 2. 0)sin 70? ＝ 2.8,方向與A、B成右手坐標(biāo)系,向量積,向量積a×b的模| a×b |等于矢量a，b為鄰邊的平行四邊形面積推導(dǎo)：1） a×a = 0 2）兩個(gè)非零矢量a×b=0??a||b 3） 對(duì)于單位矢量 ， ， ，有： 4)根據(jù)右手定則：向量積的運(yùn)算性質(zhì)a×b= -b

10、×a 分配率 (a+b)×c= a×c+ b×c結(jié)合律 l(a×b)=(la)×b=a×(lb),不交換！,行列式,矢量與物理定律,假定有 a, b和c 三個(gè)矢量，在某一坐標(biāo)系xyz中，分別具有分量 。再假定這三個(gè)矢量有關(guān)系即 現(xiàn)在設(shè)想有另一坐標(biāo)系 x′y′z ′，經(jīng)過坐標(biāo)系的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)后，矢量間的關(guān)系保持不變。矢量語(yǔ)言是表述物理定律的一種

11、理想語(yǔ)言。,,,微積分簡(jiǎn)介,微分,一元函數(shù)：y=f(x),自變量x的增量Δx,函數(shù)的增量Δy=y(x+Δx)-y(x),,,y=Ax2函數(shù)的增量含有高階無窮小，其它函數(shù)類似。,自變量增量Δx→0時(shí)，稱為自變量微分,改記成dx相應(yīng)的函數(shù)增量Δy稱為函數(shù)微分,記成dydy和dx的關(guān)系：dy=y(x+dx)-y(x),微商(導(dǎo)數(shù)),定義,思考：在微商的過程中，忽略了高階無窮小的貢獻(xiàn)。,思考：,計(jì)算函數(shù)y=Ax2的微商,,,例子：變速直線運(yùn)

12、動(dòng)的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,,,,,自由落體運(yùn)動(dòng),例子：求非均勻棒的密度（一點(diǎn)的線密度,這段的質(zhì)量,這段上的平均密度,,因而,物體運(yùn)動(dòng)的速度與曲線切線的斜率都?xì)w結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限,微商的幾何意義,割線的極限位置——切線位置,為曲線,上點(diǎn),在,處的,法線方程為,處切線（如果存在）的斜率。,由此：曲線,切線方程為,切線方程與法線方程,

13、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則,微商的運(yùn)算法則,證明,函數(shù)的和的微商是它們的微商的和。,,乘法法則,,高階無窮小的貢獻(xiàn),計(jì)算函數(shù)y=x3的微商,乘法法則,n整數(shù),上式對(duì)n的一切數(shù)值都成立。,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,鏈鎖法則,函數(shù)的微商，而該函數(shù)本身又是另一個(gè)函數(shù)的函數(shù),思考：假設(shè)y=3x2且x=6t，dy/dt是什么？,在Δx→0之前，普通分?jǐn)?shù)的乘積,,,常見的微商常數(shù)f′(C)=0冪函數(shù)f(x)=xn如y=x2, y

14、’=2x,,三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(sinx)’=cosx(cosx)’=-sinx,時(shí)，函數(shù)有改變量,它們之比為,因此,當(dāng)給自變量以改變量,指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)當(dāng)a=e時(shí)，(ex)’= ex對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,函數(shù)中沒有突變，它們是平滑的。數(shù)學(xué)家稱這些函數(shù)為連續(xù)的。假設(shè)了函數(shù)確有微商，這是指它們是可微的。,如果對(duì)函數(shù)f(x)的微商f’(x)在求微商，得到一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)f(x)的二階微商(導(dǎo)數(shù))。,速度，加速度,54,微

15、分的逆運(yùn)算---積分,已知某函數(shù)的微商，求原來的函數(shù)的過程叫做逆微分。逆微分也被稱為積分。,有時(shí)使用“原函數(shù)”來替代逆微商。,思考：原函數(shù)為什么會(huì)有一個(gè)常數(shù)C。,如果兩個(gè)函數(shù)g(t)和f (t)具有相同的微商, g′(t)和f′(t)，則它們的差g(t) - f(t)為常量，所以g(t) - f (t)=C,其中C是常數(shù)。因而g(t)=f (t)+C。換句話說，如果f (t)是f′(t)的一個(gè)逆微商，則所有的逆微商是f(t)+C,其中C

16、是任意常數(shù)。,一質(zhì)點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)，其加速度為g(取垂直向下為正)，則其速度公式為,如果要確定常數(shù)C，需要知道一個(gè)約束條件，例如：t=0時(shí)刻的初速度v0。 ∴ C= v0,t=0時(shí)刻的位移z0。如果t=0時(shí)刻初速度v0 =0和位移z0 =0,初始條件或邊界條件,積分與求面積,一質(zhì)點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)，其加速度為g(取垂直向下為正),加速度的一個(gè)原函數(shù)是速率，因而在這里面積函數(shù)等于物體從靜止下落的速率：v(t)= v0 -gt 。(t=0時(shí)

17、刻初速度為v0),一質(zhì)點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)，v=gt (垂直向下為正和t=0時(shí)刻初速度v0 =0),將t作為變數(shù)，面積函數(shù)0.5gt2是t的函數(shù)。面積函數(shù)是從0開始的曲線的一個(gè)原函數(shù)。面積為0.5gt2，等于在時(shí)刻t所下落的距離。,萊布尼茨引入符號(hào)把這個(gè)面積表示為,積分號(hào)下面的函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，而從a到t的間隔叫做積分區(qū)間，伴隨著稱為積分限的數(shù)字a和t。,如果你想要求出曲線y = f (x)下從x = a到x = t的區(qū)域面積，首先

18、求出給定函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，即其微商是f(x)的任一函數(shù)P(x)。然后所需的面積就是P(t)減去P(a)。,符號(hào) 表示把所有的這些窄矩形的面積加在一起的過程。,60,微積分的第一基本定理,將微商和積分聯(lián)系起來積分 對(duì)于上限的微商等于被積函數(shù)在t處的值。,微積分的第二基本定理,如果P(x)是f (x)的任意一個(gè)原函數(shù),引入符號(hào),,萊布尼茨引入積分的一種特殊符號(hào)

19、 ，積分號(hào)上沒有附著任何積分限，用這種形式去表示f(x)的任意積分。,符號(hào) 往往被叫做不定積分,符號(hào) 往往被叫做定積分,偏微分與全微分,針對(duì)多變量函數(shù)，舉例：z=f(x,y),假設(shè)y不變，僅討論z=f(x,y)隨x變化，定義函數(shù)z在(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。,假設(shè)x不變，僅討論z=f(x,y)隨y變化，定義函數(shù)z在(x,y)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)。,精品課件！,精品課件