第一章學習目標

1、第六章 IIR數字濾波器的設計方法,數字濾波器：,是指輸入輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。,高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能,優(yōu)點：,學習目標,理解數字濾波器的基本概念了解最小相位延時系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點及應用掌握沖激響應不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點了解利用模擬濾波

2、器設計IIR數字濾波器的設計過程了解利用頻帶變換法設計各種類型數字濾波器的方法,作業(yè)練習,P330: 1(1)345617,一、數字濾波器的基本概念,1、數字濾波器的分類,經典濾波器：,現(xiàn)代濾波器：,選頻濾波器,維納濾波器卡爾曼濾波器自適應濾波器等,按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器,按實現(xiàn)的網絡結構或單位抽樣響應分：,FIR濾波器（N-1階）,IIR濾波器（N階）,2、數字濾波器的設計過程,用一個因果穩(wěn)定

3、的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)逼近此性能指標,按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標,利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數：如運算結構、字長的選擇等,實際技術實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法,3、數字濾波器的技術要求,選頻濾波器的頻率響應：,為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后 各頻率成分的衰減情況,為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器 后在時間上的延時情況,：通帶截止頻率,：阻帶截止頻率,：通帶容限,：阻帶容限,阻

4、帶：,過渡帶：,通帶：,理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近,通帶最大衰減：,阻帶最小衰減：,其中：,4、表征濾波器頻率響應的特征參量,幅度平方響應,的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的,H(z)的極點：單位圓內的極點,相位響應,相位響應：,群延遲響應,相位對角頻率的導數的負值,若濾波器通帶內 = 常數，則為線性相位濾波器,5、IIR數字濾波器的設計方法,先設計模擬濾波器，再轉換為數字濾波器,用一因果穩(wěn)定的

5、離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：,即為求濾波器的各系數：,計算機輔助設計法,s平面逼近：模擬濾波器,z平面逼近：數字濾波器,二、最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng),LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數：,頻率響應：,模：,相角：,當,位于單位圓內的零/極矢量角度變化為,位于單位圓外的零/極矢量角度變化為 0,單位圓外的零點數為mo,單位圓內的極點數為pi,單位圓外的極點數為po,則：,全部極點在單位圓內：po = 0，pi = N,因果

6、穩(wěn)定系統(tǒng),1）全部零點在單位圓內：,2）全部零點在單位圓外：,為最小相位延時系統(tǒng),為最大相位延時系統(tǒng),n < 0時，h(n) = 0,相位延時系統(tǒng),逆因果穩(wěn)定系統(tǒng),1）全部零點在單位圓內：,2）全部零點在單位圓外：,全部極點在單位圓外：po = N，pi = 0,為最大相位超前系統(tǒng),為最小相位超前系統(tǒng),相位超前系統(tǒng),n > 0時，h(n) = 0,最小相位延時系統(tǒng)的性質,1）在 相同的系統(tǒng)中，具有最小的

7、相位滯后,2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在 n = 0 附近， 而總能量相同,5）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng) 轉變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng),4）在 相同的系統(tǒng)中， 唯一,3）最小相位序列的 最大：,三、全通系統(tǒng),一階全通系統(tǒng)：,極點：,零點：,零極點以單位圓為鏡像對稱,極點：,零點：,實系數二階全通系統(tǒng),兩個零點（極點）共軛

8、對稱,極點：,零點：,零點與極點以單位圓為鏡像對稱,N 階數字全通濾波器,極點： 的根,零點： 的根,全通系統(tǒng)的應用,1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng) Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián),其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)， 為單位圓外的一對共軛零點,而幅度響應不變：,2）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾

9、波器變成一個穩(wěn)定濾波器,把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內,單位圓外極點：,3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性,利用均方誤差最小準則求均衡器Hap(z)的有關參數,四、用模擬濾波器設計IIR數字濾波器,設計思想：,s 平面 z 平面,模擬系統(tǒng) 數字系統(tǒng),H(z) 的頻率響應要能模仿 Ha(s) 的頻率響應，即 s 平面的

