四階橢圓問題及四階橢圓奇異攝動問題的非協(xié)調(diào)有限元方法.pdf

1、本篇博士論文主要研究四階橢圓邊值問題和帶有小參數(shù)(ε)的四階橢圓奇異攝動問題的有限元解.首先，針對四階橢圓問題的C0非協(xié)調(diào)元，我們提出一個抽象的收斂性定理.這是一個框架性的理論結(jié)果，它不僅為單元構(gòu)造提供了新的思路而且使得在三維空間中構(gòu)造高階收斂的單元成為可能.從而填補了這一研究方向的空白.其基本思想是利用泡函數(shù)把形函數(shù)空間分成兩個子空間，其中一個子空間是專門負責(zé)整體的C0連續(xù)性和逼近誤差.另一個含有泡函數(shù)的子空間是專門負責(zé)形函數(shù)在單元邊

2、界上的法向?qū)?shù)跨過單元邊界的連續(xù)性和相容誤差.這樣得到的單元插值矩陣是分塊的三角矩陣，從而大大簡化了單元適定性的證明.
　　 然后，利用上述方法，針對不同的求解區(qū)域，我們在常用的剖分網(wǎng)格上構(gòu)造了一些二階收斂的有限元.如，三角形元、矩形元、四面體元、長方體元和三棱柱元.同時我們也構(gòu)造了一些一階收斂的單元，這一方面豐富了四階橢圓問題的非協(xié)調(diào)元方法的內(nèi)容，另一方面展示了我們方法的系統(tǒng)性.
　　 其次，我們將前面構(gòu)造的一階收斂的

3、單元應(yīng)用到四階奇異攝動問題，得到了一致收斂的結(jié)果.
　　 最后，給出數(shù)值算例來驗證我們的理論結(jié)果.
　　 全文有如下六部分組成.
　　 第一章緒論，在這里，我們介紹了與本文相關(guān)四階橢圓邊值問題的研究現(xiàn)狀和背景知識，給出了有限元方法的一些基本定理和常用不等式.
　　 第二章簡述了四階橢圓邊值問題的非協(xié)調(diào)元，給出非協(xié)調(diào)元的一個抽象的收斂性定理，為如何構(gòu)造高階的非協(xié)調(diào)元建立了一個理論框架.
　　 第三章

4、利用泡函數(shù)，構(gòu)造了三個C0非協(xié)調(diào)元求解二維空間中薄板彎曲問題.其中一個是一階收斂的矩形元，另兩個是二階收斂的三角形元和矩形元.同時我們也分析了文獻中的一個一階收斂的三角形元.
　　 第四章與上一章類似，我們構(gòu)造了五個非協(xié)調(diào)有限元求解三維空間中的雙調(diào)和方程.其中兩個是一階收斂的長方體元和三棱柱元，另外三個分別是二階收斂的四面體元、長方體元和三棱柱元，并給出收斂性證明.同時我們也證明了文獻中的一個一階收斂的四面體元的收斂性.