控制系統(tǒng)根軌跡

1、09:16,控制系統(tǒng)仿真 -基于MATLAB語言,主講教師：張磊中國海洋大學(xué) 工程學(xué)院,2024/3/28,09:16,控制系統(tǒng)仿真,根軌跡分析,系統(tǒng)的時(shí)域分析,09:16,§5．根軌跡分析,例1：已知單位負(fù)反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，分析開環(huán)參數(shù)K的變化對(duì)系統(tǒng)的影響。（簡單起見設(shè)a=4）,系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為s=0和s=-4，閉環(huán)傳遞函數(shù)、系統(tǒng)特征方程為,系統(tǒng)特征方程的根(系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn))為,,1.1.

2、 根軌跡法基礎(chǔ)--分析的基本原理,09:16,1.K=0時(shí)，兩個(gè)特征根為s=0和s=-4，開環(huán)極點(diǎn)。2.04時(shí)，系統(tǒng)的兩個(gè)根離開實(shí)軸，其實(shí)部保持常數(shù)-2，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)欠阻尼狀態(tài)。K值越高振蕩頻率越高，系統(tǒng)振蕩加劇。,§5．根軌跡分析,09:16,如果系統(tǒng)具有可變的環(huán)路增益，則閉環(huán)極點(diǎn)的位置取決于所選擇的環(huán)路增益，因此分析增益的變化和閉環(huán)極點(diǎn)在S平面的移動(dòng)關(guān)系（根軌跡）不僅可以判斷穩(wěn)定性還可以協(xié)助分析時(shí)域響應(yīng)特性，對(duì)系統(tǒng)的分析

3、和設(shè)計(jì)有較大意義。優(yōu)點(diǎn)：分析的結(jié)果直接、方便。缺點(diǎn)：分析過程計(jì)算量大，對(duì)高階系統(tǒng)較難實(shí)現(xiàn)（需求解高階特征方程）。,本次課程的主要內(nèi)容1、根軌跡法基礎(chǔ)2、用根軌跡法分析系統(tǒng)3、MATLAB在根軌跡分析中的綜合應(yīng)用(rltool),1）什么是根軌跡和根軌跡法2）MATLAB函數(shù)繪制根軌跡,1）根軌跡繪圖和基本分析方法2）系統(tǒng)暫態(tài)特性的分析,§5．根軌跡分析,1）圖形分析工具rltool2）綜合分析應(yīng)用實(shí)例,09:1

4、6,§5．根軌跡分析,1.1. 根軌跡法基礎(chǔ)--分析的基本原理,根軌跡是指當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上的軌跡。通常這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益K，而在無零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。,如何根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡，并確定增益,根軌跡法由開環(huán)傳遞函數(shù)直接尋求閉環(huán)特征根軌跡的變化規(guī)律，而無需求取高階系統(tǒng)特征根的方法。是一種由分析開環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)在復(fù)平面

5、上的分布出發(fā)，用圖解表示特征方程的根與開環(huán)系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)（增益K ）之間全部關(guān)系的方法。利用此方法可以在參數(shù)確定的情況下，分析系統(tǒng)的性能；在系統(tǒng)及性能指標(biāo)已知的情況下，確定系統(tǒng)的參數(shù)。,09:16,§5．根軌跡分析,分析上例所示的典型二階系統(tǒng)，1.K在0—正無窮整個(gè)變化范圍內(nèi)取值，特征根均位于左半S平面，K取任何值系統(tǒng)均穩(wěn)定。2.根軌跡的起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)，開環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，階躍信號(hào)作用下系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)誤差為0。

6、3.K的增加使系統(tǒng)阻尼系數(shù)減小，階躍響應(yīng)由過阻尼到臨界阻尼，再到欠阻尼狀態(tài)。4.對(duì)于要求的系統(tǒng)性能，將其變換為期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置，由根軌跡圖可以確定出對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值。,09:16,§5．根軌跡分析,1、判斷穩(wěn)定性 如果當(dāng)開環(huán)增益K從零變化到無窮大時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入右半S平面上，因此該環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有的增益K都是穩(wěn)定的。而根軌跡越過虛軸進(jìn)入右半S平面，則其交點(diǎn)的K值為臨界穩(wěn)定開環(huán)增益。2、確定系統(tǒng)參數(shù) 對(duì)于要求的

7、系統(tǒng)性能，將其變換為期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置，由根軌跡圖可以確定出對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值。,09:16,§5．根軌跡分析,1、根軌跡圖的規(guī)則 1)連續(xù)性 增益K連續(xù)變化時(shí)，特征方程的根也連續(xù)變化，根軌跡是復(fù)平面上連續(xù)變化的直線或曲線； 2)對(duì)稱性 特征方程的根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸； 3)根軌跡支數(shù) n階系統(tǒng)有n個(gè)根，有n支根軌跡，都將隨K的變化而變化，； 4)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 分別為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)。通

