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1、1,,,物理學(xué)專業(yè)必修課程,數(shù)學(xué)物理方法,Mathematical Method in Physics,西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,2,第一章 波動(dòng)方程和行波法,3,引言1.1 弦振動(dòng)方程1.2 行波法,4,,數(shù)理方程(泛定方程)(三類)在物理學(xué)的研究中起著重要作用。如何從物理學(xué)的實(shí)際問題中導(dǎo)出數(shù)理方程呢?我們先從弦振動(dòng)方程入手。,引 言,5,基本步驟:,1.建立坐標(biāo)系(時(shí)間,空間),2.選擇表征所研究過程的物理量,表征
2、物理量的選擇常常是建立一個(gè)新方程的起點(diǎn)。 (一個(gè)或幾個(gè))。,數(shù)學(xué)模型,物理模型,6,3.尋找(猜測(cè))物理過程所遵守的物理定律或物理公理; 4.寫出物理定律的表達(dá)式,即數(shù)學(xué)模型。,7,一、弦的橫振動(dòng)方程 二、定解條件的提出 三、三類定解問題,1.1 弦振動(dòng)方程,8,一、 弦的橫振動(dòng)方程(均勻弦的微小橫振動(dòng)) 演奏弦樂(二胡,提琴)的人用弓在弦上來回拉動(dòng),弓所接觸的是弦的很小的一段,似乎只能引起這個(gè)小
3、段的振動(dòng),實(shí)際上振動(dòng)總是傳播到整個(gè)弦,弦的各處都振動(dòng)起來。振動(dòng)如何傳播呢?,9,實(shí)際問題:設(shè)有一根細(xì)長(zhǎng)而柔軟的弦,緊繃于A,B兩點(diǎn)之間,在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極為微小的橫振動(dòng)(以某種方式激發(fā),在同一平面內(nèi),弦上各點(diǎn)的振動(dòng)方向相互平行,且與波的傳播方向(弦的長(zhǎng)度方向)垂直),求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,1. 物理模型,10,2. 分析 弦是柔軟的,即在放松的條件下,把弦彎成任意的形狀,它都保持靜止??嚲o后,相鄰小段之間有拉力,
4、這種拉力稱為弦中的張力,張力沿線的切線方向。,11,由于張力的作用,一個(gè)小段的振動(dòng)必帶動(dòng)它的鄰段,鄰段又帶動(dòng)它自己的鄰段,這樣一個(gè)小段的振動(dòng)必然傳播到整個(gè)弦,這種振動(dòng)的傳播現(xiàn)象叫作波。弦是輕質(zhì)弦(其質(zhì)量只有張力的幾萬分之一)。跟張力相比,弦的質(zhì)量完全可以略去。,,,,,,,,12,① 模型實(shí)際上就是:柔軟輕質(zhì)細(xì)弦(“沒有質(zhì)量”的弦) ② 將無質(zhì)量的弦緊繃,不振動(dòng)時(shí)是一根直線,取為 x 軸。,③ 將
5、弦上個(gè)點(diǎn)的橫向位移記為,13,14,,3. 研究建立方程① 如圖,選弦繃緊時(shí)(不振動(dòng))直線為 x 軸,,,,,,,,,,,,,15,,,為表征物理量。,,,② 弦離開平衡位置的位移記為,③因弦的振動(dòng)是機(jī)械振動(dòng),基本規(guī)律為:,然而弦不是質(zhì)點(diǎn),故,對(duì)整根弦并不適用。但整根弦可以細(xì)分為許多極小的小段,每個(gè)小段可以抽象為質(zhì)點(diǎn)。,16,即整根弦由相互牽連的質(zhì)點(diǎn)組成,對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)即每個(gè)小段可應(yīng)用 .,17,④ 對(duì)弦的每