10、虛軸映射到 z 平面的單位圓,因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的單位圓內 |z| < 1,設計方法：,- 沖激響應不變法,- 階躍響應不變法,- 雙線性變換法,五、沖激響應不變法,數字濾波器的單位沖激響應 模仿模擬濾波器的單位沖激響應,1、變換原理,T—抽樣周期,2、混迭失真,僅當,數字濾波器的頻響在折疊頻率內重

11、現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產生混迭失真：,數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為,,實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小,當濾波器的設計指標以數字域頻率 給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象,3、模擬濾波器的數字化方法,,系數相同：,極點：s 平面 z 平面,穩(wěn)定性不變：s 平面

12、 z 平面,當T 很小時，數字濾波器增益很大，易溢出，需修正,令：,則：,解：據題意，得數字濾波器的系統(tǒng)函數：,,設T = 1s，則,模擬濾波器的頻率響應：,數字濾波器的頻率響應：,4、優(yōu)缺點,優(yōu)點：,缺點：,保持線性關系：線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數字濾波器,頻率響應混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器,h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應時域逼近良好,六、階躍響應不變法,變換原理,數字濾波器的階

13、躍響應 模仿模擬濾波器的階躍響應,T — 抽樣周期,階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法要小。,七、雙線性變換法,1、變換原理,使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似。,沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近缺點是產生頻率響應的混疊失真,為使模擬濾波器某一頻率與數字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數 c,2、變換常數c的選擇,2）某一特定頻率嚴格相對應：,1）低頻處

14、有較確切的對應關系：,特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置,3、逼近情況,1）,2）,4、優(yōu)缺點,優(yōu)點：,避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象,s 平面與 z 平面為單值變換,缺點：,除了零頻率附近， 與 之間嚴重非線性,2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數型，不然會產生畸變,分段常數型模擬濾波器經變換后仍為分段常數型數字濾波器，但臨界頻率點產生畸變,預畸變,給定數字濾波器的截止頻率 ，則,按

15、設計模擬濾波器，經雙線性變換后，即可得到 為截止頻率的數字濾波器,6、模擬濾波器的數字化方法,可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng),可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng),八、常用模擬低通濾波器特性,將數字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術指標，設計模擬濾波器，再轉換成數字濾波器,模擬濾波器,巴特沃斯 Butterworth 濾波器,切比雪夫 Chebyshev 濾波器,橢圓 Ellipse 濾波器,貝塞爾 Bessel 濾波器,1、由幅度平方函數

16、 確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數,h(t)是實函數,將左半平面的的極點歸,將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為 的零點，虛軸上的零點一半歸,由幅度平方函數得象限對稱的s平面函數,將 因式分解，得到各零極點,對比 和 ，確定增益常數,由零極點及增益常數，得,例：,解：,極點：,零點： （二階）,零點：,的

17、極點：,設增益常數為K0,2、Butterworth 低通逼近,幅度平方函數：,當,稱 為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬,N為濾波器的階數,為通帶截止頻率,1）幅度函數特點：,,3dB不變性,通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小,過渡帶及阻帶內快速單調減小,當 （阻帶截止頻率）時，衰減 為阻帶最小衰減,Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：,2）幅度平方特性的極點分布：

18、,極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點,極點間的角度間隔為,極點不落在虛軸上,N為奇數，實軸上有極點，N為偶數，實軸上無極點,3）濾波器的系統(tǒng)函數：,為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數,去歸一化，得,4）濾波器的設計步驟：,根據技術指標求出濾波器階數N：,確定技術指標：,由,得：,同理：,令,則：,,求出歸一化系統(tǒng)函數：,或者由N，直接查表得,其中技術指標 給出或由下式求出：,其中極點：,去歸一化,阻帶指標

19、有富裕,或,通帶指標有富裕,例：設計Butterworth數字低通濾波器，要求在頻率低于 rad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率 到 之間的阻帶內，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。,1、用沖激響應不變法設計,1）由數字濾波器的技術指標：,2）得模擬濾波器的技術指標：選T = 1 s,a）確定參數,用通帶技術指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真,3）設計Butterworth

20、模擬低通濾波器,b) 求出極點（左半平面）,c) 構造系統(tǒng)函數,c’) 去歸一化,4）將 展成部分分式形式:,變換成Butterworth數字濾波器：,2、用雙線性變換法設計,1）由數字濾波器的技術指標：,2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：,a）確定參數,用阻帶技術指標，使通帶特性較好，因無混迭問題,3）設計Butterworth模擬低通濾波器,b) 求出極點（左半平面）,c) 構造系統(tǒng)函數,c’) 去歸一化,