8、常將系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)分別在根軌跡圖上標(biāo)記為×和○； 5)根軌跡和虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界參數(shù)取值為臨界增益K。,1.1. 根軌跡法基礎(chǔ),根軌跡是閉環(huán)特征方程的根，K=0時(shí)根為n個(gè)極點(diǎn)；K=無窮大時(shí)根為m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。n=m時(shí)，根軌跡開始于n個(gè)極點(diǎn)終止于m個(gè)零點(diǎn)；n>m時(shí)，n支軌跡開始于n個(gè)極點(diǎn)并終止于m個(gè)零點(diǎn)，有n-m支終止于無窮遠(yuǎn)處n<m時(shí)，m支軌跡終止于m個(gè)零點(diǎn)，其中

9、有n支開始于n個(gè)極點(diǎn)，有m-n支來自于無窮遠(yuǎn)處（除系統(tǒng)特征方程變形等特殊情況外較少存在）,09:16,§5．根軌跡分析,1.2. MATLAB函數(shù)繪制根軌跡圖,1、零極點(diǎn)圖的繪制 （1）pzmap(sys)直接在S平面上繪制零極點(diǎn)位置 （2）[p,z]=pzmap(sys)不繪圖，通過函數(shù)的返回值得到相應(yīng)的零、極點(diǎn)2、根軌跡圖的繪制 （1）rlocus(sys)繪制SISO系統(tǒng)的根軌跡曲線 （2）rlocus(sy

10、s,k)繪制增益為k時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn) （3）rlocus(sys1,’r’,sys2,’y:’,…)在同一復(fù)平面上繪制多個(gè)SISO系統(tǒng)的根軌跡，可以用顏色及線段區(qū)分 （4）[r,k]= rlocus(sys)或[r]= rlocus(sys,k)不繪圖，通過函數(shù)的返回值得到閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根矩陣r，開環(huán)增益k。,09:16,§5．根軌跡分析,1.2. MATLAB函數(shù)繪制根軌跡圖,3、根軌跡對(duì)應(yīng)增益 （1）[k,ploes

11、]=rlocfind(sys)在對(duì)象根軌跡圖中顯示光標(biāo)，記錄由用戶選擇點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的增益和極點(diǎn)并記錄于k,ploes 。 （2）[k,ploes]=rlocfind(sys,p)指定要得到增益的根向量p，得到該根對(duì)應(yīng)的增益和其他根。4、根軌跡網(wǎng)格（等阻尼系數(shù)和等自然振蕩角頻率線）（1）sgrid()在連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡圖上繪出網(wǎng)格線，由等阻尼系數(shù)和等自然振蕩角頻率線組成，阻尼線范圍從0到1，間隔為0.1；自然振蕩角頻率線范圍從0到10

12、，間隔為1rad/s。注意在繪制前必須有根軌跡圖。（2）sgrid(z,wn)可以指定阻尼系數(shù)和自然振蕩角頻率進(jìn)行繪制。,09:16,§5．根軌跡分析,例2：單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制根軌跡圖，并求出與實(shí)軸分離點(diǎn)、虛軸的交點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的增益。,num=1den=conv([1 0],conv([1 2.73], [1 2 2]))rlocus(num,den) %繪制根軌跡圖[k,p]=rlocfind(num

13、,den) %給出指定點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的增益和極點(diǎn),MATLAB操作演示,09:16,§5．根軌跡分析,例3、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制根軌跡圖，尋找系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的增益K，并繪制系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)證。,num=1den=conv([1 1],[1 6 10])rlocus(num,den) %繪制根軌跡圖grid[k,p]=rlocfind(num,den) %給出指定點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的增益和極點(diǎn),%繪制不同k值下的脈沖響應(yīng)曲

14、線k=[50 100 101 102 103 200]n = length(k)den=conv([1 1],[1 6 10])i=1for T=k num=T [num1,den1]=feedback(num,den,1,1) subplot(1,n,i); impulse(num1,den1); title(strcat('k=',num2str(T))); i=i+1end,脈沖響應(yīng)驗(yàn)證演示

15、,09:16,§5．根軌跡分析,例4：已知帶有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制根軌跡圖，并選擇系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)給出的根軌跡增益，最后求系統(tǒng)k=0.5時(shí)的階躍響應(yīng)曲線。,num=1den=conv([1 0],conv([1 1],[0.5 1]))sys1=tf(num,den)[num1,den1]=pade(1,3)%延時(shí)環(huán)節(jié)sys=sys1*tf(num1,den1)rlocus(sys) %繪制根軌跡圖gri