6、一小段dx,沿x方向(縱向)沒有運(yùn)動(dòng),沿 x方向所受合外力為零。任一小段弦在振動(dòng)過程中只受到相鄰段對(duì)它的張力和施加在弦上的外力。 設(shè)單位長(zhǎng)度上受到的橫向外力為,18,于是由牛頓第二定律對(duì) dx 所對(duì)應(yīng)的這一小段弦有:,①,②,19,20,,,,,∵,21,于是①、②化簡(jiǎn)為:,22,即,令,則上式為:,23,,,,,應(yīng)用微積分中值定理:,,24,,,,,,,,,即,—— 弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程,其中:,,,量綱分析:,,,
7、25,即,:振動(dòng)的傳播速度,它與弦的張力的平方根成正比,與弦的線密度的平方根成反比。,∴,26,,,,對(duì)樂器來講,意味著弦繃的越緊,波速越大;弦的質(zhì)料越密,波速越小。,則得弦的自由橫振動(dòng)方程:,27,注意:上述推導(dǎo)過程中,并沒有考慮重力。不僅弦振動(dòng),一維波動(dòng)方程,如彈性桿的橫振動(dòng)。二維波動(dòng)方程,如薄膜的橫振動(dòng)方程,管道中小振動(dòng)的傳播,理想傳輸線的電報(bào)方程等均可用上述波動(dòng)方程描述。故稱為一類方程,即波動(dòng)方程。(也是稱其為泛定方程的遠(yuǎn)大)
8、可描述一類物理現(xiàn)象。流體力學(xué)與聲學(xué)中推導(dǎo)三維波動(dòng)方程,這里不再一一推導(dǎo)。,28,二、定解條件的提出 1、必要性。導(dǎo)出方程后,就得對(duì)方程進(jìn)行求解。但是只有泛定方程不足以完全確定方程的解,即不足以完全確定具體的物理過程,因?yàn)榫唧w的物理過程還與其初始狀態(tài)及邊界所受的外界作用有關(guān),因而必須找一些補(bǔ)充條件,用以確定該物理過程。,29,從物理角度看:泛定方程僅表示一般性(共性),要為物體的運(yùn)動(dòng)個(gè)性化附加條件。 從數(shù)學(xué)角度看:微分方程
9、解的任意性也需附加條件。通解中含任意函數(shù)(解不能唯一確定)。通過附加條件確定任意函數(shù)(常數(shù)),從而確定解。這些附加條件就是前面所談的問題的“歷史”與“環(huán)境”,即初始條件和邊界條件,統(tǒng)稱為定解條件。,30,2、初始條件 在求解含時(shí)間t變量的數(shù)理方程時(shí),往往要追溯到早些某個(gè)所謂“初始”時(shí)間的狀況(“歷史” ),于是稱物理過程初始狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式為初始條件。,31,,,,如弦振動(dòng)方程:,其初始條件為:,注意:( a)初始條件應(yīng)是整個(gè)
10、系統(tǒng)的初始狀態(tài),而不是系統(tǒng)中個(gè)別點(diǎn)的初始狀態(tài)。,32,,,如:一根長(zhǎng)為 l 的兩端固定的弦,用手把它的中點(diǎn)朝橫向拔開距離h,然后放手任其振動(dòng)(初始時(shí)該就為放手的時(shí)刻),則初始條件應(yīng)為:,33,,(b) 時(shí)間 t 的 n 階方程需 n個(gè)初始條件,n 個(gè)常數(shù)。,如:,34,3、邊界條件 求解方程時(shí)還需考慮邊界狀況(周邊“環(huán)境”)(邊界狀況將通過逐點(diǎn)影響所討論的整個(gè)區(qū)域),稱物理過程邊界狀況的表達(dá)式為邊界條件,或稱為邊值條件。
11、 邊界條件在數(shù)學(xué)上分為三類:,35,,,,,第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件):直接規(guī)定所研究的物理量在邊界上的數(shù)值,,36,第二類邊界條件(Neuman 邊界條件):規(guī)定所研究物理量在邊界外法線方向 上的方向?qū)?shù)的數(shù)值.,,,37,,第三類邊界條件(混合邊界條件 也叫Robin邊界條件 ):規(guī)定所研究物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的值,,,,:常系數(shù),38,,,第一、二、三類齊次邊界條件。,39,⑴ 銜接條件,