21、4）將 變換成Butterworth數字濾波器：,3、Chebyshev低通逼近,N：濾波器的階數,幅度平方函數：,：截止頻率，不一定為3dB帶寬,，表示通帶波紋大小， 越大，波紋越大,：N階Chebyshev多項式,,1）幅度函數特點：,通帶外：迅速單調下降趨向0,N為偶數,N為奇數,通帶內：在1和 間等波紋起伏,,2）Chebyshev濾波器的三個參量：,：通帶截止頻率，給定,：表

22、征通帶內波紋大小,N：濾波器階數，等于通帶內最大最小值的總數,由通帶衰減決定,阻帶衰減越大所需階數越高,為阻帶截止頻率,3）幅度平方特性的極點分布：,4）濾波器的系統(tǒng)函數：,其中：,5）濾波器的設計步驟:,歸一化：,確定技術指標：,根據技術指標求出濾波器階數N及 ：,其中：,或者由N和 ，直接查表得,其中極點由下式求出：,求出歸一化系統(tǒng)函數：,去歸一化,例：用雙線性變換法設計Chebyshev數字低通濾波器，要求在頻率低于

23、 rad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率 到 之間的阻帶內，衰減大于15dB。,1）由數字濾波器的技術指標：,2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：,a）確定參數,3）設計Chebyshev模擬低通濾波器,b) 求左半平面極點,c) 構造系統(tǒng)函數,c’) 去歸一化,4）將 變換成Chebyshev數字濾波器：,將數字濾波器的技術指標轉變成模擬濾波器的技術指標,小結：利用模

24、擬濾波器設計IIR數字濾波器的步驟,通帶截止頻率 、通帶衰減,阻帶截止頻率 、阻帶衰減,通帶截止頻率,阻帶截止頻率,通帶截止頻率,阻帶截止頻率,確定數字濾波器的技術指標：,沖激響應不變法,雙線性變換法,按模擬濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器,Butterworth低通濾波器,Chebyshev低通濾波器,將模擬低通濾波器轉換成數字低通濾波器,沖激響應不變法,雙線性變換法,九、設計IIR濾波器的頻率變換法,十、模擬域

25、頻帶變換法,歸一化：,1、模擬低通—模擬低通,當通帶截止頻率 時，相當于去歸一化,2、模擬低通—模擬帶通,變換關系：,B為通帶帶寬,歸一化變換：,其中：,例：設計一個數字帶通濾波器，通帶范圍為0.3π rad到0.4π rad，通帶內最大衰減為3dB，0.2π rad以下和0.5π rad以上為阻帶，阻帶內最小衰減為18dB。采用Butterworth模擬低通濾波器、雙線性變換法。,解：1）確定數字帶通濾波器的技術指

26、標：,2）轉換為模擬帶通濾波器的技術指標：,（選T=1s）,歸一化：,3）轉換為歸一化模擬低通濾波器技術指標：,取小者：,又有,4）設計歸一化模擬低通濾波器：,查表得：,5）將歸一化模擬低通濾波器轉換成模擬帶通濾波器：,6）通過雙線性變化法將模擬帶通濾波器轉換成數字帶通濾波器：,模擬低通到數字帶通的直接變換：,其中：,3、模擬低通—模擬帶阻,變換關系：,B為阻帶帶寬,歸一化變換：,其中：,模擬低通到數字帶阻的直接變換：,其中：,4、模擬

27、低通—模擬高通,變換關系：,歸一化變換：,其中：,模擬低通到數字高通的直接變換：,其中：,十一、數字域頻帶變換法,,要求：,階數：N,極點：,零點：,則：,即：,為全通函數,1、數字低通 — 數字低通,得：,由,2、數字低通 — 數字高通,低通頻率響應在單位圓上旋轉180o，即得高通頻率響應：,由,得：,3、數字低通 — 數字帶通,得上式應取負號，即：,由,其中：,由,得,4、數字低通 — 數字帶阻,得上式應取正號，即：,由,其中：,由