16、d[k,p]=rlocfind(sys) %給出指定點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的增益和極點(diǎn),k=[0.5 70 200]n = length(k)denk=conv([1 0],conv([1 1],[0.5 1]))i=1for T=k numk=T [num1,den1]=pade(1,3)%延時(shí)環(huán)節(jié) [num,den]=series(numk,denk,num1,den1) [nums,dens]=feedback(num,den,

17、1,1) subplot(1,n,i); impulse(nums,dens); i=i+1end,09:16,§5．根軌跡分析,2.1. 增加開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,1、附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 例5：設(shè)二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，增加開環(huán)零點(diǎn)s=-z、分析增加該零點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)的影響。,i=1;den=conv([1 0],[1 2 2]);for z=[realmax 3 2 0]%取一組零點(diǎn)值(最大可用

18、正實(shí)數(shù)1.7977e+308) num=[1 z]; subplot(2,2,i);%使用子圖功能 rlocus(num,den);%繪制根軌跡圖 title(strcat('Root Locus z=',num2str(z))); i=i+1 %設(shè)定被描畫的子圖位置end,09:16,§5．根軌跡分析,Z=正無窮,Z=3,Z=2,Z=0,增加零點(diǎn)使根軌跡左移，漸近線夾角增大，系統(tǒng)的

19、穩(wěn)定性提高，性能變好。常使用增加零點(diǎn)的方式改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能。所附加的零點(diǎn)越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，其作用也越強(qiáng)。,09:16,§5．根軌跡分析,i=1;den=conv([1 0],[1 2 2]);for z=[8 3 2 0] %增加不同零點(diǎn)用較大正實(shí)數(shù)代替 num=[1 z]; %分子系數(shù)的設(shè)定 [num1,den1]=cloop(num,den);%求單位負(fù)反饋 subplot(2,2,i);%

20、使用子圖功能 impulse(num1,den1);%繪制脈沖響應(yīng) title(strcat('Root Locus z=',num2str(z))); %axis([0 20 -0.5 1])%設(shè)置繪圖區(qū)坐標(biāo)比例 i=i+1 end,繪制脈沖響應(yīng)曲線，分析增加零點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)的影響。,09:16,§5．根軌跡分析,2、附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 例6：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，增加開環(huán)極點(diǎn)s=

21、-p、分析增加該極點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)的影響。,i=1;num=1;for p=[4 0]%設(shè)置所增加的極點(diǎn) den=conv([1 0],conv([1 2],[1 p]))%定義傳遞函數(shù)分子系數(shù) subplot(1,2,i);%使用子圖功能 rlocus(num,den); %繪制根軌跡 title(strcat('Root Locus p=',num2str(p))); i=i+1;

22、%指定子圖位置end,09:16,§5．根軌跡分析,p=4,p=0,增加極點(diǎn)后系統(tǒng)階次變高，使根軌跡支數(shù)增加，漸近線夾角減小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，性能變壞。所附加的極點(diǎn)越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，其作用也越強(qiáng)。,09:16,§5．根軌跡分析,i=1;num=1;%定義參數(shù)Tp=[8 4 0];%設(shè)定增加的極點(diǎn)n=length(Tp)%求增加的極點(diǎn)個(gè)數(shù)for p=Tp%極點(diǎn)個(gè)數(shù)循環(huán) de

23、n=conv([1 0],conv([1 2],[1 p]))%定義分母系數(shù) [num1,den1]=cloop(num,den);%求閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù) subplot(1,n,i);%使用子圖功能 impulse(num1,den1);%繪制脈沖響應(yīng)曲線 title(strcat('Root Locus p=',num2str(p))); axis([0 25 -0.5 1])%設(shè)置坐

24、標(biāo) i=i+1;end,繪制脈沖響應(yīng)曲線，分析增加不同極點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)的影響。,09:16,§5．根軌跡分析,3、同時(shí)附加開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 例7：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，同時(shí)增加開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)s=-p、s=-z。分析比較不同p、z值下，增加零極點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)的影響。 1) zp; 3)z,p值比較相近; 4) p值遠(yuǎn)大于z值（5倍以上）,%暫定零點(diǎn)z=1,%分別取p=z,p>>z,p>z,

25、p<z繪制根軌跡圖i=1;num=1;z=1;for p=[1 5 2 0] num=[1 z]; den=conv([1 0],conv([1 2],conv([1 4],[1 p]))) subplot(2,2,i); rlocus(num,den); title(strcat('Root Locus z=',num2str(z), 'p=',num2str(p))); axi

26、s([-8 2 -5 5]); i=i+1end,09:16,§5．根軌跡分析,z=p=1,z=1,p=5,z=1,p=0,z=1,p=2,09:16,§5．根軌跡分析,%暫定零點(diǎn)z=1,%分別取p=z,p>>z,p>z,p<z繪制根軌跡圖i=1;num=1;z=1;for p=[1 5 2 0] num=[1 z]; den=conv([1 0],conv([1 2],conv