12、集中地,由于一些原因,在所研究的區(qū)域里出現(xiàn)躍變點(diǎn),泛定方程在該點(diǎn)失去意義。如波動(dòng)方程(弦),如果有橫向力,作用于,點(diǎn),,這就成了弦的折點(diǎn)。在點(diǎn),斜率,的左極限,不同于右極限,,因而,不存在,,4、其它條件,40,在各段上,弦振動(dòng)方程有意義,但它是一根弦的兩段,并不是各自振動(dòng)的。從數(shù)學(xué)上來講,不可能在兩端上分別列出定解問題。兩段可作為一個(gè)整體來研究,兩段的振動(dòng)是相互關(guān)聯(lián)的。,41,42,,,,,,,雖是折點(diǎn),但它們連續(xù),即,①,②,①、②
13、合稱為銜接條件,這時(shí)振動(dòng)問題適定。,43,,,,,再如,不同材料組成的桿的振動(dòng),在銜接處的位移和能量相等,即:,,:桿的兩部分位移.,:兩部分的楊氏模量.,44,靜電場(chǎng)中,兩種電介質(zhì)的交界面 上電勢(shì)應(yīng)相等(連續(xù)),電位移矢量的法向分量也應(yīng)相等(連續(xù)),其銜接條件是:,,45,,,,,,,46,⑵ 自然邊界條件 某些情況下,出于物理上的合理性等原因,要求解為單值、有限,就提出自然邊界條件,這些條件通常都不是要研究的問題
14、直接給出,而是根據(jù)解的特性要求自然加上去,故稱為自然邊界條件,如:,47,,,,通解為:,,48,但并非所有的定解問題中,都一定同時(shí)具有初始條件和邊界條件。,,三、三類定解問題,49,(1)初值問題(Cauchy問題):定解問題中僅初始條件而無邊界條件 ,如無界弦的振動(dòng):,50,,(2)邊值問題:定解條件為邊界條件,,,如,,51,(3)混合問題:即有初始條件又有邊界條件。,如有界弦的自由振動(dòng),,52,物理系統(tǒng)總是有限的,必須有界,要
15、求邊界條件,如:弦總是有限長(zhǎng)的,有兩個(gè)端點(diǎn),但如果注重研究靠近一端的一段弦,即在不太長(zhǎng)的時(shí)間里,另一端還沒來得及傳到,可認(rèn)為另一端不存在這樣就可將真實(shí)的弦抽象為半無界弦。,(4)無界半無界問題:,53,如果注重考慮不靠近兩端點(diǎn)的某段弦,在不太長(zhǎng)的時(shí)間里,兩端點(diǎn)的影響還沒來得及傳到,可認(rèn)為兩端點(diǎn)都不存在,即兩端點(diǎn)都在無限遠(yuǎn),就不提邊界條件了,這樣有限的真實(shí)弦抽象成無界的弦,分別稱為半無界問題、無界問題。,54,,,,,,舉例:弦振動(dòng)問題中
16、,第一類邊界條件:,,55,端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律:,左端點(diǎn),,右端點(diǎn),若兩端點(diǎn)固定,則,為齊次邊界條件,稱固定端點(diǎn)邊界條件 。,56,,,,,,,,57,,,,,,,第三類邊界條件:,的彈簧,弦的左端點(diǎn)固定于彈簧的自由頂端,弦的左端點(diǎn)受到垂直于 軸的已知外力 的作用而上下運(yùn)動(dòng)。,58,,,59,,,,若,彈性支承邊界條件:,弦的一端與一個(gè)其他系統(tǒng)相連接,弦在左端 處連接
17、于一彈簧質(zhì)量系統(tǒng),保持其運(yùn)動(dòng)是完全垂直的。,60,61,,,,,,,,,彈簧的拉伸長(zhǎng)度為:,由牛頓第二定律:,彈簧上的其它力,胡克定律,設(shè)弦的支撐點(diǎn)按照其解的方式,移動(dòng)。彈簧的長(zhǎng)度為,62,63,,,,,,,,,,,64,則,65,,,,,,,,,,,若質(zhì)量的平衡位置與弦的平衡位置重合,即,則:,66,,,端點(diǎn)處無任何其它垂直外力,彈力在端點(diǎn)的垂直分量必為0,否則此端點(diǎn)將會(huì)有無限垂直加速度。,若端點(diǎn)附在前述無摩擦的垂直軌道上,上下自由移