27、([1 4],[1 p]))) [num1,den1]=cloop(num,den); subplot(2,2,i); impulse(num1,den1); title(strcat('Root Locus z=',num2str(z), 'p=',num2str(p))); axis([0 30 -0.3 0.15]); i=i+1end,2）繪制脈沖響應(yīng)曲線，分析增加不同零極點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)

28、的影響。,09:16,§5．根軌跡分析,z=p=1,z=1,p=5,z=1,p=0,z=1,p=2,09:16,§5．根軌跡分析,2.2.利用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性,1、若已知閉環(huán)零極點(diǎn)分布，則其系統(tǒng)特性就可以唯一確定，對(duì)于給定的輸入，可以求出其輸出響應(yīng)和性能指標(biāo)；2、若極點(diǎn)均分布于S平面虛軸左側(cè)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；3、穩(wěn)定系統(tǒng)的特性主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的位置，該極點(diǎn)與虛軸的距離是其他零點(diǎn)與虛軸距離的5倍以上；

29、4、在主導(dǎo)極點(diǎn)的基礎(chǔ)上，增加極點(diǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)速度降低、超調(diào)量減少5、在主導(dǎo)極點(diǎn)的基礎(chǔ)上，增加零點(diǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)速度增高、超調(diào)量增大增加零極點(diǎn)的作用隨該點(diǎn)與虛軸的距離減小而增強(qiáng)6、一對(duì)靠近的零極點(diǎn)（零極點(diǎn)與虛軸的距離是該對(duì)零極點(diǎn)之間距離的10倍以上）的作用可以忽略,09:16,§5．根軌跡分析,閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性決定于閉環(huán)極點(diǎn)Pi，極點(diǎn)相對(duì)于虛軸的位置決定了系統(tǒng)的暫態(tài)性能1、左右分布決定終值：Pi在虛軸左側(cè)暫態(tài)分量最終衰減到

30、0；Pi在右側(cè)則暫態(tài)分量一定發(fā)散；Pi在虛軸上則暫態(tài)分量等幅振蕩；2、虛實(shí)分布決定振型：Pi在實(shí)軸暫態(tài)分量非周期，Pi在虛軸暫態(tài)分量周期；3、遠(yuǎn)近分布決定快慢：Pi距虛軸越遠(yuǎn)衰減越快,09:16,§5．根軌跡分析,3.1.圖形界面工具rltool,MATLAB提供的系統(tǒng)根軌跡分析與設(shè)計(jì)的圖形界面工具，可以利用它很方便的繪制系統(tǒng)的根軌跡，并可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。步驟：1.建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型sys2.在命令窗口中輸入：rl

31、tool(sys) 3.在菜單中選中：import 在工作空間或Mat-file中選擇系統(tǒng)導(dǎo)入系統(tǒng)模型4.點(diǎn)擊選擇分析選項(xiàng)，操作功能豐富的菜單5.配置零極點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的校正設(shè)計(jì),根軌跡編輯器,,rltool操作演示,09:16,§5．根軌跡分析,3.1.圖形界面工具rltool,num=1;den=conv([1 0], [1 2 2]);sys=tf(num,den),例8、設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，使用rlt

32、ool生成根軌跡分析圖形界面，試增加零點(diǎn)或極點(diǎn)并判斷增加零點(diǎn)或極點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)的影響。,rltool示例演示,09:16,§5．根軌跡分析,3.2.綜合應(yīng)用實(shí)例,例9：單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；2）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的增益K3）分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)性能；4）利用rltool對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析,主要命令：num=[1 1];den=conv([1 0],conv([1 -1],[1 4]);sys=tf(n

33、um,den)rlocus(num,den); [k,p]=rlocfind(num,den) %給出指定點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的增益和極點(diǎn)k=[0.5 70 200]%根據(jù)求得的臨界k值設(shè)定一組增益值K[nums,dens]=feedback(num,den,1,1)%求系統(tǒng)的單位負(fù)反饋impulse(nums,dens);step(nums,dens)%求響應(yīng)曲線title(strcat(’k=‘,num2str(k)));

34、%設(shè)置標(biāo)題rltool(sys)%啟動(dòng)rltool工具進(jìn)行分析,1、建立系統(tǒng)模型2、繪制根軌跡圖3、找出臨界增益值K4、繪制不同增益值K情況下的階躍響應(yīng)曲線5、啟動(dòng)rltool圖形界面工具進(jìn)行分析,09:16,§5．根軌跡分析,課堂練習(xí)題：1、單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制不同條件下的根軌跡圖，并分析結(jié)果。 1)a=10, 2)a=9, 3)a=8, 4)a=3,2、單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函