18、動(dòng),無彈簧質(zhì)量系統(tǒng)也無外力,,67,1.2 行波法,,一、定解問題 二、求解定解問題 三、分析解答 四、依賴區(qū)域 五、其它: 問題,68,,引 言,,69,先求方程通解(含任意常數(shù)),,,(利用初值條件),方程的特解,確定條件中的數(shù),70,,,例如:,,通解為:,71,,72,其一,通解不好求; 其二,用定解條件確定函數(shù)較困難,但也卻非不能解決任何方程,對(duì)一類問題是可行
19、的:無界區(qū)域齊次波動(dòng)方程的定解問題。,73,,74,(初值問題)抽象成問題的區(qū)域是整個(gè)空間,由初始擾動(dòng)所引起的振動(dòng)就會(huì)一往無前的傳播下去,形成行進(jìn)的波,簡(jiǎn)稱行波。(數(shù)學(xué)上將弦的長(zhǎng)度視為無限)。這種求解行波問題的方法成為行波法。,75,,,一、 定解問題,76,物理模型解釋: ①無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng) ②無限長(zhǎng)桿的縱振動(dòng) ③無限長(zhǎng)理想傳輸線上電流、電壓之比 這里“無限長(zhǎng)”指沒有受
20、到外力作用,只研究其中一小段,則在不太長(zhǎng)的時(shí)間里,兩,77,端的影響來不及傳到,可認(rèn)為兩端不存在,因而為無限長(zhǎng)。對(duì)該問題的處理思路(借鑒 ODE處理方法),自變量變換,簡(jiǎn)化泛定方程,定解問題的解,得通解,初始條件,78,二、求解定解問題 (一維齊次波動(dòng)方程的通解) (1)作自變量變換(行波變換). 目的:將泛定方程簡(jiǎn)化成易積分的 形式. 設(shè),,,,79,80,,,,,,使,,為常數(shù),,81
21、,,,,,,令,則,故令,,,82,則有,這時(shí),83,,為了書寫簡(jiǎn)便和對(duì)稱,令,即,84,85,86,,,,,,,87,(2)求通解,則有,88,,,,,,,,,89,90,,,,(3)用初始條件定特解——確定,由初始條件,由,有,91,92,,,由此解得,93,94,故 :,這叫做達(dá)朗貝爾解,簡(jiǎn)稱達(dá)氏解,因此這種方法叫做達(dá)朗貝爾解法。,95,,,,,三、分析解答 (1)解的適定性(存在性、唯一性、穩(wěn)定性) (2)解的物理意義.,9
22、6,,,,,,,,97,,越大,表示波傳播速度越快。,98,,,,,,,,,,,,+,99,上式第一項(xiàng)為:,100,101,102,,,,,例1.求解初值問題(初始位移引起的波動(dòng)),,103,若,104,,,,,,,,四、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域 無界弦自由振動(dòng)的這種特性,可以更幾何直觀地表現(xiàn)出來. 定解問題 如下:,105,106,響,而區(qū)域外的任何點(diǎn)一定不受到初始激發(fā)的影響。如下圖:,107,,,,,,,,108,,
23、,,,,,,,109,110,,,,,,,,111,例2. 求弦振動(dòng)方程的初值問題(初始速度引起的振動(dòng))。,,,,,112,解:一維無界空間的波動(dòng)問題,其中,113,,,,114,,,,,解:方程的通解為,令,將條件代入有,115,而,,∴,116,,,半無界弦的振動(dòng)問題,其它Cauchy問題,五、,反射波法,,,1)端點(diǎn)固定;,2)端點(diǎn)自由;,3)端點(diǎn)依賴某規(guī)律運(yùn)動(dòng),117,若是半無界問題,則可用延拓法(反射波法),118,分析:先求
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